body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

3b

Kurs 3b Visa detaljer

3. Vad är derivata

Klar med uppgifterna

Fortsätt till nästa lektion

( Ma 3b , Ma 3c ) /

Kapitel 2

3.

Vad är derivata

Lektionen ger en omfattande förståelse för det matematiska begreppet "derivata". Den förklarar att derivatan representerar lutningen vid en specifik punkt i en funktion. För en rak linje är derivatan konstant, men den kan variera för andra funktioner. Derivatan kan vara positiv, negativ eller noll, beroende på funktionens beteende. Positiv derivata indikerar en stigande funktion, medan negativ derivata betyder en minskande funktion. Noll derivata inträffar vid maximala, minimala eller terrasspunkter. Innehållet inkluderar också metoder för att grafiskt uppskatta derivatan och exempel för att illustrera begreppet. Det är en värdefull lektionen för studenter som studerar derivata i kurser som matte 3b och 3c.

Inställningar & verktyg för lektion

	6 sidor teori
	14 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Vad är derivata

Sida av 6

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Derivativa
Uppskatta derivata grafiskt

Förkunskaper

Koncept

Derivata

Lutningen i en punkt har så stor användning inom matematiken att det fått ett eget namn: derivata. Derivatan för en funktion i en viss punkt är k-värdet för den tangent som kan ritas genom den punkten. För en rät linje är derivatan samma i alla punkter eftersom lutningen är konstant, men om funktionens lutning varierar kommer även derivatan att göra det.

Detta betyder att derivatan är

negativ när funktionen är avtagande (↘).
positiv när funktionen är växande (↗).
när funktionen har maximi-, minimi- eller terrasspunkt.

Ju brantare kurvan är desto större blir värdet för derivatan, med positiva värden för positiva lutningar och negativa värden för negativa lutningar.

Notation

Derivata: f'(a)

Derivatan för funktionen f(x) i en punkt med x-koordinaten a brukar skrivas f'(a) vilket utläses f prim av a. Exempelvis betyder f'(1) derivatan för funktionen f(x) i punkten där x=1. Några andra vanliga beteckningar för derivatan som är viktiga att känna till är yʼ, y'(x), Df och Df(x).

Koncept

Derivatans nollställen

I maximi-, minimi- och terrasspunkter har funktioner varken positiv eller negativ lutning. Sådana punkter kallas stationära och har derivatan 0 eftersom tangenter som ritas genom dem är horisontella.

I en stationär punkt där x=a gäller alltså alltid att f'(a)=0.

Omvänt gäller också att man kan hitta stationära punkter genom att undersöka var derivatan är 0. När man anger om den stationära punkten är en maximi-, minimi- eller terrasspunkt säger man att man anger dess karaktär.

Exempel

Vilket tecken har derivatan?

I figuren visas grafen till funktionen f(x).

Derivatan i punkten där x=-5 är positiv. Fyll i derivatans tecken för de givna x-värdena i tabellen.

x	Derivatans tecken
-5	+
-2,5
0
3
6

Svar

x	Derivatans tecken
-5	+
-2,5	0
0	-
3	+
6	-

Ledtråd

Identifiera minimipunkterna och maximipunkterna och analysera sedan derivatans tecken vid dessa punkter.

Lösning

Vi tittar på punkterna från vänster till höger.

Punkten där x=-2,5 är ett lokalt maximum där grafen varken lutar uppåt eller nedåt. Det innebär att derivatan är 0 där, dvs. att f'(-2,5)=0. För x=0 är lutningen negativ, och då är även derivatan negativ.

x	Derivatans tecken
-5	+
-2,5	0
0	-
3
6

Vi tittar på de två sista punkterna. För x=3 lutar grafen uppåt, så f'(3) är positiv, och för x=6 lutar grafen nedåt. Därför är f'(6) negativ.

x	Derivatans tecken
-5	+
-2,5	0
0	-
3	+
6	-

Metod

Uppskatta derivata grafiskt

Ett sätt att uppskatta derivatan i en graf är att rita en tangent genom den punkt man är intresserad av och bestämma linjens lutning. Denna metod kan exempelvis användas för att uppskatta värdet av f'(-2) med hjälp av figuren.

1

Rita en tangent i punkten och bestäm dess lutning

Börja med att rita en tangent och bestäm dess lutning i tangeringspunkten. I exemplet är det f'(-2) som ska bestämmas, dvs. derivatan där x=-2.

Här används tangeringspunkten (-2, -3) och punkten (-6, 3) för att bestämma tangentens lutning till k=3-(-3)/-6 -(-2)= -1,5.

2

Tolka lutningen som derivata

Eftersom derivatan är lutningen i en viss punkt, och en tangents lutning anger just detta är f'(-2) ≈ -1,5.

Exempel

Vad är derivatans värde?

Grafen till funktionen f(x) har ritats ut tillsammans med två tangenter.

Bestäm f'(- 4), f'(0) och f'(2).

Ledtråd

Derivatans värde är grafens lutning i den punkten.

Lösning

Derivatan f'(-4)

Derivatans värde är grafens lutning i den punkten, så f'(- 4) är lutningen när x = - 4. Det finns dock redan en tangent i tangeringspunkten (-4,4), så vi behöver inte rita ut något.

För att bestämma tangentens lutning behöver vi två punkter på den. Vi känner redan till en, och tangenten går genom flera andra punkter. Vi väljer (-1, -2).

Vi sätter in punkterna i formeln för att räkna ut en linjes riktningskoefficient: k=y_2-y_1/x_2-x_1 = -2 - 4/-1 - (-4) = - 2. Tangenten i punkten (-4,4) har lutningen -2 vilket innebär att det även är värdet för derivatan i den punkten. Man får alltså att f'(-4) = -2.

Derivatan f'(0)

För f'(0) tittar vi på grafen när x = 0. Det finns ingen tangent utritad för det x-värdet, men punkten (0,0) är ett lokalt minimum där kurvans lutning är lika med 0. I det här fallet kan man också se x-axeln som tangenten.

Derivatan när x=0 är alltså 0, dvs. f'(0) = 0.

Derivatan f'(2)

Vid x=2 finns det en tangent utritad till grafen. För varje steg framåt går den 1 steg uppåt. Det betyder att tangentens lutning är 1.

Derivatan blir därför f'(2) = 1.

Vad är derivata

Uppgift 3.1

f(x) är en polynomfunktion av grad 2 där f(4) = 4, f(6)=4 och f'(3) = 4.

Lös ekvationen f'(x) = 0.

Bestäm f'(7).

Polynomfunktionen är en andragradsfunktion. Vi ska lösa ekvationen f'(x) = 0, dvs. ta reda på för vilket eller vilka x som derivatan är 0. Det är den där kurvan har sin extrempunkt, och eftersom andragradsfunktioner är symmetriska runt denna innebär det att punkter på grafen som ligger på samma y-värde befinner sig lika långt ifrån symmetrilinjen. Likheterna f(4) = 4 och f(6) = 4 ger oss två punkter på grafen med samma y-värde: (4,4) och (6,4). De ligger alltså lika långt ifrån symmetrilinjen, dvs. den ligger mittemellan dem.

Symmetrilinjen går alltid igenom kurvans extrempunkt, så funktionen har alltså en extrempunkt i x=5 vilket innebär att derivatan är noll här. Lösningen till ekvationen f'(x)=0 är x=5.

Att vi ska ta reda på f'(7) innebär att vi ska bestämma derivatan där x=7. Vi vet att f'(3) = 4, dvs. att derivatan i x=3 är 4 vilket betyder att tangentens lutning i den punkten är 4. Vi skissar situationen för ett exempel på en andragradskurva.

Eftersom x=3 och x=7 båda ligger lika långt ifrån symmetrilinjen, 2 steg, betyder det att punkterna på grafen vid dessa x-värden ligger på samma y-värde. Om andragradskurvan ökar till vänster om symmetrilinjen kommer den avta till höger om den vilket vi inser om vi ritar tangenten där x=7.

På grund av symmetrin i andragradskurvan kommer den avta med lika mycket som kurvan växer i x=3, dvs. om f'(3)= 4 så måste f'(7)= - 4.

För funktionen f(x) gäller att f'(x)>0 för alla x. Arvid säger att det medför att ekvationen f(x)=0 måste ha en lösning. Stämmer det? Motivera!

Vi börjar med att förklara hur Arvid kan ha tänkt. Att ekvationen f(x)=0 har en lösning skulle innebära att funktionens graf skär x-axeln. Vidare innebär f'(x)>0 att derivatan alltid är positiv, dvs. att funktionen är konstant växande som för följande linjära funktion.

Men om vi kan ge ett exempel på en funktion som är konstant växande och som aldrig skär x-axeln har vi visat att Arvids påstående inte stämmer. Och det kan vi, exponentialfunktionen nedan är ett sådant exempel.

Vi ser att grafen är konstant växande och att funktionsvärdet kommer nära, men aldrig blir, 0. Grafen skär alltså aldrig x-axeln, vilket motbevisar Arvids påstående.

Vad är derivata

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

>

■2

■▢

e▢

7

8

9

×

÷■1

=

=

√▢

▢√

∫▢▢

4

5

6

+

−

≤

<

log

ln

log▢

1

2

3

()

∣

sin

cos

tan

0

.

π

x

y