Använda derivata

Eftersom funktionen representeras grafiskt och axlarnas enheter är angivna kan vi bestämma derivatans enhet genom att dividera y-axelns enhet med x-axelns. Derivatan f' har alltså enheten kr/hg.

Vi gör på samma sätt och ser att derivatan g' har enheten st/h.

Vi gör samma sak igen. Derivatan h' har enheten m/s.

Derivatan p' har enheten cm/år.

En ökning är en förändring, och derivata beskriver en förändring så uttrycket ska vara en derivata. Därför kan vi utesluta alternativen A och D eftersom enbart beskriver funktionsvärden. x-axeln beskriver antalet år efter 2006 och 2009 är 3 år efter 2006. Det betyder att x-värdet ska vara 3. Det finns då bara ett uttryck kvar: B. L'(3)=400.

Funktionen T(d) ger en temperatur vid en viss tidpunkt. Enstaka temperaturvärden beskriver inte en förändring, utan ger bara en ögonblicksbild av vad temperaturen var just då. Därför kan vi bortse från första raden av likheter, och istället titta på derivatan. Kom ihåg att: Där derivatan är positiv är funktionen växande. Likheten T'(1) = 2 säger att derivatans värde är 2 en dag efter nyår. 2 är ju ett positivt tal, så detta beskriver en ökning. Temperaturen ökar alltså just då.

Kom ihåg att: Där derivatan är negativ är funktionen avtagande. Likheten T'(0) = - 1 säger att derivatans värde är - 1 på nyårsafton (0 dagar in på nya året). - 1 är ett negativt tal, så detta beskriver en minskning. Temperaturen sjönk alltså den dagen.

I likhet med de andra uppgifterna gäller det att: Där derivatan är0 ändras inte funktionens värde. Likheten T'(2) = 0 säger att derivatans värde är 0 två dagar in på året. Funktionens värde är alltså statiskt här, så temperaturen förändras inte just då.

A och B

Vi börjar med att titta på likheten T'(8) = 0,5 och ser att den säger något om T'(x), vilket är derivatan av funktionen T(x). Derivator används för att beskriva hur någonting förändras, så likheten beskriver alltså inte temperaturen vid en viss tidpunkt utan hur denna temperatur förändras. Det innebär att vi direkt kan avfärda alternativen A och B eftersom båda handlar om specifika temperaturer.

C och E

Alternativ C och E handlar båda om förändringar, men inte den sort vi är ute efter. Derivatan T'(8)=0,5 säger något om hur temperaturen förändras vid den specifika tidpunkten 8, och ingen annan tid. Det innebär att det varken kan vara alternativ C, som beskriver förändringen under en hel timme, eller E, som beskriver de första åtta timmarna efter midnatt.

D

Kvar blir då det rätta alternativet: D. Det säger att den momentana förändringshastigheten för temperaturen, alltså hur snabbt temperaturen förändrades precis klockan 8, var 0,5 grader per timme.

Vi vet att tangenten tangerar funktionens graf vid x-värdet 3, och för att hitta det motsvarande y-värdet för tangeringspunkten sätter vi in x = 3 i f(x). f(3) = 3 * 3^2 + 7 = 34 Tangeringspunkten finns alltså i (3,34).

Lutningen för en tangent är samma som funktionens lutning i tangeringspunkten. För att bestämma den börjar vi med att derivera f(x).

Nu sätter vi in x = 3 i f'(x) och får då lutningen för f(x) i tangeringspunkten och därmed också lutningen för tangenten. f'(3) = 6 * 3 = 18 Tangentens lutning är alltså 18.

Vi vill nu bestämma ekvationen för tangenten, och det kan vi göra med hjälp av resultatet från de tidigare deluppgifterna. Tangenter är räta linjer, vilket innebär att deras ekvation har formen y = kx + m. Vi vet att k-värdet är 18, eftersom det är lutningen för tangenten. Sätter vi in det i ekvationen får vi y = 18x + m. Vi vet sedan att tangenten går igenom (3, 34) eftersom det är tangeringspunkten. Vi sätter in det och löser ut m.

Sätter vi in detta m-värde får vi ekvationen för tangenten, som blir y = 18x - 20.

Vi kan använda enpunktsformen för att bestämma en tangents ekvation med derivata, men för att kunna göra det måste vi känna till en punkt på tangenten samt tangentens k-värde. Vi börjar med att bestämma tangeringspunkten. Dess x-koordinat, 2, känner vi redan till, och y-koordinaten får vi genom att sätta in x=2 i funktionen f(x).

Tangeringspunkten har alltså koordinaterna (2,96). Nu bestämmer vi tangentens k-värde, dvs. lutning, genom att derivera funktionen och sätta in x-värdet från tangeringspunkten.

Vi sätter nu in x=2 i f'(x).

k-värdet är 240. Avslutningsvis bestämmer vi den räta linjens ekvation med hjälp av tangeringspunkten (2,96) samt tangentens lutning, 240. Vi kan t.ex. göra detta genom att sätta in denna information i enpunktsformen och lösa ut y.

Tangentens ekvation är alltså y = 240x - 384.

Nu gör vi på samma sätt igen, fast för funktionen g(x)=x^2+3 då x=1. Vi bestämmer tangeringspunkten genom att sätta in x=1 i g(x).

Tangeringspunkten har koordinaterna (1,4). Nu deriverar vi funktionen och sätter in tangeringspunktens x-värde.

Vi sätter nu in x=1 i g'(x).

Tangentens k-värdet är 2. Avslutningsvis bestämmer vi ekvationen t.ex. genom att sätta in tangeringspunkten (1,4) samt tangentens lutning, 2, i enpunktsformen.

Tangentens ekvation är alltså y = 2x + 2.

Vi använder samma metod ytterligare en gång, och börjar med att sätta in x=-4 i h(x).

Tangeringspunkten är (-4,-68). Nu deriverar vi och sätter in tangeringspunktens x-värde.

Vi sätter in x=-4 i h'(x).

Tangentens lutning är alltså 49. Vi bestämmer ekvationen t.ex. genom att sätta in tangeringspunkten (-4,-68) samt k=49 i enpunktsformen.

Tangentens ekvation är alltså y = 49x + 128.