Potensekvationer

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Potensekvation

En potensekvation är en ekvation där ena ledet är en potens med variabel i basen och andra ledet är en konstant, t.ex. x4=9.x^4=9. Exponenten anger ekvationens grad, så x4=9x^4 = 9 är en fjärdegradsekvation.

Potensekvation 35475.svg
En potensekvations grad avgör antalet lösningar den maximalt kan ha. Det innebär exempelvis att en fjärdegradsekvation som mest kan ha fyra lösningar.
Metod

Lösa enkla andragradsekvationer

När en andragradsekvation endast innehåller x2x^2-termer och konstanttermer, t.ex. 5x2500=0, 5x^2-500=0, går den att lösa med hjälp av kvadratrötter.

1

Lös ut x2x^2
Börja med att lösa ut x2x^2 så att det står ensamt.
5x2500=05x^2-500=0
5x2=5005x^2=500
x2=100x^2=100

2

Dra kvadratroten ur båda led

När x2x^2 står ensamt drar man kvadratroten ur båda led. Eftersom kvadraten av ett negativt tal blir positivt kan andragradsekvationer ha två lösningar. Om man slår in en kvadratrot på räknare kommer man bara att få ett positivt tal eftersom kvadratroten ur ett tal, per definition, är positiv. Den negativa lösningen måste man därför komma ihåg att lägga till själv: x2=100x=±100.\begin{aligned} x^2=100 \quad \Leftrightarrow \quad x= \pm \sqrt{100}. \end{aligned} Kvadratroten ur 100100 är 10,10, så ekvationens lösningar är x=-10x=\text{-}10 och x=10.x=10.

Om x2x^2 är lika med ett negativt tal, t.ex. x2=-7,x^2=\text{-}7, har ekvationen icke-reella rötter.
Uppgift

Lös andragradsekvationen 3x2=123x^2=12.

Lösning
För att lösa ut xx måste vi först dividera bort 3:an så att x2x^2 står ensamt i vänsterledet.
3x2=123x^2=12
x2=4x^2=4

Eftersom x2x^2 är kvadrerad drar vi kvadratroten ur båda led för att lösa ut xx.

x2=4x^2=4
x2=4\sqrt{x^2}=\sqrt{4}
x±2x\pm 2

Både x=-2x=\text{-} 2 och x=2x=2 löser alltså ekvationen. Vi får även en negativ lösning eftersom produkten av två negativa tal är positiv: (-2)(-2)=4(\text{-} 2)\cdot (\text{-} 2)=4. Utöver den positiva lösningen måste vi alltså lägga till en negativ. Detta är något man alltid måste tänka på när man löser potensekvationer med ett jämnt gradtal.

Visa lösning Visa lösning
Metod

Lösa potensekvationer

Hur man löser en enkel potensekvation, dvs. en ekvation på formen xn=ax^n=a där aa är en konstant, beror på dess grad. Andragradsekvationer löser man genom att dra kvadratroten ur båda led. Potensekvationer av högre grad löser man på motsvarande sätt. T.ex. drar man tredje roten ur båda led i en tredjegradsekvation eftersom "tredje roten ur" och "upphöjt till 33" tar ut varandra: x33=x. \sqrt[3]{x^3}=x. För ännu högre gradtal gör man på samma sätt – man drar den rot som motsvarar gradtalet.

Antal lösningar beror på om ekvationens grad är jämn eller udda.

Villkor

Udda exponent ger alltid en lösning

När man löser ekvationer på formen xn=ax^n=a och nn är udda har ekvationen alltid en lösning. Exempelvis har ekvationen x3=27x^3=27 lösningen x=3,\begin{aligned} x= 3, \end{aligned} eftersom 333^3 är 27.27. Om potensen är lika med ett negativt tal, t.ex. y3=-27,y^3 = \text{-} 27, har även denna ekvation en lösning: y=-3,\begin{aligned} y= \text{-} 3, \end{aligned}

eftersom (-3)3(\text{-}3)^3 är lika med -27\text{-}27. Till skillnad från jämna exponenter kan man alltså dra en udda rot ur negativa tal.

Villkor

Jämn exponent ger som mest två lösningar

När man löser ekvationer på formen xn=ax^n=a och nn är jämnt, finns det två villkor som är viktiga att ta hänsyn till.

  • En enkel potensekvation med jämn exponent har oftast två lösningar. Exempelvis har ekvationen x2=4x^2 = 4 de två lösningarna

x=2 och x=-2\begin{aligned} x=2 \text{ och } x= \text{-} 2 \end{aligned} eftersom både 222^2 och (-2)2(\text{-}2)^2 är lika med 4.4. Men om man slår in en jämn rot på räknaren kommer den bara att svara med ett positivt tal, eftersom en jämn rot ur ett tal per definition är positiv. Den negativa lösningen måste man därför komma ihåg att lägga till själv.

  • Man kan inte dra en jämn rot ur ett negativt tal, så ekvationer som x2=-4x^2 = \text{-} 4 ger inga reella lösningar.
Det brukar finnas inbyggda funktioner på räknaren för att dra tredje, fjärde osv. roten ur ett tal. an\sqrt[n]{a} kan också skrivas som a1/na^{1/n}.
Uppgift

Lös potensekvationen x31=7.x^3 - 1 = 7.

Lösning

För att lösa ut xx måste vi först addera 11 till båda led så att x3x^3 står ensamt i vänsterledet.

x31=7x^3 - 1=7
x3=8x^3=8

Eftersom xx är upphöjt till 33 drar vi tredje roten ur båda led för att lösa ut x.x.

x3=8x^3=8
x33=83\sqrt[3]{x^3}=\sqrt[3]{8}
x=2x=2

Ekvationen har alltså lösningen x=2.x=2.

Visa lösning Visa lösning
Regel

Från rotuttryck till potensform

Rotuttryck är i själva verket ett annat sätt att skriva potenser som har exponenten 1n.\frac{1}{n}.

Fran rotuttryck till potensform 1.svg

Exempelvis kan a\sqrt{a} skrivas som a12a^{\frac{1}{2}} och a3\sqrt[3]{a} som a13.a^{\frac{1}{3}}.

Regel

Lösa potensekvationer

När man löser potensekvationer kan man, om man vill, upphöja båda led med inversen av gradtalet. Enligt potenslagarna får man då (x3)13=x33=x1=x. \left(x^3\right)^{\frac{1}{3}}=x^{\frac{3}{3}}=x^1=x. Därför kan man använda detta istället för rotuttryck för att lösa potensekvationer.

Från potensekvation till lösning med rotuttryck
Villkoren för udda och jämna exponenter är samma som när man löser potensekvationer genom att använda rotuttryck. När man skriver in denna typ av uttryck på räknaren måste man komma ihåg att sätta parenteser runt bråket i exponenten.
Uppgift

Lös potensekvationen 9x5=63.9x^5 = 63. Svara exakt och med två decimaler.

Lösning
För att lösa ut xx måste vi först dividera med 99 i båda led så att x5x^5 står ensamt i vänsterledet.
9x5=639x^5 = 63
x5=7x^5=7
Eftersom exponenten är 55 upphöjer vi båda led till 15\frac{1}{5} för att lösa ut x.x.
x5=7x^5=7
(x5)1/5=71/5\left(x^5\right)^{1/5}=7^{1/5}
x5/5=71/5x^{5/5}= 7^{1/5}
x=71/5x= 7^{1/5}

Det exakta svaret är x=71/5.x= 7^{1/5}. Vi skriver även in detta på räknaren för att få svaret i decimalform.

TI-beräkning som visar potens med bråk i exponenten

Avrundat till två decimaler är lösningen alltså x1.48.x\approx1.48.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös potensekvationerna med räknare. Avrunda till två decimaler om det behövs.


a

x3=64x^3=64

b

x4=6561x^4=6561

c

x5=127x^5=127

d

x6=3333x^6=3333

e

x7=1.5x^7=1.5

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna. Avrunda till två decimaler om det behövs.

a

x2=16x^2 = 16

b

x3=125x^3 = 125

c

x4=16x^4 = 16

d

x5=250x^5 = 250

d

x6=200x^6 = 200

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös följande andragradsekvationer och svara exakt.


a

x2=81x^2=81

b

2x23=472x^2-3=47

c

x2=90x^2=90

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös följande andragradsekvationer.


a

x2=64x^2=64

b

4x2=304x^2=30

c

x29=0x^2-9=0

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös följande ekvationer.


a

3x2+9=93x^2+9=9

b

x2+x2=200x^2+x^2=200

c

2x22=1262x^2-2=126

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös potensekvationerna med räknare. Avrunda till två decimaler om det behövs.


a

5x7=455x^7=45

b

x513=6001x^5-13=6001

c

321x9=415321-x^9=415

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös potensekvationerna med räknare. Avrunda till två decimaler om det behövs.


a

x45=100\dfrac{x^4}{5}=100

b

7y5+21=6y5+95327y^5+21=6y^5+9532

c

-2z6=46\text{-}2 z^6=46

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös följande potensekvationer.


a

2x5=462x^5=46

b

x2+11=2x^2+11=2

c

x3=-64x^3=\text{-}64

1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna.


a

8y31=08y^3-1=0

b

z5+1024=0z^5+1024=0

1.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna. Avrunda till 2 decimaler.


a

w7=3456w^7=3456

b

t9321=15t^9-321=15

c

3q34=83q^{34}=8

1.11
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen 4x3=32.4x^3=32.

Nationella provet HT16 1c
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna och svara exakt.


a

4x240=04x^2-40=0

b

9x2=499x^2=\dfrac{4}{9}

c

x3=2x3,x-3=\dfrac{2}{x}-3, x0\quad \quad x \neq 0

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Tina löser ekvationen x3=27x^3=27 och får lösningarna x=±9. x=\pm 9. Hon presenterar lösningen för Henrik som direkt börjar kritisera och säga att Tina gjort fel. Lösningen är ju endast x=9x=9 säger Henrik. Men då säger Maria att Henrik faktiskt också har gjort fel. Hur borde Maria förklara för Henrik och Tina?

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lottas mamma är matematiker och gillar att göra saker extra kluriga. När någon frågar henne hur gammal Lotta är säger hon att om man tar tre gånger kvadraten av Lottas ålder så får man ett tal som är 12 högre än hennes, mammans, ålder.


a

Om Lottas ålder är xx, ställ upp ett uttryck för mammans ålder.

b

Hur gammal är Lotta om mamman är 36 år?

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna för x0.x\neq0. Svara exakt.


a

x3=5x\dfrac{x}{3}=\dfrac{5}{x}

b

3x68x=0\dfrac{3x}{6}-\dfrac{8}{x}=0

c

52x13x=x6\dfrac{5}{2x}-\dfrac{1}{3x}=\dfrac{x}{6}

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna


a

x1/3=-3x^{1/3}=\text{-}3

b

x1/3=3x^{1/3}=3

c

x7=2\sqrt[7]{x}=2

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös potensekvationerna utan räknare.

a

7x2=747^{x^2}=7^{4}

b

8x3=8278^{x^3}=8^{27}

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös potensekvationerna utan räknare. Svara exakt.

a

3x6+18x5=36+3x63x^6+18x^5=36+3x^6

b

2(4x4+3x3)31=6x3+12\left(4x^4+3x^3\right)-31=6x^3+1

2.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ut xx i ekvationerna. Svara exakt.


a

ax2=a10a0 och a1a^{x^2}=a^{10} \quad \quad \quad a\neq 0 \text{ och } a \neq 1

b

5(4x6+x8)=40+20x65\left(4x^6+x^8\right)=40+20x^6

2.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

År 17501750 var världens befolkning 750750 miljoner. År 18701870 var världens befolkning dubbelt så stor. Med hur många procent ökade befolkningen i genomsnitt per år?

Nationella provet HT16 1b/1c
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös följande potensekvationer.


a

100=z10100=z^{10}

b

x-513=15x^{\text{-}5}-13=15

c

3x2.1=3273x^{2.1}=327

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna och avrunda till 3 värdesiffror.


a

x53=56x^{\frac{5}{3}}=56

b

y5=0.25\sqrt{y^5}=0.25

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ett rätblock har volymen 216 ve.


a

Hur långa är sidorna om rätblocket är en kub? Svara exakt.

b

Hur långa är sidorna om bredden är dubbelt så lång som höjden och längden är tre gånger så lång som bredden? Svara exakt.

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vi har potensekvationen xa=-2, x^a=\text{-}2, där aa är en konstant och a0a \neq 0. Försök att lösa ekvationen för några olika heltalsvärden på aa med din räknare. Formulera ett samband och förklara vad det beror på.

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En rektangels bas är 30 % längre än dess höjd.

Exercise661 1.svg

Om höjden ökar med 20 % och basen minskar med 10 % så ökar arean med 8.23 areaenheter. Bestäm den ursprungliga rektangelns bas och höjd.

3.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En kubs sidlängd fördubblas och volymen ökar då med 2401 cm3^3. Vad är den ursprungliga kubens sida?

3.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilken genomsnittlig årlig procentuell förändring ger:

a

En ökning med 80 % efter två år?

b

En minskning med 20 % efter fyra år?

3.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Antal besökare på en hemsida ökar procentuellt lika mycket varje år, två år i rad. Bestäm den årliga ökningen i procent då den totala ökningen är 37%37 \, \% under tvåårsperioden.

Nationella provet VT12 1b/1c
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}