Minispelare aktiv
En potensekvation är en ekvation där ena ledet är en potens med variabel i basen och andra ledet är en konstant, t.ex. x4=9. Exponenten anger ekvationens grad, så x4=9 är en fjärdegradsekvation.
När x2 står ensamt drar man kvadratroten ur båda led. Eftersom kvadraten av ett negativt tal blir positivt kan andragradsekvationer ha två lösningar. Om man slår in en kvadratrot på räknare kommer man bara att få ett positivt tal eftersom kvadratroten ur ett tal, per definition, är positiv. Den negativa lösningen måste man därför komma ihåg att lägga till själv: x2=100⇔x=±100. Kvadratroten ur 100 är 10, så ekvationens lösningar är x=-10 och x=10.
Lös andragradsekvationen 3x2=12.
Eftersom x2 är kvadrerad drar vi kvadratroten ur båda led för att lösa ut x.
Både x=-2 och x=2 löser alltså ekvationen. Vi får även en negativ lösning eftersom produkten av två negativa tal är positiv: (-2)⋅(-2)=4. Utöver den positiva lösningen måste vi alltså lägga till en negativ. Detta är något man alltid måste tänka på när man löser potensekvationer med ett jämnt gradtal.
Hur man löser en enkel potensekvation, dvs. en ekvation på formen xn=a där a är en konstant, beror på dess grad. Andragradsekvationer löser man genom att dra kvadratroten ur båda led. Potensekvationer av högre grad löser man på motsvarande sätt. T.ex. drar man tredje roten ur båda led i en tredjegradsekvation eftersom "tredje roten ur" och "upphöjt till 3" tar ut varandra: 3x3=x. För ännu högre gradtal gör man på samma sätt – man drar den rot som motsvarar gradtalet.
Antal lösningar beror på om ekvationens grad är jämn eller udda.
När man löser ekvationer på formen xn=a och n är udda har ekvationen alltid en lösning. Exempelvis har ekvationen x3=27 lösningen x=3, eftersom 33 är 27. Om potensen är lika med ett negativt tal, t.ex. y3=-27, har även denna ekvation en lösning: y=-3,
eftersom (-3)3 är lika med -27. Till skillnad från jämna exponenter kan man alltså dra en udda rot ur negativa tal.
När man löser ekvationer på formen xn=a och n är jämnt, finns det två villkor som är viktiga att ta hänsyn till.
x=2 och x=-2
eftersom både 22 och (-2)2 är lika med 4. Men om man slår in en jämn rot på räknaren kommer den bara att svara med ett positivt tal, eftersom en jämn rot ur ett tal per definition är positiv. Den negativa lösningen måste man därför komma ihåg att lägga till själv.
Lös potensekvationen x3−1=7.
Rotuttryck är i själva verket ett annat sätt att skriva potenser som har exponenten n1.
Exempelvis kan a skrivas som a21 och 3a som a31.
När man löser potensekvationer kan man, om man vill, upphöja båda led med inversen av gradtalet. Enligt potenslagarna får man då (x3)31=x33=x1=x. Därför kan man använda detta istället för rotuttryck för att lösa potensekvationer.
Lös potensekvationen 9x5=63. Svara exakt och med två decimaler.
Det exakta svaret är x=71/5. Vi skriver även in detta på räknaren för att få svaret i decimalform.
Avrundat till två decimaler är lösningen alltså x≈1.48.