Använda derivata

Vi börjar med att derivera funktionen f(t), vilket ger f'(t) som beskriver hur snabbt antalet tillverkade chokladbollar förändras.

Vi söker den dag då förändringen är som störst, alltså en maximipunkt till f'(t). Eftersom derivatan beskrivs av en andragradsfunktion med en negativ koefficient framför x^2-termen måste det finnas ett sådant maximum. Detta kan hittas med hjälp av symmetrilinjen, som i sig kan bestämmas genom att börja lösa ekvationen f'(t) = 0 med pq-formeln. Vi gör det.

Vi behöver inte fortsätta att lösa ekvationen eftersom vi kan avläsa det vi behöver från termen framför rottecknet, alltså 19. Den anger symmetrilinjen för andragradskurvan och alltså det t-värde där maximipunkten kommer att finnas. Vi sökte den dag då antalet tillverkade chokladbollar ökade som mest, vilket då måste vara dag 19.

Vi börjar med att derivera funktionen för att få h'(t).

Nu kan vi sätta in t=0,5 och beräkna h'(0,5).

Eftersom h är höjden kommer derivatan att beskriva hur höjden förändras med tiden. h'(0,5)=7,5 betyder därför att 0,5 sekunder efter sparken gjorts ökar höjden med 7,5m/s.

Vi har redan derivatan så vi behöver bara sätta in t=3 i den för att beräkna h'(3).

En negativ derivata betyder att något minskar, så efter 3 sekunder minskar alltså höjden med 5m/s.

Derivatan för en funktion anger hur funktionen förändras för olika värden. Funktionen s(t) anger hur långt en fågel har färdats vid olika tidpunkter t, och derivatan s'(t) anger då hur snabbt denna sträcka förändras vid dessa tidpunkter. Derivatan anger alltså fågelns hastighet vid tidpunkten t. Man kan också undersöka detta med enheten för derivata, som man får av sambandet Derivatans enhet = y-axelns enhet/x-axelns enhet. Det ger att derivatans enhet blir km/h, vilket är enheten för hastighet. s'(t) beskriver alltså fågelns hastighet i km/h.

Funktionen p(x) anger priset för att köpa en viss aktie. Kostnaden är i kronor och tiden anges i dagar, så enheten för derivatan p'(x) måste vara kr/dag. Man kan då tolka derivatan som aktiens värdeförändring per dag, x dagar efter årsskiftet.

Eftersom v(t) anger stenens hastighet vid en viss tidpunkt t måste derivatan beskriva hur denna hastighet förändras över tid. Hastighetsförändringar beskrivs av acceleration, så derivatan beskriver alltså stenens acceleration vid tiden t. Det kan vi också se eftersom enheten för hastigheten är m/s och enheten för tiden är s, vilket ger att derivatans enhet blir .m/s /s. = m/s*s = m/s^2, alltså enheten för acceleration.

Formeln beskriver sträckan S som säcken färdats efter t sekunder. När vi deriverar funktionen får vi S'(t), som anger hur snabbt sträckan förändras vid en viss tidpunkt, alltså falafelsäckens hastighet.

Derivatan S'(t)=9,8t beskriver hastigheten vid tidpunkten t, så genom att sätta in t=1 i formeln kan vi beräkna hastigheten efter 1 sekund.

Efter 1 sekund är hastigheten 9,8m/s.

Säcken når marken när den har fallit hela höjden på tornet, alltså 180 meter. Genom att sätta funktionen S(t) lika med 180 kan vi bestämma hur lång tid det tar för säcken att falla den sträckan.

Vi avfärdar det negativa svaret eftersom vi mäter tiden från efter att säcken har släppts. För att undvika att det blir fel i slutet avrundar vi t till några fler decimaler än vi behöver. Om man kan använda det oavrundade värdet så bör man göra det, t.ex. med knappen ANS på räknaren. För att beräkna hastigheten när säcken slår i marken sätter vi in t=6,061 i derivatan och förenklar.

Falafelsäcken har alltså hastigheten 59m/s när det når marken.

Derivatan h'(10) =- 60 beskriver hur Ritvas höjd över marken förändras 10s efter att hon hoppat ut ur flygplanet. Att derivatan är negativ innebär att hennes höjd över marken minskar, och talet 60 indikerar att hon faller med 60m/s efter 10s. Vi vet också att maxhastigheten nås efter just 10 sekunder, så 60m/s är Ritvas maximala fallhastighet.

Likheten h'(40) = h'(50)=- 5 innebär att fallhastigheten är 5m/s, både efter 40s och 50s. Och eftersom hon inte faller lika snabbt jämfört med när det hade gått 10s kan vi anta att fallskärmen utvecklats 10-40 sekunder efter hoppet.

Att h'(60) = 0 innebär att fallhastigheten är 0m/s efter 60s. Ritva faller alltså inte längre och måste därför ha nått marken.

För att veta hur långt lejonet har rört sig när det når sin maxhastighet måste vi först ta reda på tidpunkten t då detta sker. Om vi deriverar s(t) får vi hur sträckan ändras vid en viss tidpunkt t, alltså hastigheten. Vi måste alltså börja med att derivera.

Vi sätter nu s'(t) lika med 16 och löser ut t för att ta reda på hur många sekunder det tar för lejonet att uppnå sin maxhastighet.

Detta är tidpunkten t då lejonet springer som snabbast. Vi behåller detta exakta värde för att undvika avrundningsfel när vi nu till sist sätter in det i s(t) för att bestämma sträckan lejonet sprungit.

Lejonet har alltså sprungit ca 71 meter när det har maxhastigheten 16m/s.

För att hitta skärningspunkten mellan tangenterna måste vi först känna till deras ekvationer. Då behöver vi dels en punkt på varje linje, förslagsvis tangeringspunkterna, och linjernas lutning, som vi kan beräkna med derivata. Vi börjar med tangenten vid x=1 och bestämmer tangeringspunkten genom att sätta in x=1 i funktionen.

Tangeringspunkten är alltså (1,-8). För att hitta lutningen på tangenten deriverar vi funktionen och sätter in x=1.

Tangentens lutning är alltså -8. Nu använder vi denna lutning och tangeringspunkten för att bestämma ekvationen.

Den ena tangenten är alltså y=-8x. Nu bestämmer vi den andra på samma sätt. Tangeringspunkten bestämmer vi genom att sätta in x=-2.

Tangeringspunkten är (-2,16). Derivatan för funktionen har vi redan, så vi sätter in x=-2 i den för att bestämma lutningen för tangenten.

Nu bestämmer vi ekvationen för tangenten med enpunktsformen.

Den andra tangenten är alltså y=x+18. Skärningspunkten för de här linjerna hittar vi genom att likställa funktionsuttrycken.

x-koordinaten för tangenternas skärningspunkt är -2. y-koordinaten beräknar vi genom att sätta in detta x-värde i ekvationen för någon av tangenterna: y=-8x ⇒ y=-8(-2)=16. Skärningspunkten mellan tangenterna är alltså (-2,16).

Funktionens lutning i ett visst x-värde anges av derivatans värde i samma x-värde. För att bestämma vid vilket x som lutningen är 18 måste vi alltså först derivera funktionen.

Nu likställer vi derivatan med 18 och löser ut x vilket ger oss det x-värde då funktionens lutning är 18.

Funktionens lutning 18 när x=1,5

Vi börjar med att beräkna tangentens lutning genom att derivera funktionen och sätta in x=6 i derivatan.

Tangenten har lutningen 20. Än så länge känner vi inte till m-värdet så vi skriver tangentens ekvation enligt y=20x+m. Slutligen måste vi även bestämma m-värdet men då måste vi känna till en punkt som tangenten passerar. Vi använder tangeringspunkten. Vi sätter in x=6 i g för att bestämma det motsvarande funktionsvärdet.

Funktionen och dess tangent passerar alltså båda punkten (6,84). Vi sätter in denna punkt i vår ekvation och löser ut m.

Nu har vi tangentens ekvation. Tangenten skär x-axeln när y=0 så vi sätter in det och bestämmer x.

Tangenten skär x-axeln vid x=1,8 så punktens koordinater är (1,8;0).