Rotuttryck och exponenter på bråkform

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Kvadratrot

Kvadratroten ur ett tal a,a, vilket skrivs a\sqrt{a}, är det positiva tal som när det multipliceras med sig självt blir a.a. Exempelvis är 16\sqrt{16} lika med 44 eftersom 44=164 \cdot 4 = 16 och på samma sätt är 25\sqrt{25} lika med 55 eftersom 55=25.5\cdot 5=25. Man kan också se kvadratroten som motsatsen till att kvadrera ett tal.

aa=aeller(a)2=a\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a \quad \text{eller} \quad \left(\sqrt{a}\right)^2=a

Drar man kvadratroten ur ett positivt tal aa som har kvadrerats tar de två operationerna ut varandra och man får alltså tillbaka a.a.

Villkor

Villkor för kvadratrötter
Begrepp

Rotuttryck

Ett rotuttryck måste inte vara en kvadratrot utan roten kan även vara högre. I rotuttrycket 273,\sqrt[3]{27}, vilket utläses kubikroten ur 2727 eller "tredje roten ur 2727", så anger 33:an typen av rot. Det är alltså det tal som multiplicerat med sig självt 33 gånger blir 27,27, alltså 3.3. Om typen av rot inte anges i ett rotuttryck är det underförstått att man menar kvadratroten.

Generellt är an\sqrt[n]{a} det tal som multiplicerat med sig själv nn gånger är lika med a.a.

ananann st.=a\underbrace{\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{a}\, \cdot \ldots \cdot \, \sqrt[n]{a}}_{n\text{ st.}}=a

På räknaren finns det också inbyggd funktionalitet för att skriva rotuttryck.
Regel

Multiplikation och division med rotuttryck

Om rotuttryck multipliceras eller divideras, t.ex. 28,\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}, finns det räkneregler som kan förenkla beräkningarna. Det finns till exempel inget enkelt sätt att beräkna 2\sqrt{2} eller 8\sqrt{8} separat men man kan skriva om 28\sqrt{2}\cdot\sqrt{8} som 16,\sqrt{16}, vilket är lika med 4.4. Generellt gäller följande likheter för multiplikationer och divisioner av rotuttryck.

Regel

anbn=abn\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a \cdot b}

Regel

anbn=abn\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}
Uppgift

Beräkna utan räknare: 632. \dfrac{\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.

Visa lösning Visa lösning
Regel

Rationell exponent

Man kan skriva rötter som potenser med bråk i exponenten.

Regel

an=a1/n\sqrt[n]{a}=a^{1/n}

Regel

abn=ab/n\sqrt[n]{a^b}=a^{b/n}

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna värdet av uttrycken med räknare. Svara med två decimaler.

a

24\sqrt{24}

b

5+2\sqrt{5 + 2}

c

5+2\sqrt{5} + \sqrt{2}

d

217+22\cdot\sqrt{17} + 2

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna utan räknare.


a

33\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}

b

(53)2\left(\sqrt{53}\right)^2

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna värdet av uttrycken utan räknare.


a

743\sqrt{7 \cdot 4 - 3}

b

7+582\sqrt{7 + \dfrac{58}{2}}

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm utan räknare och kontrollera svaret med räknare.

a

144\sqrt{144}

b

0.25\sqrt{0.25}

c

49\sqrt{\dfrac{4}{9}}

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv en potens med exponenten 12\frac{1}{2} och som är lika med 3.

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hur lång är sidan av en kvadrat med arean 64 cm2\text{cm}^2?

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv femte roten ur 17 i potensform.

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna värdet av uttrycken med räknare. Svara med två decimaler.

a

93\sqrt[3]{9}

b

2154\sqrt[4]{215}

c

713857 \cdot \sqrt[5]{13 \cdot 8}

d

100006+100007\sqrt[6]{10\,000} + \sqrt[7]{10\,000}

1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna värdet på uttrycken utan räknare. Kontrollera ditt svar med räknare.

a

161216^{\frac{1}{2}}

b

271327^{\frac{1}{3}}

1.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna följande uttryck med räknare och avrunda till tre decimaler.

a

18\sqrt{18} och 181/218^{1/2}

b

755\sqrt[5]{75} och 751/575^{1/5}

c

10573\sqrt[3]{1057} och 10571/31057^{1/3}

1.11
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En kubs volym är 216216 cm3^3. Hur lång är kubens sida?

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna uttryckens värde utan räknare.


a

10645(12)210\sqrt{64}-5\left(\sqrt{12}\right)^2

b

315+1031283\sqrt{15+10}-3\sqrt{12-8}

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lars-Eric och Shanie räknar matte tillsammans. De ska beräkna värdet av rotuttryck och löser två olika uppgifter på följande sätt.

Lars-Eric:

425=425=25=10 \sqrt{4\cdot25}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{25}=2\cdot 5=10

Shanie:

9+16=9+16=3+4=7. \sqrt{9+16}=\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7.

En av dem har gjort fel. Vem har gjort fel och vilket fel har hen gjort? Visa hur den korrekta lösningen ser ut.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv om följande kvot så att den innehåller ett rotuttryck: 512523. \dfrac{5^{\frac{1}{2}}}{5^{\frac{2}{3}}}.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv en potens med exponenten 13\frac{1}{3} och som är lika med 5.

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna följande uttryck utan räknare.

a

3+9123123123 + 9^{\frac{1}{2}} - 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}}

b

2813+4134232 - 8^{\frac{1}{3}} + 4^{\frac{1}{3}} \cdot 4^{\frac{2}{3}}

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Mellan vilka två på varandra följande heltal ligger 23\sqrt{23}? Motivera utan att använda miniräknare.

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv följande uttryck som en potens.

a

777\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{7}

b

5353\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{5}

2.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna uttryckets värde utan räknare. 7+77982 7 + \sqrt{7} \cdot \sqrt{7} - \sqrt{\dfrac{98}{2}}

2.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Nedanstående kvadrat har sidan 3s.3s.

Exercise519 1.svg


a

Ställ upp ett uttryck som beskriver sidan i en kvadrat med fyra gånger större area.

b

Hur förhåller sig sidlängden i den stora kvadraten till den lilla kvadratens sida?

2.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt. Svara med ett rotuttryck.


a

634614\dfrac{6^{\frac{3}{4}}}{6^{\frac{1}{4}}}

b

13-271357132713^{\text{-} \frac{2}{7}} \cdot \dfrac{13^{\frac{5}{7}}}{13^{\frac{2}{7}}}

2.11
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att om du fördubblar arean för en kvadrat kommer den nya sidan alltid att bli ungefär 40 % längre.

2.12
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen: x12=9.x^{\frac{1}{2}}=9.

Nationella provet VT12 1c
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Jonas har hittat ett formelblad med regeln för multiplikation av rotuttryck, ab=ab.\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a \cdot b}. Han använder denna för att göra följande omskrivning:

Exercise 630 1b.svg


a

När han slår in -5-5\sqrt{\text{-}5}\cdot \sqrt{\text{-}5} på räknaren står det ERROR och inte 5. Vad har Jonas gjort för fel i sin omskrivning?

b

Vad är villkoren för aa och bb för att likheten ab=ab\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}} ska gälla? Använd dig av olikhetstecken.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla produkten 2653 \sqrt{2}\cdot \sqrt{6}\cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} så långt det går. Svara exakt och med minsta möjliga tal under rottecknet.

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Placera följande tal i storleksordning utan att använda räknare.

  • A=8.5\text{A}=\sqrt{8.5}
  • B=0.24\text{B}=\sqrt{0.24}
  • C=653.9\text{C}=\dfrac{\sqrt{65}}{\sqrt{3.9}}
  • D=1+80\text{D}= \sqrt{1}+\sqrt{80}
3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt utan räknare. Svara i potensform. 6(23)23363 \dfrac{\sqrt{6} \cdot (2 \cdot 3)^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{36}}

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm nn i nedanstående ekvation. aana6a8=a124. \sqrt{a}\cdot \sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[6]{a}\cdot \sqrt[8]{a} = a^{\frac{1}{24}}.

3.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Figuren visar tre kohagar, A, B och C. Hagarna har tillsammans 2323 bruna och 4545 svartvita kor. Två bönder ska mötas vid mjölkningsplatsen M och mjölka.

Exercise498 2.svg

Bonden Petter startar vid punkten P och bonden Qristoffer startar vid punkten Q. Båda går precis längs med kanten på hagarna. Hage A har arean a ae. och hage B har arean b ae. Hage C har en area som är lika stor som de båda mindre hagarnas area tillsammans. Hur lång sträcka gick Petter respektive Qristoffer för att komma till mjölkningsplatsen?

3.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna värdet av uttrycken utan att använda din räknare.


a

3+29+9\sqrt{3 + \sqrt{2} \cdot \sqrt{9 + 9}}

b

481+12516+11273\sqrt{\sqrt{\dfrac{4}{81}} + \dfrac{1}{\sqrt{25-16}} + \dfrac{11}{\sqrt{27}\cdot\sqrt{3}}}

3.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

512\sqrt[12]{5} är ungefär lika med 1.14.1.14. Använd detta för att, utan räknare, visa att 5354>5. \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[4]{5}>\sqrt{5}.

3.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hur många 525^2 ska finnas under rottecknet för att ekvationen ska stämma? 52+52++52=52+52+52 \sqrt{5^2+5^2+\ldots+5^2}=5^2+5^2+5^2

3.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vi vet att xx är ett positivt heltal i nedanstående ekvation. Bestäm talet utan att använda räknare. x2=223474 x^2=2^2\cdot 3^4\cdot 7^4

3.11
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna nedanstående uttryck utan räknare och svara exakt. 254254254254+254+254 \dfrac{\sqrt[4]{25}\cdot\sqrt[4]{25}\cdot\sqrt[4]{25}}{\sqrt[4]{25}+\sqrt[4]{25}+\sqrt[4]{25}}