Potensekvationer

Vi löser potensekvationen genom att upphöja båda leden till 110 eller 0,1. Eftersom 10 är en jämn exponent får vi en positiv och negativ rot.

Alltså löser z ≈ ±1,58 ekvationen.

Vi kan lösa denna ekvation på samma sätt, trots att vi har en negativ exponent. Först måste vi dock börja med att få x^(-5) ensamt.

Lösningen till ekvationen är alltså x ≈ 0,51.

Om vi vill kan vi skriva om ekvationen så exponenten blir positiv. Vi får då en något längre lösning, men samma svar.

Även här går det att göra på samma sätt som i tidigare deluppgifter, trots att exponenten inte är ett heltal.

Lösningen till ekvationen är x ≈ 9,34.

För att lösa ut x ur potensen upphöjer vi båda led till exponentens invers. Inversen till 53 är 35.

Lösningen till ekvationen blir alltså x ≈ 11,2.

Här börjar vi med att upphöja båda led till 2 för att bli av med rottecknet. Sedan löser vi ekvationen som blir kvar på vanliga sättet.

Svaret blir y ≈ 0,574.

Vi kan också skriva om rotuttrycket som en potens och sedan använda potenslagarna för att förenkla uttrycket.</translate>

En kub har lika lång höjd, bredd och längd. Om vi kallar kubens sida för x blir arean x^3 eftersom volymen är kubens tre sidor multiplicerade. Vi likställer volymuttrycket med 216 och får då ekvationen x^3=216. Genom att lösa ut x kan vi beräkna sidan.

Kubens sidor är 6 le.

Nu har rätblocket olika sidlängder. Låt oss kalla höjden för x Bredden är dubbelt så lång dvs. 2x. Längden är tre gånger längre än bredden, vilket betyder att den är 3*2x=6x. Hela rätblockets volym får vi genom att multiplicera alla sidlängder: x* 2x * 6x. Detta ska vara lika med 216.

Höjden x är alltså sqrt(18) le.

Vi kallar den ursprungliga rektangelns höjd för x. Eftersom basen är 30 % större än höjden kan vi skapa ett uttryck för basen genom att multiplicera x med förändringsfaktorn 1,3. Den ursprungliga rektangeln har alltså arean: 1,3x* x = 1,3x^2. I den nya rektangeln har höjden ökat med 20 %, dvs. med förändringsfaktorn 1,2. Vi multiplicerar alltså x med 1,2 vilket ger 1,2x. Basen är däremot 90 % av den gamla rektangelns bas, dvs. 1,3x* 0,9 = 1,17x. Nu kan vi skapa ett uttryck för den nya arean: 1,17x* 1,2x=1,404x^2. Slutligen vet vi att den nya arean, 1,404x^2, är 8,424 areaenheter större än den gamla som var på 1,3x^2. Detta ger oss ekvationen 1,404x^2=1,3x^2+8,424. Vi får då två lösningar, men eftersom en sträcka måste vara positiv förkastar vi den negativa lösningen.

Den ursprungliga rektangelns höjd var alltså 9 le.

Vi kallar kubens ursprungliga sidlängd för x. Då blir sidan på den större kuben lika med 2x.

Den vänstra kubens volym är x* x* x och den högra är 2x* 2x* 2x. Vi vet också att den större kuben är 2 401cm^3 större, vilket betyder att om vi adderar 2 401 till den mindre kubens volym ska det vara lika med den större kubens volym. Det ger oss ekvationen 2x* 2x* 2x=x* x* x+2 401. Vi löser nu ut x.

Den mindre kubens sida är 7cm.

Vi känner inte till värdet, men vi kan kalla det a. Om förändringsfaktorn är x måste värdet vara ax efter ett år och a* x* x=ax^2 efter 2 år. Men efter 2 år har ju värdet ökat med 80 %, eller uttryckt som förändringsfaktor: 1,8. Därför är ax^2 lika med 1,8a.

Den årliga förändringen kan skrivas som förändringsfaktorn ≈ 1,34 vilket är samma sak som en ökning med 34 %.

Återigen känner vi inte till värdet men vi kallar det för a och förändringsfaktorn för x. Efter fyra år är värdet a* x* x* x* x=ax^4. a har minskat med 20 % vilket betyder att ax^4 är lika med 0,8a.

Den årliga förändringen kan skrivas som förändringsfaktorn ≈ 0,95 vilket är samma sak som en minskning med 5 %.

Låt oss kalla antalet besökare i början av perioden för x. År två hade detta ökat med 37 % så då hade hemsidan x* 1,37 =1,37x besökare. Ökningen är lika stor varje år så vi kan beskriva den årliga ökningen med en förändringsfaktor, a. Efter första året måste antalet besökare då vara x * a och efter två år är antalet besökare x * a * a. Det ger oss ekvationen x * a * a = 1,37x ⇔ a^2x = 1,37x Vi löser ut a för att bestämma den årliga förändringsfaktorn.

En förändringsfaktor är alltid större än 0 så vi kan bortse från den negativa lösningen.

Den årliga förändringsfaktorn var alltså cirka 1,17 vilket motsvarar en ökning med 17 %.