MathReads
Premium
Mitt konto

Mitt konto Logga ut
3b
Kurs 3b Visa detaljer
3. Vad är derivata
Fortsätt till nästa lektion
Lektion
Övningar
Tester
arrow_back
eKurser /
( Ma 3b , Ma 3c ) /
Kapitel 2
3. 

Vad är derivata

Lektionen ger en omfattande förståelse för det matematiska begreppet "derivata". Den förklarar att derivatan representerar lutningen vid en specifik punkt i en funktion. För en rak linje är derivatan konstant, men den kan variera för andra funktioner. Derivatan kan vara positiv, negativ eller noll, beroende på funktionens beteende. Positiv derivata indikerar en stigande funktion, medan negativ derivata betyder en minskande funktion. Noll derivata inträffar vid maximala, minimala eller terrasspunkter. Innehållet inkluderar också metoder för att grafiskt uppskatta derivatan och exempel för att illustrera begreppet. Det är en värdefull lektionen för studenter som studerar derivata i kurser som matte 3b och 3c.
Visa mer expand_more
Begrepp Modellering Problemlösning Procedur Resonemang och Kommunikation
Inställningar & verktyg för lektion
4 sidor teori
14 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Kreditlista Bilder expand_more
Vad är derivata
Sida av 4
Begrepp

Derivata

Lutningen i en punkt har så stor användning inom matematiken att det fått ett eget namn: derivata. Derivatan för en funktion i en viss punkt är -värdet för den tangent som kan ritas genom den punkten. För en rät linje är derivatan samma i alla punkter eftersom lutningen är konstant, men om funktionens lutning varierar kommer även derivatan att göra det.

Detta betyder att derivatan är

  • negativ när funktionen är avtagande ( ).
  • positiv när funktionen är växande ( ).
  • 0 när funktionen har maximi-, minimi- eller terrasspunkt.

Ju brantare kurvan är desto större blir värdet för derivatan, med positiva värden för positiva lutningar och negativa värden för negativa lutningar.

Förstagradsfunktion

Andragradsfunktion


Tredjegradsfunktion

Notation

 Derivata:
Derivatan för funktionen i en punkt med -koordinaten brukar skrivas
vilket utläses prim av Exempelvis betyder "derivatan för funktionen i punkten där ".
Begrepp

Derivatans nollställen

I maximi-, minimi- och terrasspunkter har funktioner varken positiv eller negativ lutning. Sådana punkter kallas stationära och har derivatan eftersom tangenter som ritas genom dem är horisontella.
I en stationär punkt där gäller alltså alltid att
Omvänt gäller också att man kan hitta stationära punkter genom att undersöka var derivatan är När man anger om den stationära punkten är en maximi-, minimi- eller terrasspunkt säger man att man anger dess karaktär.

Exempel

Vilket tecken har derivatan?

 fullscreen

I figuren visas grafen till funktionen

Derivatan i punkten där är positiv. Fyll i derivatans tecken för de givna -värdena i tabellen.

Derivatans tecken
Visa Lösning expand_more

Vi tittar på punkterna från vänster till höger.

Punkten där är ett lokalt maximum där grafen varken lutar uppåt eller nedåt. Det innebär att derivatan är där, dvs. att För är lutningen negativ, och då är även derivatan negativ.

Derivatans tecken

Vi tittar på de två sista punkterna. För lutar grafen uppåt, så är positiv, och för lutar grafen nedåt. Därför är negativ.

Derivatans tecken
Metod

Uppskatta derivata grafiskt

Ett sätt att uppskatta derivatan i en graf är att rita en tangent genom den punkt man är intresserad av och bestämma linjens lutning. Denna metod kan exempelvis användas för att uppskatta värdet av med hjälp av figuren.

1
Rita en tangent i punkten och bestäm dess lutning
expand_more

Börja med att rita en tangent och bestäm dess lutning i tangeringspunkten. I exemplet är det som ska bestämmas, dvs. derivatan där


Här används tangeringspunkten och punkten för att bestämma tangentens lutning till
2
Tolka lutningen som derivata
expand_more
Eftersom derivatan är lutningen i en viss punkt, och en tangents lutning anger just detta är

Exempel

Vad är derivatans värde?

 fullscreen

Grafen till funktionen har ritats ut tillsammans med två tangenter.

Bestäm
Visa Lösning expand_more

Derivatan

Derivatans värde är grafens lutning i den punkten, så är lutningen när Det finns dock redan en tangent i tangeringspunkten så vi behöver inte rita ut något.

För att bestämma tangentens lutning behöver vi två punkter på den. Vi känner redan till en, och tangenten går genom flera andra punkter. Vi väljer

Vi sätter in punkterna i formeln för att räkna ut en linjes riktningskoefficient:
Tangenten i punkten har lutningen vilket innebär att det även är värdet för derivatan i den punkten. Man får alltså att

Derivatan

För tittar vi på grafen när Det finns ingen tangent utritad för det -värdet, men punkten är ett lokalt minimum där kurvans lutning är lika med I det här fallet kan man också se -axeln som tangenten.

Derivatan när är alltså , dvs.

Derivatan

Vid finns det en tangent utritad till grafen. För varje steg framåt går den steg uppåt. Det betyder att tangentens lutning är

Derivatan blir därför

Nivå 1
Nivå 2
Nivå 3
Vad är derivata
Övningar

Funktionen är en andragradsfunktion som har en maximipunkt där

Bestäm
Är positiv eller negativ?
Är positiv eller negativ?

I en maximipunkt till en andragradsfunktion kan man rita en horisontell tangent.


En horisontell linje har lutningen 0 så derivatan där x=3 är 0. Det betyder att f'(3)=0.


Andragradsfunktioner har exakt en extrempunkt. Eftersom det är en maximipunkt i det här fallet kommer grafen att luta uppåt fram till x=3 och nedåt efteråt.


Lutningen i punkter till vänster om maximipunkten kommer därför att vara positiv, så derivatan kommer alltså att vara positiv till vänster om x=3. Eftersom x=2 ligger till vänster om x=3 gäller då att f'(2) är positiv.


Eftersom grafen till funktionen lutar neråt till höger om maximipunkten kommer lutningen att vara negativ där.


Det betyder att derivatan där x=7 är negativ.

I figuren är grafen till funktionen utritad.

Polynomgraf med flera extrempunkter och tre nollställen.
Skriv följande derivator i storleksordning, minst först.

Derivatornas värden bestäms av grafens lutning i punkterna. Vi har ingen skala på y-axeln så vi kan inte beräkna deras faktiska värden, men vi kan undersöka hur de förhåller sig till varandra genom jämföra lutningarna. För att enklare kunna göra det ritar vi ut tangenter till grafen i de relevanta punkterna.


Vi kan börja med de som har negativ lutning eftersom de är minst.

Negativ lutning och lutningen 0

Två av punkterna har negativ lutning: starkt negativ vid x = 4 och svagt negativ vid x = -2. Det betyder att f'(4) är minst eftersom den är "mest negativ" och att f'(-2) är näst minst: f'(4) < f'(-2). Vid x = - 5 är tangenten i princip horisontell vilket innebär att derivatan där är ungefär 0. Vi placerar den efter de negativa derivatorna och får då ordningen f'(4) < f'(-2) < f'(-5).

Positiv lutning

Till sist finns det en punkt med svagt positiv lutning vid x = 0 och en med starkt positiv lutning vid x = 6, vilket ger att nästa derivata är f'(0), följt av f'(6). Derivatorna i storleksordning är alltså f'(4) < f'(-2) < f'(-5) < f'(0) < f'(6).

Ange ett exempel på en funktion vars derivata

alltid är positiv.

går från negativ till positiv.

alltid är

Derivatans tecken anger en grafs lutning för ett visst x-värde. Om en funktions derivata alltid är positiv betyder detta att funktionens graf hela tiden är växande. Ett exempel på en sådan är en rät linje med ett positivt k-värde, t.ex. y=2x-3.


Ett annat exempel är en exponentialfunktion där a > 1, dvs. som har en förändringsfaktor större än 1 exempelvis y=2*1.5^x.


Grafen till en funktion vars derivata går från negativ till positiv är först avtagande och därefter växande. Exempel på en sådan är en andragradsfunktion med positiv koefficient framför x^2, exempelvis y=x^2-4.



Om derivatan alltid är 0 så innebär det att funktionen varken ökar eller minskar för några x-värden. Den enda funktion som passar in på denna beskrivning är en konstant vars graf är en horisontell linje, exempelvis y=3.


Tindra vet att både och är lika med för en funktion Eftersom derivatan är samma för två olika punkter drar hon slutsatsen att måste vara en linjär funktion. Har Tindra rätt? Motivera utförligt.

Att derivatan är 3 i punkterna där x är 1 och -1 kan tolkas grafiskt som att de tangenter som tangerar grafen till f(x) i dessa punkter har k-värdet 3. Detta kan beskriva en linjär funktion med k-värdet 3, som Tindra påstår, men så måste inte vara fallet. Även funktioner av högre grad kan ha samma lutning i två eller fler punkter. Här ser vi t.ex. en tredjegradsfunktion med derivatan 3 i punkterna där x är -1 och 1.


Skissa grafen till en funktion där och

Uttrycket f(4)=2 innebär att funktionsvärdet är 2 där x=4, dvs. att funktionen går genom punkten (4,2). Vi vet även att f'(4) = 12 vilket innebär att derivatans värde i x=4 ska vara 12. En tolkning av detta är att tangenten genom denna punkt på grafen ska ha lutningen k= Δ yΔ x= 12.


Den enklaste funktionen vi kan rita är en rät linje med k-värdet 12 och som går genom punkten (4,2).


Det finns givetvis fler funktioner som stämmer in på beskrivningen, exempelvis en andragradsfunktion med lutningen 12 i punkten (4,2).


En funktion har följande egenskaper:

Hur skulle grafen till en sådan funktion kunna se ut? Skissa ett förslag.

Vi börjar med att reda ut vad de olika likheterna betyder. Ekvationerna f(- 1) =1 och f(1) = 5 innebär att funktionens graf går igenom punkterna (- 1,1) och (1,5). Ekvationerna f'(- 1) =0 och f'(1) = 4 innebär att funktionens derivata är 0 respektive 4 i punkterna. Drar man en tangent i punkterna ska alltså lutningen vara k=0 respektive k=4. Lutningen 4 kan vi få genom att rita en tangent som ökar med 4 när x ökar med 1.


Det finns många olika grafer som uppfyller dessa egenskaper. Där derivatan är 0 hittar vi en stationär punkt, dvs. antingen en maximi-, minimi- eller terrasspunkt. Vi kan t.ex. låta det vara en minimipunkt. I punkten (1,5) ska lutningen vara 4.


Nu skissar vi ett förslag på hur grafen skulle kunna se ut. Det skulle exempelvis kunna vara en andragradskurva.


Vad är derivata

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Återvänd till lektionen.