{{ option.label }} add
menu_book {{ printedBook.name}}
arrow_left {{ state.menu.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
arrow_left {{ state.menu.current.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
Mathleaks
Använd offline
Expandera meny menu_open
Algebra

Potensekvationer

{{ 'ml-article-collection-answers-hints-solutions' | message }}
tune
{{ topic.label }}
{{tool}}
{{ result.displayTitle }}
{{ result.subject.displayTitle }}
navigate_next

Kanaler

Direktmeddelanden

Videolektion

Mathleaks

play_circle_filled
play_circle_filled
picture_in_picture_alt

Minispelare aktiv

Begrepp

Potensekvation

En potensekvation är en ekvation där ena ledet är en potens med variabel i basen och andra ledet är en konstant, t.ex. x4=9. Exponenten anger ekvationens grad, så x4=9 är en fjärdegradsekvation.

Potensekvation 35475.svg
En potensekvations grad avgör antalet lösningar den maximalt kan ha. Det innebär exempelvis att en fjärdegradsekvation som mest kan ha fyra lösningar.

Metod

Lösa enkla andragradsekvationer

När en andragradsekvation endast innehåller x2-termer och konstanttermer, t.ex.
5x2500=0,
går den att lösa med hjälp av kvadratrötter.
1
Lös ut x2
expand_more
Börja med att lösa ut x2 så att det står ensamt.
5x2500=0
5x2=500
x2=100
2
Dra kvadratroten ur båda led
expand_more
När x2 står ensamt drar man kvadratroten ur båda led. Eftersom kvadraten av ett negativt tal blir positivt kan andragradsekvationer ha två lösningar. Om man slår in en kvadratrot på räknare kommer man bara att få ett positivt tal eftersom kvadratroten ur ett tal, per definition, är positiv. Den negativa lösningen måste man därför komma ihåg att lägga till själv:
Kvadratroten ur 100 är 10, så ekvationens lösningar är x=-10 och x=10.
Om x2 är lika med ett negativt tal, t.ex. x2=-7, har ekvationen icke-reella rötter.

Exempel

Lös en enkel andragradsekvation

fullscreen

Lös andragradsekvationen 3x2=12.

Visa Lösning expand_more
För att lösa ut x måste vi först dividera bort 3:an så att x2 står ensamt i vänsterledet.
3x2=12
x2=4

Eftersom x2 är kvadrerad drar vi kvadratroten ur båda led för att lösa ut x.

x2=4
x±2

Både x=-2 och x=2 löser alltså ekvationen. Vi får även en negativ lösning eftersom produkten av två negativa tal är positiv: (-2)(-2)=4. Utöver den positiva lösningen måste vi alltså lägga till en negativ. Detta är något man alltid måste tänka på när man löser potensekvationer med ett jämnt gradtal.

Metod

Lösa potensekvationer

Hur man löser en enkel potensekvation, dvs. en ekvation på formen där a är en konstant, beror på dess grad. Andragradsekvationer löser man genom att dra kvadratroten ur båda led. Potensekvationer av högre grad löser man på motsvarande sätt. T.ex. drar man tredje roten ur båda led i en tredjegradsekvation eftersom "tredje roten ur" och "upphöjt till 3" tar ut varandra:
För ännu högre gradtal gör man på samma sätt – man drar den rot som motsvarar gradtalet.

Antal lösningar beror på om ekvationens grad är jämn eller udda.

Villkor

Udda exponent ger alltid en lösning
När man löser ekvationer på formen och n är udda har ekvationen alltid en lösning. Exempelvis har ekvationen x3=27 lösningen
eftersom 33 är 27. Om potensen är lika med ett negativt tal, t.ex. y3=-27, har även denna ekvation en lösning:

eftersom (-3)3 är lika med -27. Till skillnad från jämna exponenter kan man alltså dra en udda rot ur negativa tal.

Villkor

Jämn exponent ger som mest två lösningar

När man löser ekvationer på formen och n är jämnt, finns det två villkor som är viktiga att ta hänsyn till.

  • En enkel potensekvation med jämn exponent har oftast två lösningar. Exempelvis har ekvationen x2=4 de två lösningarna
eftersom både 22 och (-2)2 är lika med 4. Men om man slår in en jämn rot på räknaren kommer den bara att svara med ett positivt tal, eftersom en jämn rot ur ett tal per definition är positiv. Den negativa lösningen måste man därför komma ihåg att lägga till själv.
  • Man kan inte dra en jämn rot ur ett negativt tal, så ekvationer som x2=-4 ger inga reella lösningar.
Det brukar finnas inbyggda funktioner på räknaren för att dra tredje, fjärde osv. roten ur ett tal. kan också skrivas som .

Exempel

Lös potensekvationen med rötter

fullscreen

Lös potensekvationen x31=7.

Visa Lösning expand_more

För att lösa ut x måste vi först addera 1 till båda led så att x3 står ensamt i vänsterledet.

x31=7
x3=8

Eftersom x är upphöjt till 3 drar vi tredje roten ur båda led för att lösa ut x.

x3=8
x=2

Ekvationen har alltså lösningen x=2.

Regel

Från rotuttryck till potensform

Rotuttryck är i själva verket ett annat sätt att skriva potenser som har exponenten

Fran rotuttryck till potensform 1.svg

Exempelvis kan skrivas som och som

Regel

Lösa potensekvationer

När man löser potensekvationer kan man, om man vill, upphöja båda led med inversen av gradtalet. Enligt potenslagarna får man då
Därför kan man använda detta istället för rotuttryck för att lösa potensekvationer.
Från potensekvation till lösning med rotuttryck
Villkoren för udda och jämna exponenter är samma som när man löser potensekvationer genom att använda rotuttryck. När man skriver in denna typ av uttryck på räknaren måste man komma ihåg att sätta parenteser runt bråket i exponenten.

Exempel

Lös potensekvationen med potenser

fullscreen

Lös potensekvationen 9x5=63. Svara exakt och med två decimaler.

Visa Lösning expand_more
För att lösa ut x måste vi först dividera med 9 i båda led så att x5 står ensamt i vänsterledet.
9x5=63
x5=7
Eftersom exponenten är 5 upphöjer vi båda led till för att lösa ut x.
x5=7

Det exakta svaret är Vi skriver även in detta på räknaren för att få svaret i decimalform.

TI-beräkning som visar potens med bråk i exponenten

Avrundat till två decimaler är lösningen alltså

arrow_left
arrow_right
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward
arrow_left arrow_right
close
Community