Vad är derivata: Derivera funktioner med f prim

Begrepp

Derivata

Lutningen i en punkt har så stor användning inom matematiken att det fått ett eget namn: derivata. Derivatan för en funktion i en viss punkt är $k$ -värdet för den tangent som kan ritas genom den punkten. För en rät linje är derivatan samma i alla punkter eftersom lutningen är konstant, men om funktionens lutning varierar kommer även derivatan att göra det.

Detta betyder att derivatan är

negativ när funktionen är avtagande ( $↘$ ).
positiv när funktionen är växande ( $↗$ ).
0 när funktionen har maximi-, minimi- eller terrasspunkt.

Ju brantare kurvan är desto större blir värdet för derivatan, med positiva värden för positiva lutningar och negativa värden för negativa lutningar.

Förstagradsfunktion

Andragradsfunktion

Tredjegradsfunktion

Notation

Derivata:

f^{'} (a)

Derivatan för funktionen

f (x)

i en punkt med

x

-koordinaten

a

brukar skrivas

f^{'} (a)

vilket utläses

f

prim av

a .

Exempelvis betyder

f^{'} (1)

"derivatan för funktionen

f (x)

i punkten där

x = 1

Begrepp

Derivatans nollställen

I maximi-, minimi- och terrasspunkter har funktioner varken positiv eller negativ lutning. Sådana punkter kallas stationära och har derivatan

0

eftersom tangenter som ritas genom dem är horisontella.

I en stationär punkt där

x = a

gäller alltså alltid att

f^{'} (a) = 0 .

Omvänt gäller också att man kan hitta stationära punkter genom att undersöka var derivatan är

0 .

När man anger om den stationära punkten är en maximi-, minimi- eller terrasspunkt säger man att man anger dess karaktär.

Vilket tecken har derivatan?

fullscreen

I figuren visas grafen till funktionen $f (x) .$

Derivatan i punkten där $x = - 5$ är positiv. Fyll i derivatans tecken för de givna $x$ -värdena i tabellen.

$x$	Derivatans tecken
$- 5$	$+$
$- 2.5$
$0$
$3$
$6$

Visa Lösning

Vi tittar på punkterna från vänster till höger.

Punkten där $x = - 2.5$ är ett lokalt maximum där grafen varken lutar uppåt eller nedåt. Det innebär att derivatan är $0$ där, dvs. att $f^{'} (- 2.5) = 0 .$ För $x = 0$ är lutningen negativ, och då är även derivatan negativ.

$x$	Derivatans tecken
$- 5$	$+$
$- 2.5$	$0$
$0$	$-$
$3$
$6$

Vi tittar på de två sista punkterna. För $x = 3$ lutar grafen uppåt, så $f^{'} (3)$ är positiv, och för $x = 6$ lutar grafen nedåt. Därför är $f^{'} (6)$ negativ.

$x$	Derivatans tecken
$- 5$	$+$
$- 2.5$	$0$
$0$	$-$
$3$	$+$
$6$	$-$

Metod

Uppskatta derivata grafiskt

Ett sätt att uppskatta derivatan i en graf är att rita en tangent genom den punkt man är intresserad av och bestämma linjens lutning. Denna metod kan exempelvis användas för att uppskatta värdet av $f^{'} (- 2)$ med hjälp av figuren.

Rita en tangent i punkten och bestäm dess lutning

Börja med att rita en tangent och bestäm dess lutning i tangeringspunkten. I exemplet är det $f^{'} (- 2)$ som ska bestämmas, dvs. derivatan där $x = - 2 .$

Här används tangeringspunkten

(- 2, - 3)

och punkten

(- 6, 3)

för att bestämma tangentens lutning till

k = \frac{3 - ( - 3 )}{- 6 - ( - 2 )} = - 1.5 .

Tolka lutningen som derivata

Eftersom derivatan är lutningen i en viss punkt, och en tangents lutning anger just detta är

f^{'} (- 2) \approx - 1.5 .

Vad är derivatans värde?

fullscreen

Grafen till funktionen $f (x)$ har ritats ut tillsammans med två tangenter.

Bestäm

f^{'} (- 4), f^{'} (0) och f^{'} (2) .

Visa Lösning

Derivatan $f^{'} (- 4)$

Derivatans värde är grafens lutning i den punkten, så $f^{'} (- 4)$ är lutningen när $x = - 4 .$ Det finns dock redan en tangent i tangeringspunkten $(- 4, 4),$ så vi behöver inte rita ut något.

För att bestämma tangentens lutning behöver vi två punkter på den. Vi känner redan till en, och tangenten går genom flera andra punkter. Vi väljer $(- 1, - 2) .$

Vi sätter in punkterna i formeln för att räkna ut en linjes riktningskoefficient:

k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} = \frac{- 2 - 4}{- 1 - ( - 4 )} = - 2 .

Tangenten i punkten

(- 4, 4)

har lutningen

- 2

vilket innebär att det även är värdet för derivatan i den punkten. Man får alltså att

f^{'} (- 4) = - 2 .

Derivatan $f^{'} (0)$

För $f^{'} (0)$ tittar vi på grafen när $x = 0 .$ Det finns ingen tangent utritad för det $x$ -värdet, men punkten $(0, 0)$ är ett lokalt minimum där kurvans lutning är lika med $0 .$ I det här fallet kan man också se $x$ -axeln som tangenten.

Derivatan när $x = 0$ är alltså $0$ , dvs. $f^{'} (0) = 0 .$

Derivatan $f^{'} (2)$

Vid $x = 2$ finns det en tangent utritad till grafen. För varje steg framåt går den $1$ steg uppåt. Det betyder att tangentens lutning är $1 .$

Derivatan blir därför $f^{'} (2) = 1 .$

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Notation

Exempel

Vilket tecken har derivatan?

Exempel

Vad är derivatans värde?

Derivatan f′(−4)

Derivatan f′(0)

Derivatan f′(2)

Derivatan $f^{'} (- 4)$

Derivatan $f^{'} (0)$

Derivatan $f^{'} (2)$