Potensekvationer

Videolektion

Mathleaks

Minispelare aktiv

Begrepp

Potensekvation

En potensekvation är en ekvation där ena ledet är en potens med variabel i basen och andra ledet är en konstant, t.ex. $x^{4} = 9 .$ Exponenten anger ekvationens grad, så $x^{4} = 9$ är en fjärdegradsekvation.

En potensekvations grad avgör antalet lösningar den maximalt kan ha. Det innebär exempelvis att en fjärdegradsekvation som mest kan ha fyra lösningar.

Metod

Lösa enkla andragradsekvationer

När en andragradsekvation endast innehåller

x^{2}

-termer och konstanttermer, t.ex.

5 x^{2} - 500 = 0,

går den att lösa med hjälp av kvadratrötter.

1

Lös ut

x^{2}

Börja med att lösa ut

x^{2}

så att det står ensamt.

5 x^{2} - 500 = 0

AddEqn

$VL + 500 = HL + 500$

5 x^{2} = 500

DivEqn

$VL / 5 = HL / 5$

x^{2} = 100

2

Dra kvadratroten ur båda led

När $x^{2}$ står ensamt drar man kvadratroten ur båda led. Eftersom kvadraten av ett negativt tal blir positivt kan andragradsekvationer ha två lösningar. Om man slår in en kvadratrot på räknare kommer man bara att få ett positivt tal eftersom kvadratroten ur ett tal, per definition, är positiv. Den negativa lösningen måste man därför komma ihåg att lägga till själv: $x^{2} = 100 \Leftrightarrow x = \pm 100 .$ Kvadratroten ur $100$ är $10,$ så ekvationens lösningar är $x = - 10$ och $x = 10 .$

Om

x^{2}

är lika med ett negativt tal, t.ex.

x^{2} = - 7,

har ekvationen icke-reella rötter.

Lös en enkel andragradsekvation

fullscreen

Uppgift

Lös andragradsekvationen $3 x^{2} = 12$ .

Visa Lösning

Lösning

För att lösa ut

x

måste vi först dividera bort 3:an så att

x^{2}

står ensamt i vänsterledet.

3 x^{2} = 12

DivEqn

$VL / 3 = HL / 3$

x^{2} = 4

Eftersom $x^{2}$ är kvadrerad drar vi kvadratroten ur båda led för att lösa ut $x$ .

x^{2} = 4

SqrtEqn

$VL = HL$

x^{2} = 4

SimpRoot

Förenkla rot

x \pm 2

Både $x = - 2$ och $x = 2$ löser alltså ekvationen. Vi får även en negativ lösning eftersom produkten av två negativa tal är positiv: $(- 2) \cdot (- 2) = 4$ . Utöver den positiva lösningen måste vi alltså lägga till en negativ. Detta är något man alltid måste tänka på när man löser potensekvationer med ett jämnt gradtal.

Metod

Lösa potensekvationer

Hur man löser en enkel potensekvation, dvs. en ekvation på formen $x^{n} = a$ där $a$ är en konstant, beror på dess grad. Andragradsekvationer löser man genom att dra kvadratroten ur båda led. Potensekvationer av högre grad löser man på motsvarande sätt. T.ex. drar man tredje roten ur båda led i en tredjegradsekvation eftersom "tredje roten ur" och "upphöjt till $3$ " tar ut varandra: $3 x^{3} = x .$ För ännu högre gradtal gör man på samma sätt – man drar den rot som motsvarar gradtalet.

Antal lösningar beror på om ekvationens grad är jämn eller udda.

Villkor

Udda exponent ger alltid en lösning

När man löser ekvationer på formen $x^{n} = a$ och $n$ är udda har ekvationen alltid en lösning. Exempelvis har ekvationen $x^{3} = 27$ lösningen $x = 3,$ eftersom $3^{3}$ är $27 .$ Om potensen är lika med ett negativt tal, t.ex. $y^{3} = - 27,$ har även denna ekvation en lösning: $y = - 3,$

eftersom $(- 3)^{3}$ är lika med $- 27$ . Till skillnad från jämna exponenter kan man alltså dra en udda rot ur negativa tal.

Villkor

Jämn exponent ger som mest två lösningar

När man löser ekvationer på formen $x^{n} = a$ och $n$ är jämnt, finns det två villkor som är viktiga att ta hänsyn till.

En enkel potensekvation med jämn exponent har oftast två lösningar. Exempelvis har ekvationen $x^{2} = 4$ de två lösningarna

$x = 2 och x = - 2$ eftersom både $2^{2}$ och $(- 2)^{2}$ är lika med $4 .$ Men om man slår in en jämn rot på räknaren kommer den bara att svara med ett positivt tal, eftersom en jämn rot ur ett tal per definition är positiv. Den negativa lösningen måste man därför komma ihåg att lägga till själv.

Man kan inte dra en jämn rot ur ett negativt tal, så ekvationer som $x^{2} = - 4$ ger inga reella lösningar.

Det brukar finnas inbyggda funktioner på räknaren för att dra tredje, fjärde osv. roten ur ett tal.

n a

kan också skrivas som

a^{1 / n}

.

Lös potensekvationen med rötter

fullscreen

Uppgift

Lös potensekvationen $x^{3} - 1 = 7 .$

Visa Lösning

Lösning

För att lösa ut $x$ måste vi först addera $1$ till båda led så att $x^{3}$ står ensamt i vänsterledet.

x^{3} - 1 = 7

AddEqn

$VL + 1 = HL + 1$

x^{3} = 8

Eftersom $x$ är upphöjt till $3$ drar vi tredje roten ur båda led för att lösa ut $x .$

x^{3} = 8

RadicalEqn

$3 VL = 3 HL$

3 x^{3} = 38

SimpRoot

Förenkla rot

x = 2

Ekvationen har alltså lösningen $x = 2 .$

Regel

Från rotuttryck till potensform

Rotuttryck är i själva verket ett annat sätt att skriva potenser som har exponenten $\frac{1}{n} .$

Exempelvis kan $a$ skrivas som $a^{\frac{1}{2}}$ och $3 a$ som $a^{\frac{1}{3}} .$

Regel

Lösa potensekvationer

När man löser potensekvationer kan man, om man vill, upphöja båda led med inversen av gradtalet. Enligt potenslagarna får man då

(x^{3})^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{3}{3}} = x^{1} = x .

Därför kan man använda detta istället för rotuttryck för att lösa potensekvationer.

Från potensekvation till lösning med rotuttryck

Villkoren för udda och jämna exponenter är samma som när man löser potensekvationer genom att använda rotuttryck. När man skriver in denna typ av uttryck på räknaren måste man komma ihåg att sätta parenteser runt bråket i exponenten.

Lös potensekvationen med potenser

fullscreen

Uppgift

Lös potensekvationen $9 x^{5} = 63 .$ Svara exakt och med två decimaler.

Visa Lösning

Lösning

För att lösa ut

x

måste vi först dividera med

9

i båda led så att

x^{5}

står ensamt i vänsterledet.

9 x^{5} = 63

DivEqn

$VL / 9 = HL / 9$

x^{5} = 7

Eftersom exponenten är

5

upphöjer vi båda led till

\frac{1}{5}

för att lösa ut

x .

x^{5} = 7

RaiseEqn

$VL^{1 / 5} = HL^{1 / 5}$

(x^{5})^{1 / 5} = 7^{1 / 5}

PowPow

$(a^{b})^{c} = a^{b \cdot c}$

x^{5 / 5} = 7^{1 / 5}

QuotOne

$\frac{a}{a} = 1$

x = 7^{1 / 5}

Det exakta svaret är $x = 7^{1 / 5} .$ Vi skriver även in detta på räknaren för att få svaret i decimalform.

Avrundat till två decimaler är lösningen alltså $x \approx 1.48 .$