mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more Community
Community expand_more
menu_open Stäng
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
Expandera meny menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
Regler för derivator

Använda derivata

Derivata kan användas på många olika sätt, både för att lösa matematiska problem och för att beskriva verkliga situationer. Här beskrivs några sådana, bland annat hur man bestämmer ekvationen för en tangent och hur man tolkar derivator som förändringar över tid.

Metod

Bestämma en tangents ekvation med derivata

Om man vill bestämma ekvationen för den tangent som en funktions graf har i en viss punkt går det att göra med hjälp av funktionens derivata. Exempelvis kan man bestämma ekvationen för tangenten som tangerar grafen till där

1

Bestäm tangeringspunkten
För att bestämma tangentens ekvation behöver man känna till koordinaterna för minst en punkt på linjen, t.ex. tangeringspunkten. Genom att sätta in det kända -värdet i funktionen kan motsvarande -värde bestämmas. I det här fallet sätter man in alltså in
Tangeringspunkten har koordinaterna

2

Derivera funktionen
Man behöver även veta tangentens lutning, som man får genom att bestämma derivatan för funktionen i punkten. För att kunna göra det måste man dock först derivera funktionen, som i detta fall är

3

Sätt in -värdet i derivatan
Genom att sätta in -värdet för tangeringspunkten i derivatan kan man nu bestämma tangentens lutning i tangeringspunkten. För exemplet sätts alltså in i
Tangenten i punkten där har alltså lutningen

4

Bestäm ekvationen med tangeringspunkten och derivatan
Nu känner man till en punkt på tangenten, och dess lutning, vilket innebär att man kan bestämma ekvationen för den räta linjen algebraiskt. Man kan t.ex. använda enpunktsformen till detta.
Tangentens ekvation är alltså

Förklaring

Derivata som modell

Derivatan till en funktion som beskriver en verklig situation kan tolkas som en momentan förändringshastighet. Derivatan beskriver alltså hur någonting förändras. Antag exempelvis att man har en funktion som ger en prognos för antalet invånare i en stad år efter att ett bostadsprojekt färdigställts.

Derivatan till denna funktion vid en viss tidpunkt skrivs och beskriver hur antalet invånare förändras då. Enheten för derivatan får man genom att dividera enheterna på axlarna: invånare/år. Om man känner till funktionsuttrycket kan man beräkna derivatans värde vid olika tidpunkter. Här följer tre olika exempel.

  • : derivatan är positiv vilket ska tolkas som att befolkningen ökar med inv/år efter år.
  • : derivatan är negativ vilket ska tolkas som att befolkningen minskar med inv/år efter år.
  • : derivatan är vilket ska tolkas som att befolkningen inte förändras efter år. I det här fallet beror det på att befolkningen har nått ett tillfälligt minimum innan den återigen börjar växa till sig.
fullscreen
Uppgift

Funktionen beskriver temperaturen på vatten i en kastrull minuter efter att spisplattan sattes på.

Tolka de två likheterna

Visa Lösning
Lösning

Vi börjar med vilket innebär att funktionen ger värdet om man sätter in Eftersom funktionen anger temperaturen vid olika tidpunkter så kan tolkas som att vattnets temperatur är efter minuter.

Likheten innebär att funktionens derivata är vilket betyder att funktionen har lutningen i punkten

Man kan se lutningen som en förändringshastighet med enheten , alltså -axelns enhet dividerad med -axelns enhet. Derivatan kan alltså tolkas som att temperaturen ökar med /min vid tidpunkten minuter.

fullscreen
Uppgift

Sträckan som en bil kör kan beskrivas med funktionen där är sträckan från startpunkten i kilometer och är tiden i timmar.

Bestäm för vilket som och beskriv bilens rörelse för det -värdet.

Visa Lösning
Lösning

Att betyder att derivatan är och eftersom derivatan anger funktionens lutning söker vi de punkter på grafen där den är Det finns bara en sådan punkt, vid

är alltså när Tolkningen av detta är att sträckan som bilen har färdats efter timmar inte förändras i detta ögonblick. Det innebär alltså att bilen står stilla vilket är samma sak som att hastigheten är km/h. Generellt gäller att derivatan av en funktion som beskriver sträcka som funktion av tid anger hastigheten.

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward