Potensekvationer

Vi letar efter det tal x som gånger sig självt 3 gånger blir 64. För att lösa potensekvationen drar vi kubikroten, dvs. tredje roten, ur båda led i ekvationen. Då kommer upphöjt till 3 och 3:e roten ur att ta ut varandra, precis som kvadrat och kvadratrot.

Eftersom exponenten är udda får vi bara en lösning. För sista steget använder vi räknaren. Vi trycker då på MATH och väljer sqrt() med ENTER. Därefter skriver vi 64 och trycker ENTER igen.

Lösningen på ekvationen är alltså x=4.

Vi resonerar på samma sätt i den här uppgiften. Men den här gången måste vi komma ihåg att lägga till en negativ lösning eftersom exponenten är jämn.

Vi använder återigen räknaren. Den här gången skriver vi först en 4:a för att det är fjärde roten ur, och sedan väljer vi sqrt() i MATH-menyn innan vi skriver in 6 561.

Ekvationen har alltså två lösningar: x=9 och x= - 9 vilket brukar skrivas x=± 9.

Vi söker det tal som multiplicerat med sig självt 4 gånger blir 6 561, dvs. det x som uppfyller x * x * x * x =6 561. x kan vara ett positivt tal som uppfyller detta, men om x är samma tal fast negativt kommer resultatet att bli samma sak och positivt eftersom alla minustecken tar ut varann. Vi visar detta i vårt fall genom att pröva rötterna.

Vi prövar även x=-9.

Det finns alltså två lösningar som uppfyller ekvationen, och vi måste därför ange båda.

Vi tänker på liknande sätt här som i tidigare deluppgifter. Exponenten är udda så vi får bara en lösning. Vi använder räknarens sqrt().

Vi tänker på samma sätt här. Kom ihåg att lägga till den negativa lösningen eftersom exponenten är jämn.

Vi avslutar med en sjundegradsekvation.

För att lösa ut x drar vi kvadratroten ur båda leden.

Vi ser att när vi drog roten ur x^2 dök det både upp en positiv och en negativ lösning. Eftersom både 4 och - 4 blir 16 när de upphöjs till två måste båda vara lösningar till ekvationen. Detta sker varje gång variabeln är upphöjd till ett jämnt tal, eftersom både positiva och negativa tal ger ett positivt resultat om de multipliceras med sig själva ett jämnt antal gånger.

För att lösa ekvationen drar vi tredje roten ur båda led.

Om man inte direkt ser att tredje roten ur 125 är 5, går det bra att slå in detta på miniräknaren. Vi kan även skriva om roten som en potens och utföra beräkningen.

I det här fallet finns det bara en lösning eftersom potensens gradtal är udda.

För att lösa ut x upphöjer vi båda led till 14, vilket är samma sak som att dra fjärde roten ur men vanligare för högre exponenter. Vi kommer också ihåg att lägga till en negativ lösning eftersom potensens exponent är jämn.

Exponenten 4 är jämn, vilket innebär att vi får två lösningar: x=2 och x=-2.

Vi löser ut x genom att upphöja båda led till 15, alltså samma sak som att dra femte roten ur dem.

Lösningen är alltså x≈ 3,02.

På samma sätt som tidigare löser vi ut x genom att upphöja till 16. Eftersom 6 är ett jämnt tal får vi dessutom en positiv och en negativ lösning.

Lösningen är alltså x≈ ± 2,42.

För att lösa ekvationen måste vi dra kvadratroten ur båda led. Glöm inte att vi även får en negativ lösning eftersom produkten av två negativa tal är positiv.

Både x=-9 och x=9 löser ekvationen.

Innan vi drar roten ur förenklar vi så långt som möjligt, dvs. så x^2 står ensamt i VL. Ta för vana att dra roten ur sist (om det går).

Både x=- 5 och x=5 löser ekvationen.

Man kan dra roten ur innan man adderar 3 eller innan man dividerar med 2 men lösningen blir lite krångligare. Vi provar att dra roten ur innan vi dividerar med 2. Viktigt att komma ihåg är att du måste dra roten ur hela VL.

Vi fick samma svar även om det blev mer omständligt.

Vi drar roten ur båda led: x=±sqrt(90). Både x=- sqrt(90) och x=sqrt(90) löser ekvationen. Men vi ska förenkla så långt som möjligt, så vi skriver om 90 som 9*10 och förenklar.

Lösningen är alltså x=±3sqrt(10).

Vi löser ekvationen genom att dra roten ur. Glöm inte att lägga till den negativa lösningen.

Ekvationen har alltså lösningarna x=8 och x=-8.

I den här uppgiften måste vi först få x^2 ensamt i ena ledet. Detta gör vi genom att dividera båda led med 4.

Ekvationen har alltså lösningarna x ≈ 2,74 och x=-2,74.

Även här börjar vi med att isolera x^2.

Både x=3 och x=-3 löser ekvationen.

Vi börjar med att få 3x^2 ensamt genom att subtrahera båda led med 9. Därefter kan vi isolera x^2 genom att dela båda led med 3. Slutligen drar vi roten ur för att lösa ut x.

Alltså löser x=0 ekvationen. Observera att x=-0 och x=+0 är samma tal så det finns bara en lösning: x=0.

I vänsterledet har vi två identiska termer, dvs. x^2. Detta innebär att summan kan skrivas om som produkten 2x^2. Genom att dela båda led med 2 får vi x^2 ensamt och kan dra kvadratroten ur båda led.

Både x=-10 och x=10 löser ekvationen.

Vi börjar med att få x^2 ensamt, och avslutar med att dra kvadratroten ur.

Både x=-8 och x=8 löser ekvationen.

Först måste vi lösa ut x^7 så att det står ensamt i ena ledet. Därefter kan vi dra sjunde roten ur på båda sidor av ekvationen.

Eftersom exponenten är udda får vi bara en lösning. För sista steget använder vi räknaren. Vi skriver in typ av rot, dvs. 7, och trycker på MATH och väljer sqrt() med ENTER. Därefter skriver vi 9 och trycker ENTER igen.

Lösningen på ekvationen är alltså x ≈ 1,37.

Vi resonerar på samma sätt i den här uppgiften.

Vi tänker på liknande sätt här som i tidigare deluppgifter.

Lägg märke till att det till skillnad mot kvadratrot går att dra nionde roten ur ett negativt tal.

Eftersom x^2 är ensamt i vänsterledet kan vi direkt dra roten ur båda led.

Ekvationen har alltså två lösningar. Svarar vi exakt är de x=sqrt(7) och x= - sqrt(7), och med två decimaler x ≈ 2,65 och x ≈ -2,65.

Här måste vi dividera med 2 innan vi drar roten ur båda led. Även här får vi två lösningar.

Vi löser ut x^2 innan vi drar roten ur leden.

Även här måste vi flytta om innan vi får ut x^2.

Vi börjar med att flytta över 81. Vi kommer då dra kvadratroten ur ett positivt tal.

Ekvationen har alltså två reella lösningar: x=9 och x= - 9.

Vår x^2-term står ensam i vänsterledet, så för att lösa ekvationen ska vi dra kvadratroten ur båda led. Men då måste vi dra kvadratroten ur det negativa talet -121. Eftersom det inte finns något reellt tal vars kvadrat blir negativ säger vi att ekvationen saknar reella lösningar.

När vi löser ut x^2 får vi x^2= - 1. Precis som i förra deluppgiften är detta en ekvation som saknar reella rötter, eftersom vi måste dra kvadratroten ur ett negativt tal för att lösa den.

Vi löser ut x^2 och undersöker om vi får ett positivt eller negativt tal som vi ska dra roten ur.

Denna ekvation har de reella lösningarna x=± 10.

Först måste vi lösa ut x^4 så att det står ensamt i ena ledet. Därefter kan vi dra fjärde roten ur på båda sidor av ekvationen. Eftersom potensekvationen har en term med en jämn exponent måste vi lägga till en negativ lösning.

För sista steget använder vi räknaren. Vi skriver in typ av rot, dvs. 4, och trycker på MATH och väljer sqrt() med ENTER. Därefter skriver vi 500 och trycker ENTER igen.

Lösningen på ekvationen är alltså x ≈ ± 4,73.

Vi börjar med att lösa ut y^5 med balansmetoden. Därefter drar vi femte roten ur båda led. Använd räknaren på samma sätt som i förra deluppgiften.

Eftersom exponenten är udda får vi bara en lösning.

Vi börjar även här med att lösa ut z-termen.

Slår vi in detta på räknaren får vi ett felmeddelande.

Ekvationen saknar reella lösningar.

Lösningen till ekvationen är det tal som gånger sig självt 6 gånger blir det negativa talet - 23: z * z * z * z * z * z =-23. z kan inte vara ett positivt tal, för då får vi ett positivt resultat. Om z är negativt kommer vi också att få ett positivt resultat, eftersom varje par av z:n (inom parenteser) kommer bli positivt eftersom minus gånger minus blir plus. (z * z) * (z * z) * (z * z) = (+) * (+) * (+)=(+). Det går alltså inte att hitta något positivt eller negativt reellt z som uppfyller ekvationen. Däremot går ekvationen att lösa med icke-reella tal.

Vi börjar med att få x^5 ensamt. Därefter upphöjer vi båda led med 15 för att bli av med potensen.

Lösningen är x ≈ 1,87.

Vi börjar som vanligt med att få x^2 ensamt.

Här är vi tvungna att dra kvadratroten ur ett negativt tal, -9, för att lösa ekvationen. Det är inte möjligt utan att blanda in komplexa tal, som man går igenom senare. Vi säger därför att ekvationen saknar reella rötter.

Vi kan inte dra kvadratroten ur ett negativt tal. Däremot går det bra att dra tredje roten ur ett negativt tal. Eftersom exempelvis (-2)*(-2)*(-2)=-8, gäller även att sqrt(-8)=-2. Att dra tredje roten ur ett tal är samma sak som att höja upp det till 1/3.

Alltså löser x=-4 ekvationen.

Vi börjar med att lösa ut y^3. Sedan drar vi tredje roten ur båda led för att få loss y.

Alltså löser y= 12 ekvationen.

Först subtraherar vi med 1 024 för att få z^5 ensamt. Sedan drar vi femte roten ur båda led för att få loss z. Observera att detta är exakt samma sak som att höja upp båda led med 15 så vi gör detta istället.

Ekvationens lösning är z=-4.

För att få bort sjuan i exponenten upphöjer vi båda led till 17, vilket är samma sak som att dra sjunde roten ur dem.

Lösningen till ekvationen är w ≈ 3,20.

Vi förenklar först så att t^9 blir ensamt och upphöjer sedan båda led till 19.

Lösningen till ekvationen är alltså t ≈ 1,91.

34 är en jämn exponent, därför kommer vi att få en positiv och en negativ lösning när vi löser ekvationen. Först dividerar vi båda led med 3 och höjer sedan upp dem med 134. Då får vi kvar q i vänsterledet.

Både q ≈ 1,03 och q ≈ - 1,03 löser ekvationen.

För att bestämma x börjar vi med att lösa ut potensen x^3. Därefter drar vi kubikroten ur båda led för att lösa ut x. Observera att vi får endast en lösning när man drar en udda rot ur en ekvation.

Alltså löser x=2 ekvationen.