| {{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount }} |
| {{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount }} |
| {{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }} |
Lutningen för en graf anger hur y-värdet ökar eller minskar för större och större x-värden, dvs. hur mycket den växer eller avtar. Om lutningen är positiv innebär det att funktionen växer medan en negativ lutning innebär att den avtar. För en horisontell linje, som varken ökar eller minskar, är lutningen 0.
Räta linjer har en konstant lutning som kan läsas av direkt som k-värdet, men för funktioner som inte är räta ändrar sig lutningen med x-värdet. För andragradsfunktionen nedan är grafens lutning negativ när x är negativt och positiv när x är positivt, och ju längre från origo man går desto brantare blir grafen.
När en grafs lutning tolkas som en förändringshastighet går det att bestämma dess enhet med hjälp av enheterna på koordinataxlarna.
Det går att motivera detta samband med hjälp av en graf som t.ex. visar en cykelresa, där x-axeln har enheten minuter och y-axeln har enheten kilometer från en viss startpunkt.
Lutningen på ett intervall, t.ex. de första 20 minuterna, kan beräknas med k-formeln:En rät linje som skär en kurva mer än en gång, dvs. två eller fler gånger, kallas för en sekant. Exempelvis är den röda linjen i koordinatsystemet en sekant eftersom den skär den blå kurvan två gånger.
Kurvan behöver inte vara grafen till en funktion. En rät linje som skär en geometrisk figur på två ställen är också en sekant. Om den geometriska figuren är en cirkel kallas den delen av sekanten som befinner sig inuti cirkeln för korda.Bestäm ekvationen för den sekant som funktionen f(x) har mellan x=-4 och x=1.
Eftersom en sekant är en rät linje har den en ekvation på formen y=kx+m. Enligt uppgiften ska sekanten gå mellan x=-4 och x=1, så vi markerar dessa punkter på grafen till f(x) och drar en rät linje genom dem.
Vi ser att sekanten går igenom punkterna (-4,0) och (1,4). För att bestämma ekvationen till denna räta linje börjar vi med att bestämma k-värdet genom att sätta in punkterna i k-formeln.
Sätt in (1,4) & (-4,0)
a−(-b)=a+b
Addera och subtrahera termer
Beräkna kvot
Sätter vi in detta i ekvationen får vi y=0.8x+m. Vi bestämmer sedan m-värdet genom att sätta in en av punkterna i ekvationen och lösa ut m.
x=1, y=4
Multiplicera faktorer
VL−0.8=HL−0.8
Omarrangera ekvation
En ändringskvot, ΔxΔy, beskriver den genomsnittliga förändringen för en funktion på ett intervall. Den kan till exempel beskriva medelhastigheten för en bil under en viss tid eller medeltillväxten för bakterier under ett experiment. För att beräkna ändringskvoten bestämmer man ändpunkterna på intervallet, (x1,y1) och (x2,y2), och dividerar förändringen i y-led med den i x-led.
ΔxΔy=x2−x1y2−y1
Man använder alltså en motsvarighet till k-formeln och resultatet kan tolkas som medellutningen över intervallet. Ändringskvoten kan dock beräknas för vilken funktion som helst, till skillnad från k-värdet som endast kan beräknas för räta linjer. Ett annat sätt att tolka ändringskvoten är som lutningen för den sekant som ritas mellan intervallets ändpunkter.
Johanna har värmt en macka som hon ska äta när hon spelar datorspel. Hon sätter igång spelet 5 minuter efter att mackan är färdig men blir så distraherad att hon glömmer att äta den i ytterligare 15 minuter. Grafen visar mackans temperatur T i ∘C som en funktion av tiden t i minuter.
Bestäm och tolka ändringskvoten mellan t1=5 och t2=20.
Nu sätter vi in i formeln och beräknar ändringskvoten.
Sätt in (20,23) & (5,55)
Subtrahera termer
Slå in på räknare
Avrunda till 1 decimal(er)
Om ändpunkternas x-koordinater är givna, som i det här fallet, kan ändpunkternas y-värden beräknas genom att sätta in x-värdena i funktionsuttrycket.
x | 2⋅1.1x | y |
---|---|---|
10 | 2⋅1.110 | ∼5.187 |
30 | 2⋅1.130 | ∼34.899 |
Intervallets ändpunkter är i det här fallet ungefär (10,5.187) och (30,34.899). Genom att behålla många decimaler undviker man stora avrundningsfel.
Sätt in (30,34.899) & (10,5.187)
Subtrahera termer
Slå in på räknare
Avrunda till 1 decimal(er)