Metod

Bestämma räta linjens ekvation algebraiskt

Man kan algebraiskt bestämma ekvationen för en rät linje på olika sätt. Beroende på vilken information man har är de olika metoderna olika lämpliga.

Metod

Två punkter

Man kan bestämma ekvationen för en linje om man vet att linjen går genom två punkter, t.ex. $\begin{aligned} (2,\text{-}1) \quad \text{och} \quad (7,19). \end{aligned}$

1

Bestäm $k$-värdet

Linjens $k$-värde kan bestämmas med $k$-formeln. Man kan exempelvis låta $(2,\text{-}1)$ vara punkt $1$ och $(7,19)$ vara punkt 2.

$\begin{aligned} (2,\text{-}1) \quad \quad (7,19) \\ x_1,y_1 \quad \quad \ x_2,y_2 \end{aligned}$

Därefter sätter man in koordinaterna i $k$-formeln.

$k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Sätt in $\left({\color{#0000FF}{7,19}}\right)$ & $\left({\color{#009600}{2,\text{-}1}}\right)$

$k = \dfrac{{\color{#0000FF}{19}} - ({\color{#009600}{\text{-}1}})}{{\color{#0000FF}{7}} - {\color{#009600}{2}}}$

$a-(\text{-} b)=a+b$

$k = \dfrac{19 + 1}{7 - 2}$

Förenkla termer

$k = \dfrac{20}{5}$

Beräkna kvot

$k = 4$

2

Bestäm $m$-värdet

När man har bestämt $k$-värdet sätter man in det i $k$-formen. I det här fallet får man $y = 4x + m.$ Med hjälp av en av de kända punkterna, t.ex. $(7,19),$ kan man nu bestämma $m.$ Man sätter alltså in punktens koordinater och löser ut $m.$

$y = 4x + m$

$x={\color{#0000FF}{7}}$, $y={\color{#009600}{19}}$

${\color{#009600}{19}} = 4 \cdot {\color{#0000FF}{7}} + m$

Multiplicera faktorer

$19 = 28 + m$

Omarrangera ekvation

$28 + m = 19$

$\text{VL}-28=\text{HL}-28$

$m = \text{-}9$

3

Bestäm linjens ekvation

Nu vet man både $k$- och $m$-värdet, och då kan man ställa upp linjens ekvation. I det här fallet blir den $\begin{aligned} y=4x-9. \end{aligned}$

Metod

En punkt och lutningen

Om man vet lutningen för en linje och en punkt på linjen, t.ex. att lutningen är $k=4$ och att linjen går igenom punkten $(7,19),$ kan man börja i steg $2$ i metoden ovan. Oftast kan det dock gå snabbare att använda enpunktsformen.

1

Sätt in punkten och lutningen i enpunktsformeln

Enpunktsformeln, $\begin{aligned} y-y_1 = k(x-x_1), \end{aligned}$ är lämplig om man vet en punkt och en lutning. I det här fallet är de $k=4,$ $x_1=7$ och $y_1=19$: $\begin{aligned} y-19 = 4(x-7). \end{aligned}$

2

Lös ut $y$

Sedan löser man ut $y$, och när man är klar med det har man ekvationen på formen $y=kx+m.$

$y-19 = 4(x-7)$

Multiplicera in $4$

$y - 19 = 4x - 28$

$\text{VL}+19=\text{HL}+19$

$y = 4x -9$

Linjens ekvation är alltså $y = 4x -9.$