MathReads
Premium
Mitt konto

Mitt konto Logga ut
3b
Kurs 3b Visa detaljer
3. Vad är derivata
Fortsätt till nästa lektion
Lektion
Övningar
Tester
arrow_back
eKurser /
( Ma 3b , Ma 3c ) /
Kapitel 2
3. 

Vad är derivata

Lektionen ger en omfattande förståelse för det matematiska begreppet "derivata". Den förklarar att derivatan representerar lutningen vid en specifik punkt i en funktion. För en rak linje är derivatan konstant, men den kan variera för andra funktioner. Derivatan kan vara positiv, negativ eller noll, beroende på funktionens beteende. Positiv derivata indikerar en stigande funktion, medan negativ derivata betyder en minskande funktion. Noll derivata inträffar vid maximala, minimala eller terrasspunkter. Innehållet inkluderar också metoder för att grafiskt uppskatta derivatan och exempel för att illustrera begreppet. Det är en värdefull lektionen för studenter som studerar derivata i kurser som matte 3b och 3c.
Visa mer expand_more
Inställningar & verktyg för lektion
6 sidor teori
14 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Kreditlista Bilder expand_more
Vad är derivata
Sida av 6

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

  • Derivativa
  • Uppskatta derivata grafiskt

Förkunskaper
Koncept

Derivata

Lutningen i en punkt har så stor användning inom matematiken att det fått ett eget namn: derivata. Derivatan för en funktion i en viss punkt är värdet för den tangent som kan ritas genom den punkten. För en rät linje är derivatan samma i alla punkter eftersom lutningen är konstant, men om funktionens lutning varierar kommer även derivatan att göra det.

Detta betyder att derivatan är

  • negativ när funktionen är avtagande
  • positiv när funktionen är växande
  • när funktionen har maximi-, minimi- eller terrasspunkt.
Ju brantare kurvan är desto större blir värdet för derivatan, med positiva värden för positiva lutningar och negativa värden för negativa lutningar.

Notation

 Derivata:
Derivatan för funktionen i en punkt med koordinaten brukar skrivas
vilket utläses prim av Exempelvis betyder derivatan för funktionen i punkten där . Några andra vanliga beteckningar för derivatan som är viktiga att känna till är
Koncept

Derivatans nollställen

I maximi-, minimi- och terrasspunkter har funktioner varken positiv eller negativ lutning. Sådana punkter kallas stationära och har derivatan eftersom tangenter som ritas genom dem är horisontella.

I en stationär punkt där gäller alltså alltid att
Omvänt gäller också att man kan hitta stationära punkter genom att undersöka var derivatan är När man anger om den stationära punkten är en maximi-, minimi- eller terrasspunkt säger man att man anger dess karaktär.
Exempel

Vilket tecken har derivatan?

I figuren visas grafen till funktionen

Derivatan i punkten där är positiv. Fyll i derivatans tecken för de givna värdena i tabellen.

Derivatans tecken

Svar
Derivatans tecken

Ledtråd

Identifiera minimipunkterna och maximipunkterna och analysera sedan derivatans tecken vid dessa punkter.

Lösning

Vi tittar på punkterna från vänster till höger.

Punkten där är ett lokalt maximum där grafen varken lutar uppåt eller nedåt. Det innebär att derivatan är där, dvs. att För är lutningen negativ, och då är även derivatan negativ.

Derivatans tecken

Vi tittar på de två sista punkterna. För lutar grafen uppåt, så är positiv, och för lutar grafen nedåt. Därför är negativ.

Derivatans tecken
Metod

Uppskatta derivata grafiskt

Ett sätt att uppskatta derivatan i en graf är att rita en tangent genom den punkt man är intresserad av och bestämma linjens lutning. Denna metod kan exempelvis användas för att uppskatta värdet av med hjälp av figuren.

1
Rita en tangent i punkten och bestäm dess lutning
expand_more

Börja med att rita en tangent och bestäm dess lutning i tangeringspunkten. I exemplet är det som ska bestämmas, dvs. derivatan där

Här används tangeringspunkten och punkten för att bestämma tangentens lutning till
2
Tolka lutningen som derivata
expand_more
Eftersom derivatan är lutningen i en viss punkt, och en tangents lutning anger just detta är
Exempel

Vad är derivatans värde?

Grafen till funktionen har ritats ut tillsammans med två tangenter.

Bestäm

Ledtråd

Derivatans värde är grafens lutning i den punkten.


Lösning

Derivatan

Derivatans värde är grafens lutning i den punkten, så är lutningen när Det finns dock redan en tangent i tangeringspunkten så vi behöver inte rita ut något.

För att bestämma tangentens lutning behöver vi två punkter på den. Vi känner redan till en, och tangenten går genom flera andra punkter. Vi väljer

Vi sätter in punkterna i formeln för att räkna ut en linjes riktningskoefficient:
Tangenten i punkten har lutningen vilket innebär att det även är värdet för derivatan i den punkten. Man får alltså att

Derivatan

För tittar vi på grafen när Det finns ingen tangent utritad för det värdet, men punkten är ett lokalt minimum där kurvans lutning är lika med I det här fallet kan man också se -axeln som tangenten.

Derivatan när är alltså dvs.

Derivatan

Vid finns det en tangent utritad till grafen. För varje steg framåt går den steg uppåt. Det betyder att tangentens lutning är

Derivatan blir därför

Nivå 1
Nivå 2
Nivå 3
Vad är derivata
Övningar

I koordinatsystemet syns grafen till

Grafen till h(x), en fjärdegradare.

Är uttrycket positivt, negativt eller

Uttrycket h(- 2) anger funktionsvärdet i x=- 2.

Punkten ligger ovanför x-axeln så h(-2) är positivt.


Uttrycket h'(- 1) anger funktionens derivata i x=-1, dvs. lutningen i den punkten.

I punkten lutar grafen nedåt dvs. h'(-1) är negativt.


Punkten där x=0 är en lokal maximipunkt och en tangent där kommer att vara horisontell.

Tangentens lutning är 0 vilket betyder att derivatan är 0. Det innebär att h'(0)=0.

Ange om derivatan till funktionen är positiv, negativ eller

Temperaturen för kaffet som nyligen hällts upp i en kopp i ett lärarrum efter minuter.
Längden på en -årig människas lårben efter timmar.
Snödjupet efter timmar när det snöar under en kall januaridag.

Derivata anger hur en funktion förändras. En positiv derivata betyder att funktionen ökar och är derivatan negativ så minskar funktionen. Eftersom rumstemperaturen är mindre än kaffet kommer kaffets temperatur att avta. Funktionsvärdet T minskar alltså över tid vilket betyder att derivatan är negativ.


När man blivit 30 år har man har vuxit klart så längden på skelettet varken ökar eller minskar. Funktionen som beskriver längden L är alltså konstant vilket betyder att derivatan är .


Förutsatt att det är tillräckligt kallt så att snön inte smälter ökar snödjupet på marken när det snöar. Funktionsvärdet som beskriver snödjupet stiger alltså, vilket betyder att derivatan är positiv.

I koordinatsystemet syns grafen till

En tredjegradare med tre nollställen och inflexionspunkt i origo.
Nedan följer några intervall och värden på
När är derivatan till grafen är positiv?
När är derivatan
När är derivatan till grafen negativ?

Derivata anger en funktions lutning för olika x-värden. När derivatan är positiv stiger funktionens graf och vi ser att funktionens graf ökar för alla x som är mindre än - 1. Det gör den även för x större än 1.

För punkterna där x=-1 och x=1 är derivatan lika med 0 som varken är positivt eller negativt, och därför ska extrempunkterna inte räknas med här. Detta betyder att funktionens derivata är positiv i intervallen x<- 1 och x>1.


När derivatan är 0 är grafens lutning 0 vilket den är i extrempunkter. Det finns två extrempunkter: en där x=- 1 och en där x=1.

Funktionens derivata är alltså 0 där x=- 1 och x=1.


När derivatan är negativ avtar funktionens graf. Det gör den mellan x=- 1 och x=1.

Detta betyder att funktionens derivata är negativ i intervallet - 1 < x < 1. Även här exkluderar vi extrempunkterna eftersom derivatan är 0 i dessa.

I koordinatsystemet visas grafen till

Funktionskurva med tre nollställen och fyra extrempunkter.
Använd grafen för att lösa ekvationen

Att lösa ekvationen f'(x)=0 innebär att vi ska hitta de x-värden där funktionens derivata är 0. Det är den i stationära punkter, dvs. där lutningen på en inritad tangent är 0. Om vi tittar på grafen ser vi att den har fyra stationära punkter. Vi markerar dessa på grafen och läser av deras x-värden.

Grafen har alltså stationära punkter för x-koordinaterna x=- 5, x=- 2, x=3 och x=6, vilket innebär att dessa löser ekvationen f'(x)=0.

I figuren visas grafen till funktionen Bestäm

Rät linje y=0,75x+2.

Vi söker alltså f'(2) vilket är lutningen för funktionens graf där x = 2. I det här fallet är f(x) en rät linje, vilket innebär att lutningen är konstant och kan läsas av direkt i funktionsuttrycket som k-värdet: f(x) = 0,75x + 2 ⇒ k=0,75. 0,75 är alltså derivatan för alla funktionens x-värden, och då även för x=2. Därför är f'(2)=0,75.

I figuren visas grafen till funktionen

Andragradskurva med minimum i (3,-3)

Uppskatta derivatans värde grafiskt. Svara med ett heltal.

f'(1) är derivatans värde i x=1 vilket är samma sak som tangentens lutning i den punkt på kurvan där x=1. Vi ritar en tangent till kurvan i x=1 och uppskattar lutningen genom att läsa av förändringen i y-led när man går 1 steg åt höger i x-led.

För varje steg åt höger avtar linjen med 1 steg i y-led. Detta betyder att tangentens lutning är - 1 och därmed att f'(1)≈-1.


Vi gör samma sak igen, dvs. drar en tangent genom punkten på kurvan där x=5 och läser av lutningen.

Tangentens lutning är 1 vilket betyder att f'(5)≈1.


Vi drar en tangent genom punkten på grafen där x=7 och läser av linjens lutning.

Tangentens lutning är 2 vilket betyder att f'(7)≈2.

Vad är derivata

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Återvänd till lektionen.