mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
Expandera meny menu_open Minimera
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
Aritmetik

Rotuttryck och exponenter på bråkform


Videolektion

Mathleaks

play_circle_filled
play_circle_filled
picture_in_picture_alt

Minispelare aktiv

Begrepp

Kvadratrot

Kvadratroten ur ett tal vilket skrivs , är det positiva tal som när det multipliceras med sig självt blir Exempelvis är lika med eftersom och på samma sätt är lika med eftersom Man kan också se kvadratroten som motsatsen till att kvadrera ett tal.

Drar man kvadratroten ur ett positivt tal som har kvadrerats tar de två operationerna ut varandra och man får alltså tillbaka

Villkor

Villkor för kvadratrötter
  • Om man beräknar kvadratroten ur kommer detta värde alltid att vara det positiva värdet trots att även är lika med Kvadratroten är definierad på det viset så att det inte finns någon tvetydighet kring vilket värde man menar.
  • Det finns inget reellt tal som när det kvadreras ger ett negativt tal eftersom Detta innebär att det inte heller kan finns något reellt värde som är kvadratroten ur ett negativt tal. Exempelvis är odefinierat.
Begrepp

Rotuttryck

Ett rotuttryck måste inte vara en kvadratrot utan roten kan även vara högre. I rotuttrycket vilket utläses kubikroten ur eller "tredje roten ur ", så anger :an typen av rot. Det är alltså det tal som multiplicerat med sig självt gånger blir alltså Om typen av rot inte anges i ett rotuttryck är det underförstått att man menar kvadratroten.

Generellt är det tal som multiplicerat med sig själv gånger är lika med

På räknaren finns det också inbyggd funktionalitet för att skriva rotuttryck.

Digitala verktyg

Rotuttryck på räknare

unfold_more

Om man inte vill skriva rotuttryck som exponenter på bråkform finns det inbyggda funktioner för både kvadratrot och andra rotuttryck på räknaren.


Digitala verktyg

Kvadratrot och tredje roten ur

För att beräkna kvadratroten ur ett tal på räknaren skriver man först symbolen (2nd + ). Då skrivs startparentesen ut automatiskt. Därefter skriver man det tal man vill dra roten ur följt av slutparentes.

TI-beräkning som visar kvadratroten ur 36

På motsvarande sätt kan man beräkna tredje roten ur ett tal genom att trycka på knappen MATH och välja följt av talet och slutparentes.

TI-meny som visar MATH, med tredje roten ur valt
Digitala verktyg

Andra typer av rotuttryck

För att skriva andra typer av rötter börjar man med att skriva in vilken typ av rot man vill beräkna. Om man vill beräkna fjärde roten ur skriver man alltså en fyra.

TI-beräkning som visar en 4a

Därefter trycker man på MATH och väljer där :et står för en godtycklig rot.

TI-meny som visar MATH, med x:te roten ur valt

Slutligen skriver man talet man vill dra den önskade roten ur inom parenteser och trycker ENTER.

TI-beräkning som visar en 4:e roten ur 81
info
Regel

Multiplikation och division med rotuttryck

Om rotuttryck multipliceras eller divideras, t.ex. finns det räkneregler som kan förenkla beräkningarna. Det finns till exempel inget enkelt sätt att beräkna eller separat men man kan skriva om som vilket är lika med Generellt gäller följande likheter för multiplikationer och divisioner av rotuttryck.

Regel

En produkt av två rotuttryck, t.ex. , kan skrivas som ett enda rotuttryck: Man kan motivera varför genom att skriva som en multiplikation av två potenser och sedan använda potenslagarna.

Regeln gäller för icke-negativa och reella a och b. Är rotuttrycken kvadratrötter fungerar regeln på samma sätt. Man skriver då inte

Regel

En kvot av två rotuttryck, t.ex. kan skrivas som ett enda rotuttryck: . Man kan motivera varför genom att skriva om rötterna till potenser, och därefter använda potenslagarna.

Regeln gäller om och är reella, där är icke-negativt och är positivt. Om rotuttrycken är kvadratrötter fungerar regeln på samma sätt. Dock brukar man då skriva och inte
fullscreen
Uppgift

Beräkna utan räknare:

Visa Lösning
Lösning
Vi kan inte beräkna någon av rötterna utan räknare, men genom att använda räknereglerna för multiplikation och division av rotuttryck kan vi skriva om uttrycket och bestämma dess värde.
Uttrycket kan alltså förenklas till 3. Man kan också beräkna det genom att skriva 6 som
Regel

Rationell exponent

Man kan skriva rötter som potenser med bråk i exponenten.

Regel

Om man kvadrerar kvadratroten ur ett tal tar beräkningarna ut varandra, t.ex. Ur detta kan man lösa ut genom att höja upp båda led med och använda potenslagarna.

Kvadratroten ur 9 kan alltså skrivas Denna regel brukar uttryckas som På liknande sätt kan man motivera att eller mer generellt

Regel

En potens med en exponent som är ett bråk där täljaren inte är , t.ex. kan skrivas om som en kombination av ett rotuttryck och en potens: Exponentens nämnare anger alltså vilken sorts rot det är och täljaren hamnar som en exponent, antingen på basen eller på hela rotuttrycket.

Regel

Man kan utgå från t.ex. och visa hur täljaren i exponenten hamnar som exponent på talet under rottecknet genom att använda potenslagarna.
Rotuttrycket kan alltså skrivas som Med samma motivering som för kan man även visa omskrivningen

Digitala verktyg

Exponenter på bråkform

unfold_more

Om man behöver skriva en potens med ett bråk i exponenten är det viktigt att komma ihåg att sätta parenteser runt bråket.

TI-beräkning som visar potens med bråk i exponenten

Om man glömmer detta kommer räknaren att utföra beräkningarna enligt prioriteringsreglerna, vilket innebär att endast siffran direkt höger om hamnar i exponenten.

TI-beräkning som visar potens med bråk utan parenteser
Ett alternativt sätt är att istället använda räknarens verktyg för att skriva rotuttryck.
info
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward