body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Dashboard

Kurs 3b Visa detaljer

3. Använda derivata

Klar med uppgifterna

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Uppgifter

Tester

eKurser /

( Ma 3b , Ma 3c ) /

Kapitel 3

Använda derivata

Denna lektion ger en omfattande förståelse för derivata. Den förklarar hur derivatan kan användas för att lösa matematiska problem och beskriva verkliga situationer. Till exempel kan man använda derivatan för att bestämma ekvationen för en tangent till en funktions graf i en viss punkt. Dessutom kan derivatan till en funktion som beskriver en verklig situation tolkas som en momentan förändringshastighet. Detta innebär att derivatan beskriver hur något förändras över tid. Lektionen innehåller också praktiska exempel som illustrerar dessa koncept.

Visa mer

	5 sidor teori
	19 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Använda derivata

Sida av 5

Derivata kan användas på många olika sätt, både för att lösa matematiska problem och för att beskriva verkliga situationer. Här beskrivs några sådana, bland annat hur man bestämmer ekvationen för en tangent och hur man tolkar derivator som förändringar över tid.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Bestämma en tangents ekvation med derivata
Derivata som modell

Rekommenderat att repetera innan du börjar med det här avsnittet:

Metod

Bestämma en tangents ekvation med derivata

Om man vill bestämma ekvationen för den tangent som en funktions graf har i en viss punkt går det att göra med hjälp av funktionens derivata.

Exempelvis kan man bestämma ekvationen för tangenten som tangerar grafen till f(x)=0,25x^2 där x=2.

Bestäm tangeringspunkten

För att bestämma tangentens ekvation behöver man känna till koordinaterna för minst en punkt på linjen, t.ex. tangeringspunkten. Genom att sätta in det kända x-värdet i funktionen kan motsvarande y-värde bestämmas. I det här fallet sätter man in alltså in x = 2.

f(x) = 0,25x^2

Substitute

x= 2

f( 2) = 0,25* 2^2

CalcPow

Beräkna potens

f(2) = 0,25* 4

Multiply

Multiplicera faktorer

f(2)=1

Tangeringspunkten har koordinaterna (2,1).

Derivera funktionen

Man behöver även veta tangentens lutning, som man får genom att bestämma derivatan för funktionen i punkten. För att kunna göra det måste man dock först derivera funktionen, som i detta fall är f(x)=0,25x^2.

f(x) = 0,25x^2

Derive

Derivera funktion

f'(x) = D(0,25x^2)

DeriveMonomCo

D(ax^n) = a* nx^(n-1)

f'(x) = 2* 0,25x

Multiply

Multiplicera faktorer

f'(x)=0,5x

Sätt in x-värdet i derivatan

Genom att sätta in x-värdet för tangeringspunkten i derivatan f'(x) kan man nu bestämma tangentens lutning i tangeringspunkten. För exemplet sätts alltså x = 2 in i f'(x) = 0,5x.

f'(x) = 0,5x

Substitute

x= 2

f'( 2) = 0,5 * 2

Multiply

Multiplicera faktorer

f'(2) = 1

Tangenten i punkten där x=2 har alltså lutningen 1.

Bestäm ekvationen med tangeringspunkten och derivatan

Nu känner man till en punkt på tangenten, (2,1), och dess lutning, 1, vilket innebär att man kan bestämma ekvationen för den räta linjen algebraiskt. Man kan t.ex. använda enpunktsformen till detta.

y-y_1 = k(x-x_1)

SubstituteValues

Sätt in värden

y - 1 = 1(x - 2)

OneMult

1* a=a

y - 1 = x - 2

AddEqn

VL+1=HL+1

y = x - 1

Tangentens ekvation är alltså y = x - 1.

Förklaring

Derivata som modell

Derivatan till en funktion som beskriver en verklig situation kan tolkas som en momentan förändringshastighet. Derivatan beskriver alltså hur någonting förändras. Antag exempelvis att man har en funktion y(t) som ger en prognos för antalet invånare i en stad t år efter att ett bostadsprojekt färdigställts.

Derivatan till denna funktion vid en viss tidpunkt t_0 skrivs y'(t_0) och beskriver hur antalet invånare förändras då. Enheten för derivatan får man genom att dividera enheterna på axlarna: invånare/år. Om man känner till funktionsuttrycket kan man beräkna derivatans värde vid olika tidpunkter. Här följer tre olika exempel.

y'(1)=6 400: derivatan är positiv vilket ska tolkas som att befolkningen ökar med 6 400inv/år efter 1 år.
y'(4)=- 2 900: derivatan är negativ vilket ska tolkas som att befolkningen minskar med 2 900inv/år efter 4 år.
y'(5)=0: derivatan är 0 vilket ska tolkas som att befolkningen inte förändras efter 5 år. I det här fallet beror det på att befolkningen har nått ett tillfälligt minimum innan den återigen börjar växa till sig.

Exempel

Tolka funktionen och derivatan

Funktionen T(x) beskriver temperaturen på vatten i en kastrull x minuter efter att spisplattan sattes på.

Tolka de två likheterna T(4)=60 och T'(4)=15.

Svar

T(4)=60 tolkas som att vattnets temperatur är 60^(∘)C efter 4 minuter.
Derivatan T'(4)=15 tolkas som att temperaturen ökar med 15 ^(∘)C/min vid tidpunkten 4 minuter.

Ledtråd

Om T(a) = b, så var vattnets temperatur efter a minuter b^(∘)C. Derivatan i en punkt anger förändringshastigheten för vattnets temperatur vid den punkten.

Lösning

Vi börjar med T(4)=60, vilket innebär att funktionen ger värdet T = 60 om man sätter in x = 4. Eftersom funktionen anger temperaturen vid olika tidpunkter så kan T(4)=60 tolkas som att vattnets temperatur är 60 ^(∘) C efter 4 minuter.

Likheten T'(4)=15 innebär att funktionens derivata är 15 då x=4, vilket betyder att funktionen har lutningen 15 i punkten (4,60).

Man kan se lutningen som en förändringshastighet med enheten ^(∘)C/min, alltså y-axelns enhet dividerad med x-axelns enhet. Derivatan T'(4)=15 kan alltså tolkas som att temperaturen ökar med 15 ^(∘)C/min vid tidpunkten 4 minuter.

Exempel

Tolka derivatans nollställe

Sträckan som en bil kör kan beskrivas med funktionen s(t), där s är sträckan från startpunkten i kilometer och t är tiden i timmar.

Bestäm för vilket t som s'(t)=0 och beskriv bilens rörelse för det t-värdet.

Ledtråd

Leta efter en punkt där tangenten har lutningen 0. Om derivatan är 0, är förändringshastigheten av kilometer per timme 0.

Lösning

Att s'(t)=0 betyder att derivatan är 0, och eftersom derivatan anger funktionens lutning söker vi de punkter på grafen där den är 0. Det finns bara en sådan punkt, vid t=3.

s'(t) är alltså 0 när t=3. Tolkningen av detta är att sträckan som bilen har färdats efter 3 timmar inte förändras i detta ögonblick. Det innebär alltså att bilen står stilla vilket är samma sak som att hastigheten är 0km/h. Generellt gäller att derivatan av en funktion som beskriver sträcka som funktion av tid anger hastigheten.

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Använda derivata

Uppgift 3.1

Grafen till funktionen f(x) = 3x^4 + 8x^3 - 90x^2 + 12x + 17 har en tangent där x = 0. Den har ytterligare en tangent då x = a. Bestäm a så att de två tangenterna inte skär varandra.

Tangenter är räta linjer, och för att dessa inte ska ha någon skärningspunkt måste de vara parallella. För att de ska vara det måste de två tangenterna till f(x) ha samma lutning. Lutningen till tangenten får vi genom att beräkna derivatan till funktionen i tangeringspunkten, så vi börjar med att derivera f(x).

Vi beräknar först derivatan för x = 0, vilket ger oss lutningen för den första tangenten. f'(0) = 12 * 0^3 + 24 * 0^2 - 180 * 0 + 12 = 12 Eftersom tangenterna ska vara parallella måste lutningen för den andra tangenten, som finns vid x = a, också vara 12. För att bestämma a löser vi alltså ekvationen f'(a) = 12.

Med hjälp av nollproduktmetoden kan vi dela upp ekvationen i a = 0 och 12a^2 + 24a - 180 = 0. Att a = 0 ger rätt lutning visste vi redan eftersom det är tangeringspunkten för den första tangenten, så vi fokuserar på den andra ekvationen. Vi löser den med pq-formeln och behöver då först skriva den på pq-form.

Det finns alltså två möjliga värden på a som gör att den andra tangenten inte skär den första: a = -5 eller a = 3.

En sfärisk ballong börjar blåsas upp på ett sådant sätt att radien ökar med 2cm varje sekund. Efter hur lång tid har volymen ökat med 628cm^3/s? Svara med 2 decimaler.

Om ballongen är sfärisk innebär det att dess volym beror av radien r enligt V(r) = 4π r^3/3. Nu är vi dock inte inte intresserade av hur den beror av radien, utan av tiden. Vi vet att radien ökar med 2 cm per sekund, alltså att r = 2t, där t är antalet sekunder efter att ballongen börjat blåsas upp. Detta kan vi sätta in i funktionen för volymen för att den istället ska bero på t, vilket ger V(t) = 4π (2t)^3/3. Vi söker det t då volymen V(t) ökar med 628cm^3/s, vilket innebär att vi behöver derivatan till funktionen. För att kunna derivera V(t) måste vi först skriva om den lite så att det går att använda deriveringsregeln för potensfunktioner.

Vi kan nu derivera funktionen.

Vi söker nu det t som ger att derivatan blir 628 cm^3/s, alltså när V'(t) = 628.

Eftersom t anger tiden efter att ballongen börjat blåsas upp kan den inte vara negativ, vilket innebär att det enda svaret måste vara t = 2,50. Ballongens volym ökar alltså med 628cm^3/s efter 2,50 sekunder.

Hastigheten v i m/s för en planet runt solen beror på gravitationskonstanten G, solens massa M i kg samt omloppsbanans radie r i meter enligt formeln v(r)=sqrt(GM/r). Gravitationskonstanten är ca 6,67* 10^(- 11) m^3kg s^2 och solens massa ungefär 2* 10^(30)kg.

Jorden ligger ca 150* 10^9 meter från solen. Hur snabbt färdas jorden runt solen? Avrunda svaret till en gällande siffra.

Bestäm värdet av v'(300* 10^9). Avrunda svaret till en gällande siffra.

För att beräkna jordens hastighet runt solen sätter vi in värdena för G, M och r i formeln.

Jordens hastighet är alltså ca 30 000m/s.

Notera att det är derivatan av v då r=300* 10^9 vi ska bestämma. Vi börjar med att skriva om v(r) som en potens, för att kunna använda deriveringsregeln för potensfunktioner.

Nu deriverar vi. Kom ihåg att G och M är konstanter.

Till sist sätter vi in värdena för G, M och r i derivatan.

Derivatan v'(300* 10^9)=- 4 * 10^(- 8) beskriver hur jordens hastighet förändras precis då radien är 300* 10^9m. Eftersom vi vet att funktionen v(r) beskriver en hastighet i m/s och att denna beror på radien r i meter så blir derivatans enhet m/sm. Derivatan säger alltså att jordens hastighet minskar med 4 * 10^(- 8)m/s för varje meter längre bort från solen jorden kommer, precis då avståndet från solen är 300 miljarder meter.

Använda derivata

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan