Logga in
| 5 sidor teori |
| 19 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
x=2
Beräkna potens
Multiplicera faktorer
Derivera funktion
D(axn)=a⋅nxn−1
Multiplicera faktorer
Derivatan till en funktion som beskriver en verklig situation kan tolkas som en momentan förändringshastighet. Derivatan beskriver alltså hur någonting förändras. Antag exempelvis att man har en funktion y(t) som ger en prognos för antalet invånare i en stad t år efter att ett bostadsprojekt färdigställts.
Derivatan till denna funktion vid en viss tidpunkt t0 skrivs y′(t0) och beskriver hur antalet invånare förändras då. Enheten för derivatan får man genom att dividera enheterna på axlarna: invånare/år. Om man känner till funktionsuttrycket kan man beräkna derivatans värde vid olika tidpunkter. Här följer tre olika exempel.
Funktionen T(x) beskriver temperaturen på vatten i en kastrull x minuter efter att spisplattan sattes på.
Tolka de två likheternaVi börjar med T(4)=60, vilket innebär att funktionen ger värdet T=60 om man sätter in x=4. Eftersom funktionen anger temperaturen vid olika tidpunkter så kan T(4)=60 tolkas som att vattnets temperatur är 60∘C efter 4 minuter.
Likheten T′(4)=15 innebär att funktionens derivata är 15 då x=4, vilket betyder att funktionen har lutningen 15 i punkten (4,60).
Man kan se lutningen som en förändringshastighet med enheten ∘C/min, alltså y-axelns enhet dividerad med x-axelns enhet. Derivatan T′(4)=15 kan alltså tolkas som att temperaturen ökar med 15∘C/min vid tidpunkten 4 minuter.
Sträckan som en bil kör kan beskrivas med funktionen s(t), där s är sträckan från startpunkten i kilometer och t är tiden i timmar.
Bestäm för vilket t som s′(t)=0 och beskriv bilens rörelse för det t-värdet.
Att s′(t)=0 betyder att derivatan är 0, och eftersom derivatan anger funktionens lutning söker vi de punkter på grafen där den är 0. Det finns bara en sådan punkt, vid t=3.
s′(t) är alltså 0 när t=3. Tolkningen av detta är att sträckan som bilen har färdats efter 3 timmar inte förändras i detta ögonblick. Det innebär alltså att bilen står stilla vilket är samma sak som att hastigheten är 0 km/h. Generellt gäller att derivatan av en funktion som beskriver sträcka som funktion av tid anger hastigheten.
Vi börjar med att derivera funktionen f(t), vilket ger f'(t) som beskriver hur snabbt antalet tillverkade chokladbollar förändras.
Vi söker den dag då förändringen är som störst, alltså en maximipunkt till f'(t). Eftersom derivatan beskrivs av en andragradsfunktion med en negativ koefficient framför x^2-termen måste det finnas ett sådant maximum. Detta kan hittas med hjälp av symmetrilinjen, som i sig kan bestämmas genom att börja lösa ekvationen f'(t) = 0 med pq-formeln. Vi gör det.
Vi behöver inte fortsätta att lösa ekvationen eftersom vi kan avläsa det vi behöver från termen framför rottecknet, alltså 19. Den anger symmetrilinjen för andragradskurvan och alltså det t-värde där maximipunkten kommer att finnas. Vi sökte den dag då antalet tillverkade chokladbollar ökade som mest, vilket då måste vara dag 19.
Tangenter är räta linjer, och för att dessa inte ska ha någon skärningspunkt måste de vara parallella. För att de ska vara det måste de två tangenterna till f(x) ha samma lutning. Lutningen till tangenten får vi genom att beräkna derivatan till funktionen i tangeringspunkten, så vi börjar med att derivera f(x).
Vi beräknar först derivatan för x = 0, vilket ger oss lutningen för den första tangenten. f'(0) = 12 * 0^3 + 24 * 0^2 - 180 * 0 + 12 = 12 Eftersom tangenterna ska vara parallella måste lutningen för den andra tangenten, som finns vid x = a, också vara 12. För att bestämma a löser vi alltså ekvationen f'(a) = 12.
Med hjälp av nollproduktmetoden kan vi dela upp ekvationen i a = 0 och 12a^2 + 24a - 180 = 0. Att a = 0 ger rätt lutning visste vi redan eftersom det är tangeringspunkten för den första tangenten, så vi fokuserar på den andra ekvationen. Vi löser den med pq-formeln och behöver då först skriva den på pq-form.
Det finns alltså två möjliga värden på a som gör att den andra tangenten inte skär den första: a = -5 eller a = 3.
Om ballongen är sfärisk innebär det att dess volym beror av radien r enligt V(r) = 4π r^3/3. Nu är vi dock inte inte intresserade av hur den beror av radien, utan av tiden. Vi vet att radien ökar med 2 cm per sekund, alltså att r = 2t, där t är antalet sekunder efter att ballongen börjat blåsas upp. Detta kan vi sätta in i funktionen för volymen för att den istället ska bero på t, vilket ger V(t) = 4π (2t)^3/3. Vi söker det t då volymen V(t) ökar med 628 cm^3/s, vilket innebär att vi behöver derivatan till funktionen. För att kunna derivera V(t) måste vi först skriva om den lite så att det går att använda deriveringsregeln för potensfunktioner.
Vi kan nu derivera funktionen.
Vi söker nu det t som ger att derivatan blir 628 cm^3/s, alltså när V'(t) = 628.
Eftersom t anger tiden efter att ballongen börjat blåsas upp kan den inte vara negativ, vilket innebär att det enda svaret måste vara t = 2.50. Ballongens volym ökar alltså med 628 cm^3/s efter 2.50 sekunder.