{{ 'ml-label-choose-chapter' | message }} {{ courseTrack.signature }} {{ 'ml-label-choose-course' | message }}

Algebra

Välj kurs
( Matte 1b , Matte 1c )
Algebra
Potensekvationer

Potensekvationer

{{ 'ml-heading-theory' | message }}
Begrepp

Potensekvation

En potensekvation är en ekvation där ena ledet är en potens med variabel i basen och andra ledet är en konstant, t.ex. x4=9.x^4=9. Exponenten anger ekvationens grad, så x4=9x^4 = 9 är en fjärdegradsekvation.

Potensekvation 35475.svg
En potensekvations grad avgör antalet lösningar den maximalt kan ha. Det innebär exempelvis att en fjärdegradsekvation som mest kan ha fyra lösningar.
Metod

Lösa enkla andragradsekvationer

När en andragradsekvation endast innehåller x2x^2-termer och konstanttermer, t.ex. 5x2−500=0, 5x^2-500=0, går den att lösa med hjälp av kvadratrötter.

1

Lös ut x2x^2
Börja med att lösa ut x2x^2 så att det står ensamt.
5x2−500=05x^2-500=0
VL+500=HL+500\text{VL}+500=\text{HL}+500
5x2=5005x^2=500
VLundefined5=HLundefined5\left.\text{VL}\middle/5\right.=\left.\text{HL}\middle/5\right.
x2=100x^2=100

2

Dra kvadratroten ur båda led

När x2x^2 står ensamt drar man kvadratroten ur båda led. Eftersom kvadraten av ett negativt tal blir positivt kan andragradsekvationer ha två lösningar. Om man slår in en kvadratrot på räknare kommer man bara att få ett positivt tal eftersom kvadratroten ur ett tal, per definition, är positiv. Den negativa lösningen måste man därför komma ihåg att lägga till själv: x2=100⇔x=±100.\begin{aligned} x^2=100 \quad \Leftrightarrow \quad x= \pm \sqrt{100}. \end{aligned} Kvadratroten ur 100100 är 10,10, så ekvationens lösningar är x=-10x=\text{-}10 och x=10.x=10.

Om x2x^2 är lika med ett negativt tal, t.ex. x2=-7,x^2=\text{-}7, har ekvationen icke-reella rötter.
Uppgift

Lös andragradsekvationen 3x2=123x^2=12.

Lösning
För att lösa ut xx måste vi först dividera bort 3:an så att x2x^2 står ensamt i vänsterledet.
3x2=123x^2=12
VLundefined3=HLundefined3\left.\text{VL}\middle/3\right.=\left.\text{HL}\middle/3\right.
x2=4x^2=4

Eftersom x2x^2 är kvadrerad drar vi kvadratroten ur båda led för att lösa ut xx.

x2=4x^2=4
VL=HL\sqrt{\text{VL}}=\sqrt{\text{HL}}
x2=4\sqrt{x^2}=\sqrt{4}
Förenkla rot
x±2x\pm 2

Både x=-2x=\text{-} 2 och x=2x=2 löser alltså ekvationen. Vi får även en negativ lösning eftersom produkten av två negativa tal är positiv: (-2)⋅(-2)=4(\text{-} 2)\cdot (\text{-} 2)=4. Utöver den positiva lösningen måste vi alltså lägga till en negativ. Detta är något man alltid måste tänka på när man löser potensekvationer med ett jämnt gradtal.

Visa lösning Visa lösning
Metod

Lösa potensekvationer

Hur man löser en enkel potensekvation, dvs. en ekvation på formen xn=ax^n=a där aa är en konstant, beror på dess grad. Andragradsekvationer löser man genom att dra kvadratroten ur båda led. Potensekvationer av högre grad löser man på motsvarande sätt. T.ex. drar man tredje roten ur båda led i en tredjegradsekvation eftersom "tredje roten ur" och "upphöjt till 33" tar ut varandra: x33=x. \sqrt[3]{x^3}=x. För ännu högre gradtal gör man på samma sätt – man drar den rot som motsvarar gradtalet.

Antal lösningar beror på om ekvationens grad är jämn eller udda.

Villkor
Udda exponent ger alltid en lösning

När man löser ekvationer på formen xn=ax^n=a och nn är udda har ekvationen alltid en lösning. Exempelvis har ekvationen x3=27x^3=27 lösningen x=3,\begin{aligned} x= 3, \end{aligned} eftersom 333^3 är 27.27. Om potensen är lika med ett negativt tal, t.ex. y3=-27,y^3 = \text{-} 27, har även denna ekvation en lösning: y=-3,\begin{aligned} y= \text{-} 3, \end{aligned}

eftersom (-3)3(\text{-}3)^3 är lika med -27\text{-}27. Till skillnad från jämna exponenter kan man alltså dra en udda rot ur negativa tal.

Villkor
Jämn exponent ger som mest två lösningar

När man löser ekvationer på formen xn=ax^n=a och nn är jämnt, finns det två villkor som är viktiga att ta hänsyn till.

  • En enkel potensekvation med jämn exponent har oftast två lösningar. Exempelvis har ekvationen x2=4x^2 = 4 de två lösningarna

x=2 och x=-2\begin{aligned} x=2 \text{ och } x= \text{-} 2 \end{aligned} eftersom både 222^2 och (-2)2(\text{-}2)^2 är lika med 4.4. Men om man slår in en jämn rot på räknaren kommer den bara att svara med ett positivt tal, eftersom en jämn rot ur ett tal per definition är positiv. Den negativa lösningen måste man därför komma ihåg att lägga till själv.

  • Man kan inte dra en jämn rot ur ett negativt tal, så ekvationer som x2=-4x^2 = \text{-} 4 ger inga reella lösningar.
Det brukar finnas inbyggda funktioner på räknaren för att dra tredje, fjärde osv. roten ur ett tal. an\sqrt[n]{a} kan också skrivas som a1/na^{1/n}.
Uppgift

Lös potensekvationen x3−1=7.x^3 - 1 = 7.

Lösning

För att lösa ut xx måste vi först addera 11 till båda led så att x3x^3 står ensamt i vänsterledet.

x3−1=7x^3 - 1=7
VL+1=HL+1\text{VL}+1=\text{HL}+1
x3=8x^3=8

Eftersom xx är upphöjt till 33 drar vi tredje roten ur båda led för att lösa ut x.x.

x3=8x^3=8
VL3=HL3\sqrt[3]{\text{VL}}=\sqrt[3]{\text{HL}}
x33=83\sqrt[3]{x^3}=\sqrt[3]{8}
Förenkla rot
x=2x=2

Ekvationen har alltså lösningen x=2.x=2.

Visa lösning Visa lösning
Regel

Från rotuttryck till potensform

Rotuttryck är i själva verket ett annat sätt att skriva potenser som har exponenten 1n.\frac{1}{n}.

Fran rotuttryck till potensform 1.svg

Exempelvis kan a\sqrt{a} skrivas som a12a^{\frac{1}{2}} och a3\sqrt[3]{a} som a13.a^{\frac{1}{3}}.

Regel

Lösa potensekvationer

När man löser potensekvationer kan man, om man vill, upphöja båda led med inversen av gradtalet. Enligt potenslagarna får man då (x3)13=x33=x1=x. \left(x^3\right)^{\frac{1}{3}}=x^{\frac{3}{3}}=x^1=x. Därför kan man använda detta istället för rotuttryck för att lösa potensekvationer.

Från potensekvation till lösning med rotuttryck
Villkoren för udda och jämna exponenter är samma som när man löser potensekvationer genom att använda rotuttryck. När man skriver in denna typ av uttryck på räknaren måste man komma ihåg att sätta parenteser runt bråket i exponenten.
Uppgift

Lös potensekvationen 9x5=63.9x^5 = 63. Svara exakt och med två decimaler.

Lösning
För att lösa ut xx måste vi först dividera med 99 i båda led så att x5x^5 står ensamt i vänsterledet.
9x5=639x^5 = 63
VLundefined9=HLundefined9\left.\text{VL}\middle/9\right.=\left.\text{HL}\middle/9\right.
x5=7x^5=7
Eftersom exponenten är 55 upphöjer vi båda led till 15\frac{1}{5} för att lösa ut x.x.
x5=7x^5=7
VL1/5=HL1/5\text{VL}^{1/5}=\text{HL}^{1/5}
(x5)1/5=71/5\left(x^5\right)^{1/5}=7^{1/5}
(ab)c=ab⋅c \left(a^{b}\right)^{c}=a^{b\cdot c}
x5/5=71/5x^{5/5}= 7^{1/5}
aa=1\dfrac{a}{a}=1
x=71/5x= 7^{1/5}

Det exakta svaret är x=71/5.x= 7^{1/5}. Vi skriver även in detta på räknaren för att få svaret i decimalform.

TI-beräkning som visar potens med bråk i exponenten

Avrundat till två decimaler är lösningen alltså x≈1.48.x\approx1.48.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace {{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}