Potensekvationer

Vi adderar 40 till båda sidor för att få 4x^2 ensamt. Därefter delar vi båda led med 4 och drar slutligen kvadratroten ur båda led.

Både x=-sqrt(10) och x=sqrt(10) löser ekvationen.

Vi börjar med att dela med 9 och kan därefter dra kvadratroten ur båda led.

Både x=- 29 och x= 29 löser ekvationen.

Börja med att addera 3 till båda led. För att få bort nämnaren multiplicerar vi därefter båda led med x.

Både x=- sqrt(2) och x=sqrt(2) löser ekvationen.

Det första felet Tina har gjort är att hon får två reella lösningar. Drar man en jämn rot ur en ekvation får man två reella lösningar, en positiv och en negativ. Detta beror på att ett jämnt antal negativa tal multiplicerade ger en positiv produkt. Men 3 är ett udda tal så vi får endast en rot och det är därför Henrik säger att lösningen endast är x=9. Men detta är också fel. Både Tina och Henrik verkar tro att tredje roten ur 27 ger det tal som adderat med sig själv tre gånger ger 27: 9+9+9=27. Men när vi drar tredje roten ur 27 beräknar vi vilket tal som multiplicerat med sig själv tre gånger ger 27. Eftersom 3* 3* 3=27 är lösningen x=3.

För att lösa en potensekvation upphöjer vi båda led med inversen till a. Det kan vi göra så länge a inte är 0. Den generella lösningen till alla ekvationer blir därför x=(-2)^(1/a). Vi kan börja med a=1 och sedan arbeta oss uppåt mot större a. Räknaren kommer då att ge oss de resultat som syns i tabellen.

Vi börjar upptäcka ett mönster. Då a är udda får vi negativa lösningar, men då a är jämnt får man ett felmeddelande. Detta samband kommer att fortsätta även för a=7, 8, osv. Hur förklarar vi detta? Jo, i de ekvationer där x har en jämn exponent, dvs. x^2 &=-2 x^4 &=-2 x^6 &=-2 & ... går det inte att hitta något tal så att svaret blir negativt, eftersom negativa tal med jämna exponenter alltid blir positiva. Däremot då vi har udda exponenter finns det en negativ lösning, som exempelvis lösningen till ekvationen x^3=-2: (-1,26)^3 ≈ -2.

Kvadraten av Lottas ålder är x^2. Mammans ålder är 12 mindre än tre gånger x^2. Vi subtraherar därför 12 från 3x^2: 3x^2-12. Detta är mammans ålder.

Vi använder uttrycket för mammans ålder från förra deluppgiften. Det ska vara lika med 36.

Både x=-4 och x=4 löser ekvationen. Men en ålder kan inte vara negativ så den roten kan vi utesluta. Lottas ålder är alltså 4 år.

Vi korsmultiplicerar för att bli av med bråken.

Både x=- sqrt(15) och x=sqrt(15) löser ekvationen.

Återigen använder vi korsmultiplikation för att bli av med bråken. Men först adderar vi båda led med 8x.

Både x=- 4 och x=4 löser ekvationen.

Vänsterledets minsta gemensamma nämnare är 6x. Vi använder det för att skriva om VL till ett bråk. Sedan korsmultiplicerar vi.

Alltså löser x=- sqrt(13) och x=sqrt(13) ekvationen.

För att lösa ekvationen vill vi ha x i ensamt. Om vi sätter 3 som exponent på båda led får vi x ensamt i vänsterledet.

Lösningen är alltså x=-27.

Vi gör på samma sätt och sätter 3 som exponent på båda led.

Samma sak igen, bara det att vi först måste skriva om rotuttrycket till potensform.

Lösningen är alltså x=128.

Vi har ett potensuttryck i vänsterled respektive högerled, och dessa har samma bas. För att ekvationen ska gälla måste även exponenterna vara lika. Vi kan alltså likställa dem och lösa ut x.

x=- 2 och x=2 löser ekvationen.

Vi tänker på samma sätt här.

x=3 löser ekvationen.

Den här typen av potensekvation, med två olika exponenter på x, har vi inte lärt oss att lösa. Men om vi subtraherar 3x^6 från båda led får vi en femtegradsekvation som vi kan lösa som vanligt.

Det exakta svaret till ekvationen är x=sqrt(2).

Även här har vi en ekvation med två olika typer av potenser. Men vi börjar med att förenkla vänsterledet för att se om något kan strykas.

Vi ser nu att vi kan förkorta bort x^3-termerna. Sedan löser vi ut x^4.

Eftersom exponenten är jämn lägger vi till en negativ rot. Ekvationens lösning är alltså x=± sqrt(4).

Vi har två potensuttryck i vänster- och högerled med lika stora baser. Om ekvationen stämmer måste exponenterna också vara lika. Vi kan alltså likställa dem och lösa ut x.

Alltså löser x=- sqrt(10) och x=sqrt(10) ekvationen. Notera att detta endast gäller om basen a är skild från noll och ett. Ifall a är noll eller ett så finns det oändligt med lösningar eftersom alla potenser med dessa baser blir noll respektive ett oavsett vad exponenten är.

Börja med att förenkla vänsterledet. Därefter kan x^6-termerna subtraheras så att vi får en ren åttondegradsekvation. Kom ihåg att vi får två lösningar då potensekvationen har jämn exponent.

Både x=- 8^(.1 /8.) och x=8^(.1 /8.) löser ekvationen.

Vi ska beräkna den årliga procentuella förändringen om vi antar att den är lika stor varje år. Det betyder att förändringsfaktorn är samma hela tiden. Vi kan kalla den a. Mellan år 1750 och 1870 gick det 1870-1750=120 år. Eftersom världens befolkning år 1750 var 750 miljoner, vilket kan skrivas som 750 000 000, kan invånarantalet 120 år senare beskrivas som 750 000 000 * a^(120). Vi vet att detta ska vara dubbelt så mycket som 750 miljoner dvs. 1 500 miljoner. Därför kan vi sätta dessa uttryck lika med varandra, vilket ger oss en potensekvation som vi kan lösa med hjälp av rötter.

Förändringsfaktorn är ca 1,0058 vilket motsvarar en ökning på 0,58 %. Den genomsnittliga procentuella ökningen är alltså ca 0,58 %.