Vad är derivata: Derivera funktioner med f prim

body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Ett fel uppstod, försök igen senare!

{{ article.displayTitle }}

Sida {{ slide.slideNumber }} av {{ article.intro.bblockCount }}

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Derivativa
Uppskatta derivata grafiskt

Förkunskaper

Koncept

Derivata

Lutningen i en punkt har så stor användning inom matematiken att det fått ett eget namn: derivata. Derivatan för en funktion i en viss punkt är $k -$ värdet för den tangent som kan ritas genom den punkten. För en rät linje är derivatan samma i alla punkter eftersom lutningen är konstant, men om funktionens lutning varierar kommer även derivatan att göra det.

Detta betyder att derivatan är

negativ när funktionen är avtagande $(↘) .$
positiv när funktionen är växande $(↗) .$
$0$ när funktionen har maximi-, minimi- eller terrasspunkt.

Ju brantare kurvan är desto större blir värdet för derivatan, med positiva värden för positiva lutningar och negativa värden för negativa lutningar.

Notation

Derivata:

f^{'} (a)

Derivatan för funktionen

f (x)

i en punkt med

x -

koordinaten

a

brukar skrivas

f^{'} (a)

vilket utläses

f

prim av

a .

Exempelvis betyder

f^{'} (1)

derivatan för funktionen

f (x)

i punkten där

x = 1

. Några andra vanliga beteckningar för derivatan som är viktiga att känna till är

y ʼ, y^{'} (x), D f och D f (x) .

Koncept

Derivatans nollställen

I maximi-, minimi- och terrasspunkter har funktioner varken positiv eller negativ lutning. Sådana punkter kallas stationära och har derivatan $0$ eftersom tangenter som ritas genom dem är horisontella.

I en stationär punkt där

x = a

gäller alltså alltid att

f^{'} (a) = 0 .

Omvänt gäller också att man kan hitta stationära punkter genom att undersöka var derivatan är

0 .

När man anger om den stationära punkten är en maximi-, minimi- eller terrasspunkt säger man att man anger dess karaktär.

Exempel

Vilket tecken har derivatan?

I figuren visas grafen till funktionen $f (x) .$

Derivatan i punkten där $x = - 5$ är positiv. Fyll i derivatans tecken för de givna $x -$ värdena i tabellen.

$x$	Derivatans tecken
$- 5$	$+$
$- 2, 5$
$0$
$3$
$6$

Svar

$x$	Derivatans tecken
$- 5$	$+$
$- 2, 5$	$0$
$0$	$-$
$3$	$+$
$6$	$-$

Ledtråd

Identifiera minimipunkterna och maximipunkterna och analysera sedan derivatans tecken vid dessa punkter.

Lösning

Vi tittar på punkterna från vänster till höger.

Punkten där $x = - 2, 5$ är ett lokalt maximum där grafen varken lutar uppåt eller nedåt. Det innebär att derivatan är $0$ där, dvs. att $f^{'} (- 2, 5) = 0 .$ För $x = 0$ är lutningen negativ, och då är även derivatan negativ.

$x$	Derivatans tecken
$- 5$	$+$
$- 2, 5$	$0$
$0$	$-$
$3$
$6$

Vi tittar på de två sista punkterna. För $x = 3$ lutar grafen uppåt, så $f^{'} (3)$ är positiv, och för $x = 6$ lutar grafen nedåt. Därför är $f^{'} (6)$ negativ.

$x$	Derivatans tecken
$- 5$	$+$
$- 2, 5$	$0$
$0$	$-$
$3$	$+$
$6$	$-$

Metod

Uppskatta derivata grafiskt

Ett sätt att uppskatta derivatan i en graf är att rita en tangent genom den punkt man är intresserad av och bestämma linjens lutning. Denna metod kan exempelvis användas för att uppskatta värdet av $f^{'} (- 2)$ med hjälp av figuren.

1

Rita en tangent i punkten och bestäm dess lutning

Börja med att rita en tangent och bestäm dess lutning i tangeringspunkten. I exemplet är det $f^{'} (- 2)$ som ska bestämmas, dvs. derivatan där $x = - 2 .$

Här används tangeringspunkten

(- 2, - 3)

och punkten

(- 6, 3)

för att bestämma tangentens lutning till

k = \frac{3 - ( - 3 )}{- 6 - ( - 2 )} = - 1, 5 .

2

Tolka lutningen som derivata

Eftersom derivatan är lutningen i en viss punkt, och en tangents lutning anger just detta är

f^{'} (- 2) \approx - 1, 5 .

Exempel

Vad är derivatans värde?

Grafen till funktionen $f (x)$ har ritats ut tillsammans med två tangenter.

Bestäm

f^{'} (- 4), f^{'} (0) och f^{'} (2) .

Ledtråd

Derivatans värde är grafens lutning i den punkten.

Lösning

Derivatan $f^{'} (- 4)$

Derivatans värde är grafens lutning i den punkten, så $f^{'} (- 4)$ är lutningen när $x = - 4 .$ Det finns dock redan en tangent i tangeringspunkten $(- 4, 4),$ så vi behöver inte rita ut något.

För att bestämma tangentens lutning behöver vi två punkter på den. Vi känner redan till en, och tangenten går genom flera andra punkter. Vi väljer $(- 1, - 2) .$

Vi sätter in punkterna i formeln för att räkna ut en linjes riktningskoefficient:

k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} = \frac{- 2 - 4}{- 1 - ( - 4 )} = - 2 .

Tangenten i punkten

(- 4, 4)

har lutningen

- 2

vilket innebär att det även är värdet för derivatan i den punkten. Man får alltså att

f^{'} (- 4) = - 2 .

Derivatan $f^{'} (0)$

För $f^{'} (0)$ tittar vi på grafen när $x = 0 .$ Det finns ingen tangent utritad för det $x -$ värdet, men punkten $(0, 0)$ är ett lokalt minimum där kurvans lutning är lika med $0 .$ I det här fallet kan man också se $x$ -axeln som tangenten.

Derivatan när $x = 0$ är alltså $0,$ dvs. $f^{'} (0) = 0 .$

Derivatan $f^{'} (2)$

Vid $x = 2$ finns det en tangent utritad till grafen. För varje steg framåt går den $1$ steg uppåt. Det betyder att tangentens lutning är $1 .$

Derivatan blir därför $f^{'} (2) = 1 .$

{{ article.displayTitle }}

{{ tocSubtitle }}

{{ 'ml-heading-loading-content' | message }}

Laddar innehåll