body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Mitt konto

Kurs 3b Visa detaljer

3. Använda derivata

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Övningar

Tester

eKurser /

( Ma 3b , Ma 3c ) /

Kapitel 3

Använda derivata

Denna lektion ger en omfattande förståelse för derivata. Den förklarar hur derivatan kan användas för att lösa matematiska problem och beskriva verkliga situationer. Till exempel kan man använda derivatan för att bestämma ekvationen för en tangent till en funktions graf i en viss punkt. Dessutom kan derivatan till en funktion som beskriver en verklig situation tolkas som en momentan förändringshastighet. Detta innebär att derivatan beskriver hur något förändras över tid. Lektionen innehåller också praktiska exempel som illustrerar dessa koncept.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	5 sidor teori
	19 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Använda derivata

Sida av 5

Derivata kan användas på många olika sätt, både för att lösa matematiska problem och för att beskriva verkliga situationer. Här beskrivs några sådana, bland annat hur man bestämmer ekvationen för en tangent och hur man tolkar derivator som förändringar över tid.

Metod

Bestämma en tangents ekvation med derivata

Om man vill bestämma ekvationen för den tangent som en funktions graf har i en viss punkt går det att göra med hjälp av funktionens derivata. Exempelvis kan man bestämma ekvationen för tangenten som tangerar grafen till

f (x) = 0.25 x^{2}

där

x = 2 .

Bestäm tangeringspunkten

För att bestämma tangentens ekvation behöver man känna till koordinaterna för minst en punkt på linjen, t.ex. tangeringspunkten. Genom att sätta in det kända

x

-värdet i funktionen kan motsvarande

y

-värde bestämmas. I det här fallet sätter man in alltså in

x = 2 .

f (x) = 0.25 x^{2}

Substitute

$x = 2$

f (2) = 0.25 \cdot 2^{2}

CalcPow

Beräkna potens

f (2) = 0.25 \cdot 4

Multiply

Multiplicera faktorer

f (2) = 1

Tangeringspunkten har koordinaterna

(2, 1) .

Derivera funktionen

Man behöver även veta tangentens lutning, som man får genom att bestämma derivatan för funktionen i punkten. För att kunna göra det måste man dock först derivera funktionen, som i detta fall är

f (x) = 0.25 x^{2} .

f (x) = 0.25 x^{2}

Derive

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (0.25 x^{2})

DeriveMonomCo

$D (a x^{n}) = a \cdot n x^{n - 1}$

f^{'} (x) = 2 \cdot 0.25 x

Multiply

Multiplicera faktorer

f^{'} (x) = 0.5 x

Sätt in

x

-värdet i derivatan

Genom att sätta in

x

-värdet för tangeringspunkten i derivatan

f^{'} (x)

kan man nu bestämma tangentens lutning i tangeringspunkten. För exemplet sätts alltså

x = 2

in i

f^{'} (x) = 0.5 x .

f^{'} (x) = 0.5 x

Substitute

$x = 2$

f^{'} (2) = 0.5 \cdot 2

Multiply

Multiplicera faktorer

f^{'} (2) = 1

Tangenten i punkten där

x = 2

har alltså lutningen

1 .

Bestäm ekvationen med tangeringspunkten och derivatan

Nu känner man till en punkt på tangenten,

(2, 1),

och dess lutning,

1,

vilket innebär att man kan bestämma ekvationen för den räta linjen algebraiskt. Man kan t.ex. använda enpunktsformen till detta.

y - y_{1} = k (x - x_{1})

SubstituteValues

Sätt in värden

y - 1 = 1 (x - 2)

OneMult

$1 \cdot a = a$

y - 1 = x - 2

AddEqn

$VL + 1 = HL + 1$

y = x - 1

Tangentens ekvation är alltså

y = x - 1 .

Förklaring

Derivata som modell

Derivatan till en funktion som beskriver en verklig situation kan tolkas som en momentan förändringshastighet. Derivatan beskriver alltså hur någonting förändras. Antag exempelvis att man har en funktion $y (t)$ som ger en prognos för antalet invånare i en stad $t$ år efter att ett bostadsprojekt färdigställts.

Derivatan till denna funktion vid en viss tidpunkt $t_{0}$ skrivs $y^{'} (t_{0})$ och beskriver hur antalet invånare förändras då. Enheten för derivatan får man genom att dividera enheterna på axlarna: invånare/år. Om man känner till funktionsuttrycket kan man beräkna derivatans värde vid olika tidpunkter. Här följer tre olika exempel.

$y^{'} (1) = 6400$ : derivatan är positiv vilket ska tolkas som att befolkningen ökar med $6400$ inv/år efter $1$ år.
$y^{'} (4) = - 2900$ : derivatan är negativ vilket ska tolkas som att befolkningen minskar med $2900$ inv/år efter $4$ år.
$y^{'} (5) = 0$ : derivatan är $0$ vilket ska tolkas som att befolkningen inte förändras efter $5$ år. I det här fallet beror det på att befolkningen har nått ett tillfälligt minimum innan den återigen börjar växa till sig.

Tolka funktionen och derivatan

fullscreen

Funktionen $T (x)$ beskriver temperaturen på vatten i en kastrull $x$ minuter efter att spisplattan sattes på.

Tolka de två likheterna

T (4) = 60 och T^{'} (4) = 15 .

Visa Lösning

Vi börjar med $T (4) = 60,$ vilket innebär att funktionen ger värdet $T = 60$ om man sätter in $x = 4 .$ Eftersom funktionen anger temperaturen vid olika tidpunkter så kan $T (4) = 60$ tolkas som att vattnets temperatur är $6 0^{\circ} C$ efter $4$ minuter.

Likheten $T^{'} (4) = 15$ innebär att funktionens derivata är $15$ då $x = 4,$ vilket betyder att funktionen har lutningen $15$ i punkten $(4, 60) .$

Man kan se lutningen som en förändringshastighet med enheten $^{\circ} C / min$ , alltså $y$ -axelns enhet dividerad med $x$ -axelns enhet. Derivatan $T^{'} (4) = 15$ kan alltså tolkas som att temperaturen ökar med $1 5^{\circ} C$ /min vid tidpunkten $4$ minuter.

Tolka derivatans nollställe

fullscreen

Sträckan som en bil kör kan beskrivas med funktionen $s (t),$ där $s$ är sträckan från startpunkten i kilometer och $t$ är tiden i timmar.

Bestäm för vilket $t$ som $s^{'} (t) = 0$ och beskriv bilens rörelse för det $t$ -värdet.

Visa Lösning

Att $s^{'} (t) = 0$ betyder att derivatan är $0,$ och eftersom derivatan anger funktionens lutning söker vi de punkter på grafen där den är $0 .$ Det finns bara en sådan punkt, vid $t = 3 .$

$s^{'} (t)$ är alltså $0$ när $t = 3 .$ Tolkningen av detta är att sträckan som bilen har färdats efter $3$ timmar inte förändras i detta ögonblick. Det innebär alltså att bilen står stilla vilket är samma sak som att hastigheten är $0$ km/h. Generellt gäller att derivatan av en funktion som beskriver sträcka som funktion av tid anger hastigheten.

Använda derivata

Övningar

Diagrammet visar den grafiska representationen av en funktion. Derivatan till denna beskriver olika förändringshastigheter. Ange enheten för derivatan.

Grafen till en funktion vars derivata har enheten kr/hg.

Grafen till en funktion vars derivata har enheten st/h.

Grafen till en funktion vars derivata har enheten m/s.

Grafen till en funktion vars derivata har enheten cm/år.

Eftersom funktionen representeras grafiskt och axlarnas enheter är angivna kan vi bestämma derivatans enhet genom att dividera y-axelns enhet med x-axelns. Derivatan f' har alltså enheten kr/hg.

Vi gör på samma sätt och ser att derivatan g' har enheten st/h.

Vi gör samma sak igen. Derivatan h' har enheten m/s.

Derivatan p' har enheten cm/år.

Funktionen $L (x)$ beskriver löneutvecklingen för sjuksköterskorna på vårdföretaget "HjälpaDig", där $x$ är antal år efter $2006 .$

Graf som beskriver löneutvecklingen för sjuksköterskor på ett vårdföretag.

Vilket av följande uttryck säger att löneökningen år 2009 var $400$ kr/år?

L (2009) = 400

L^{'} (3) = 400

L^{'} (2009) = 400

L (3) = 400

En ökning är en förändring, och derivata beskriver en förändring så uttrycket ska vara en derivata. Därför kan vi utesluta alternativen A och D eftersom enbart beskriver funktionsvärden. x-axeln beskriver antalet år efter 2006 och 2009 är 3 år efter 2006. Det betyder att x-värdet ska vara 3. Det finns då bara ett uttryck kvar: B. L'(3)=400.

Funktionen

T (d)

beskriver temperaturen i Torrarp

d

dagar in på året. Tina testar funktionen och finner att:

T (0) = 0, T^{'} (0) = - 1, T^{'} (1) = 2, T (1) = - 1 T (2) = 1 T^{'} (2) = 0 .

Vilken eller vilka av likheterna beskriver följande?

En ökning

En minskning

Ingen förändring

Funktionen T(d) ger en temperatur vid en viss tidpunkt. Enstaka temperaturvärden beskriver inte en förändring, utan ger bara en ögonblicksbild av vad temperaturen var just då. Därför kan vi bortse från första raden av likheter, och istället titta på derivatan. Kom ihåg att:

Där derivatan är positiv är funktionen växande.

Likheten T'(1) = 2 säger att derivatans värde är 2 en dag efter nyår. 2 är ju ett positivt tal, så detta beskriver en ökning. Temperaturen ökar alltså just då.

Kom ihåg att:

Där derivatan är negativ är funktionen avtagande.

Likheten T'(0) = - 1 säger att derivatans värde är - 1 på nyårsafton (0 dagar in på nya året). - 1 är ett negativt tal, så detta beskriver en minskning. Temperaturen sjönk alltså den dagen.

I likhet med de andra uppgifterna gäller det att:

Där derivatan är 0 ändras inte funktionens värde.

Likheten T'(2) = 0 säger att derivatans värde är 0 två dagar in på året. Funktionens värde är alltså statiskt här, så temperaturen förändras inte just då.

Funktionen

T (x)

beskriver temperaturen i staden Hufvudsta under ett dygn. Temperaturen

T (x)

anges i

^{\circ}

C och

x

är antalet timmar efter midnatt. Vilken av följande formuleringar ger den mest korrekta tolkningen av uttrycket

T^{'} (8) = 0.5 .

A: Temperaturen klockan

8

var

0.5

grader.
B: Temperaturen klockan

8

har halverats.
C: Under den åttonde timmen ökade temperaturen med

0.5

grader.
D: Klockan

8

var temperaturökningen

0.5

grader per timme.
E: Under de första

8

timmarna på dygnet ökade temperaturen med

0.5

grader.

A och B

Vi börjar med att titta på likheten T'(8) = 0.5 och ser att den säger något om T'(x), vilket är derivatan av funktionen T(x). Derivator används för att beskriva hur någonting förändras, så likheten beskriver alltså inte temperaturen vid en viss tidpunkt utan hur denna temperatur förändras. Det innebär att vi direkt kan avfärda alternativen A och B eftersom båda handlar om specifika temperaturer.

C och E

Alternativ C och E handlar båda om förändringar, men inte den sort vi är ute efter. Derivatan T'(8)=0.5 säger något om hur temperaturen förändras vid den specifika tidpunkten 8, och ingen annan tid. Det innebär att det varken kan vara alternativ C, som beskriver förändringen under en hel timme, eller E, som beskriver de första åtta timmarna efter midnatt.

D

Kvar blir då det rätta alternativet: D. Det säger att den momentana förändringshastigheten för temperaturen, alltså hur snabbt temperaturen förändrades precis klockan 8, var 0.5 grader per timme.

Grafen till funktionen $f (x) = 3 x^{2} + 7$ tangeras av en tangent vid $x = 3 .$

Bestäm tangeringspunkten för tangenten.

Bestäm tangentens lutning.

Bestäm tangentens ekvation.

Vi vet att tangenten tangerar funktionens graf vid x-värdet 3, och för att hitta det motsvarande y-värdet för tangeringspunkten sätter vi in x = 3 i f(x). f(3) = 3 * 3^2 + 7 = 34 Tangeringspunkten finns alltså i (3,34).

Lutningen för en tangent är samma som funktionens lutning i tangeringspunkten. För att bestämma den börjar vi med att derivera f(x).

Nu sätter vi in x = 3 i f'(x) och får då lutningen för f(x) i tangeringspunkten och därmed också lutningen för tangenten. f'(3) = 6 * 3 = 18 Tangentens lutning är alltså 18.

Vi vill nu bestämma ekvationen för tangenten, och det kan vi göra med hjälp av resultatet från de tidigare deluppgifterna. Tangenter är räta linjer, vilket innebär att deras ekvation har formen y = kx + m. Vi vet att k-värdet är 18, eftersom det är lutningen för tangenten. Sätter vi in det i ekvationen får vi y = 18x + m. Vi vet sedan att tangenten går igenom (3, 34) eftersom det är tangeringspunkten. Vi sätter in det och löser ut m.

Sätter vi in detta m-värde får vi ekvationen för tangenten, som blir y = 18x - 20.

Bestäm ekvationen för den tangent som tangerar grafen till funktionen i det specifierade $x$ -värdet.

f (x) = 3 x^{5}, x = 2

g (x) = x^{2} + 3, x = 1 .

h (x) = x^{3} + x, x = - 4

Vi kan använda enpunktsformen för att bestämma en tangents ekvation med derivata, men för att kunna göra det måste vi känna till en punkt på tangenten samt tangentens k-värde. Vi börjar med att bestämma tangeringspunkten. Dess x-koordinat, 2, känner vi redan till, och y-koordinaten får vi genom att sätta in x=2 i funktionen f(x).

Tangeringspunkten har alltså koordinaterna (2,96). Nu bestämmer vi tangentens k-värde, dvs. lutning, genom att derivera funktionen och sätta in x-värdet från tangeringspunkten.

Vi sätter nu in x=2 i f'(x).

k-värdet är 240. Avslutningsvis bestämmer vi den räta linjens ekvation med hjälp av tangeringspunkten (2,96) samt tangentens lutning, 240. Vi kan t.ex. göra detta genom att sätta in denna information i enpunktsformen och lösa ut y.

Tangentens ekvation är alltså y = 240x - 384.

Nu gör vi på samma sätt igen, fast för funktionen g(x)=x^2+3 då x=1. Vi bestämmer tangeringspunkten genom att sätta in x=1 i g(x).

Tangeringspunkten har koordinaterna (1,4). Nu deriverar vi funktionen och sätter in tangeringspunktens x-värde.

Vi sätter nu in x=1 i g'(x).

Tangentens k-värdet är 2. Avslutningsvis bestämmer vi ekvationen t.ex. genom att sätta in tangeringspunkten (1,4) samt tangentens lutning, 2, i enpunktsformen.

Tangentens ekvation är alltså y = 2x + 2.

Vi använder samma metod ytterligare en gång, och börjar med att sätta in x=-4 i h(x).

Tangeringspunkten är (-4,-68). Nu deriverar vi och sätter in tangeringspunktens x-värde.

Vi sätter in x=-4 i h'(x).

Tangentens lutning är alltså 49. Vi bestämmer ekvationen t.ex. genom att sätta in tangeringspunkten (-4,-68) samt k=49 i enpunktsformen.

Tangentens ekvation är alltså y = 49x + 128.

Använda derivata

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Laddar innehåll