2. Generella deriveringsregler
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 3
2.
Generella deriveringsregler
Deriveringsregler är grundläggande verktyg inom matematiken, särskilt när det gäller att lösa problem med derivatan av funktioner. Dessa regler ger oss metoder för att bestämma derivatan av en funktion, vilket är en central del av kalkylen. Det finns flera generella deriveringsregler som gäller oavsett vilken typ av funktion som ska deriveras, till exempel potens-, exponential- eller polynomfunktioner. Dessa regler inkluderar regeln för derivatan av en konstant, regeln för derivatan av en summa, och regeln för derivatan av en funktion med en koefficient. Att förstå och kunna tillämpa dessa regler är en viktig del av matematikundervisningen.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 7 sidor teori |
| | 19 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Generella deriveringsregler
Sida av 7
Vissa deriveringsregler är generella, dvs. de gäller oavsett vilken typ av funktion som ska deriveras (t.ex. potens-, exponential- eller polynomfunktioner). Deriveringsregeln för summor är ett exempel.
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Derivatan av en term med koefficient
- Derivatan av en konstant
- Derivatan av en summa
Förkunskaper
Regel
Dela
Rapportera fel
Derivatan av en term med koefficient
När man deriverar ett funktionsuttryck som innehåller en koefficient, t.ex. y(x)=4x^2, påverkar inte koefficienten. Man säger ibland att den hänger med
under deriveringen.
Härledning
D(k* f(x))=k* f'(x)För att visa denna deriveringsregel kan man använda derivatans definition för att derivera funktionen k * f(x). Enligt definitionen ska man i täljaren sätta in x+h i funktionen och subtrahera ursprungsformen k* f(x).
D(k* f(x)) = lim_(h→ 0)k* f(x+h)-k* f(x)/h.
Koefficienten k kan nu brytas ut i täljaren.
Koefficienten k har alltså inte någon speciell inverkan, utan hänger bara med genom deriveringen: Derivatan av f(x) är f'(x), och derivatan av k* f(x) är k* f'(x).
D(k* f(x)) = lim _(h→ 0)k* f(x+h)-k* f(x)/h
FactorOut
Bryt ut k
D(k* f(x)) = lim _(h→ 0)k(f(x+h)-f(x))/h
MovePartNumLeft
a* b/c=a*b/c
D(k* f(x)) = lim _(h→ 0)(k*f(x+h)-f(x)/h)
LimCoToCoMultLim
lim _(x → a)( k * f(x) ) = k * lim _(x → a)f(x)
D(k* f(x)) = k* lim _(h→ 0)f(x+h)-f(x)/h
LimToDerivative
lim _(h→ 0)f(x+h)-f(x)/h= f'(x)
D(k* f(x)) = k* f'(x)
Exempel
Dela
Rapportera fel
Derivera potensfunktionerna
Derivera följande funktioner.
a f(x)=3x^2
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"f'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["6x"]}}
b g(x)=25x
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"g'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["25"]}}
Ledtråd
a Om en funktion är multiplicerad med en konstant, är derivatan konstanten gånger derivatan av funktionen.
b Om en funktion är multiplicerad med en konstant, är derivatan konstanten gånger derivatan av funktionen.
Lösning
a Vi börjar med f(x) som är en potensfunktion med koefficient. Eftersom koefficienter inte påverkas vid derivering kommer 3:an bara hänga med.
f(x)=3x^2
Derive
Derivera funktion
f'(x)=D(3x^2)
DeriveMonomCo
D(ax^n) = a* nx^(n-1)
f'(x)=3* 2x
Multiply
Multiplicera faktorer
f'(x)=6x
b Den andra funktionen är också en potensfunktion med en koefficient. Eftersom derivatan av x är 1 blir derivatan av g(x) alltså 25 * 1.
Regel
Dela
Rapportera fel
Derivatan av en konstant
Derivatan av en konstant är alltid 0. Exempelvis är derivatan av funktionerna f(x)=7 och g(x)=-18 lika med 0.
Härledning
D(a)=0Det finns olika sätt att visa att denna regel gäller.
Deriveringsregeln för potensfunktioner
Man kan bl.a. motivera regeln genom att skriva om funktionen f(x)=a som f(x)=a* 1, och sedan använda deriveringsregeln för potensfunktioner. Kom ihåg att en potens med exponenten 0 är 1.f(x)=a * 1
Rewrite
Skriv 1 som x^0
f(x)=a * x^0
Derive
Derivera funktion
f'(x)=D(a * x^0)
DeriveMonomCo
D(ax^n) = a* nx^(n-1)
f'(x)=a * 0* x^(-1)
Multiply
Multiplicera faktorer
f'(x)=0
Grafiskt
Ytterligare ett sätt att förklara regeln är att gå tillbaka till vad konceptet derivata innebär: lutningen i en punkt. Funktionen f(x)=a är en horisontell linje med k-värdet 0, dvs. lutningen är 0 för alla punkter längs linjen.
Därför är derivatan 0 i alla punkter, dvs. f'(x)=0.
Regel
Dela
Rapportera fel
Derivatan av en summa
När man deriverar en summa, t.ex. y(x)=x^2+3x, deriveras varje term för sig.
Härledning
D(f+g)=D(f)+D(g)Man kan visa varför regeln gäller genom att derivera summan f(x)+g(x)
med derivatans definition. I täljaren får man då differensen mellan f(x+h)+g(x+h) och f(x)+g(x):
D(f(x)+g(x))=lim_(h→0)f(x+h)+g(x+h)-(f(x)+g(x))/h.
Med lite omskrivningar kan högerledet formuleras som två gränsvärden som representerar derivatan av varsin funktion, dvs. ett gränsvärde som motsvarar f'(x) och ett som motsvarar g'(x).
I detta fall är det variabel x man deriverat med avseende på men egentligen spelar det ingen roll vilken variabel som används. Formeln kan därför anges utan variabel:
D(f+g)=D(f)+D(g).
D(f(x)+g(x))=lim _(h→ 0)f(x+h)+g(x+h)-(f(x)+g(x))/h
RemoveParSigns
Ta bort parentes & byt tecken
D(f(x)+g(x))=lim _(h→ 0)f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)/h
RearrangeTerms
Omarrangera termer
D(f(x)+g(x))=lim _(h→ 0)f(x+h)-f(x)+g(x+h)-g(x)/h
WriteSumFrac
Dela upp bråk
D(f(x)+g(x))=lim _(h→ 0)(f(x+h)-f(x)/h+g(x+h)-g(x)/h)
WriteSumLim
Dela upp gränsvärde
D(f(x)+g(x))=lim _(h→ 0)f(x+h)-f(x)/h+lim _(h→ 0)g(x+h)-g(x)/h
LimToDerivative
lim _(h→ 0)f(x+h)-f(x)/h= f'(x)
D(f(x)+g(x))=f'(x)+g'(x)
Exempel
Dela
Rapportera fel
Derivera polynomfunktionen
Bestäm f'(3) för
f(x)=2x^3-15x^2+3^2.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["-36"]}}
Ledtråd
En summa deriveras term för term.
Lösning
Vi ska derivera en polynomfunktion som är en summa, så vi deriverar varje term för sig.
Nu kan vi sätta in x=3 i uttrycket för derivatan och beräkna värdet.
f'(3) blir alltså -36.
f(x)=2x^3-15x^2+3^2
Derive
Derivera funktion
f'(x)=D(2x^3)-D(15x^2)+D(3^2)
DeriveMonomCo
D(ax^n) = a* nx^(n-1)
f'(x)=2* 3x^2-15*2 x+D(3^2)
Multiply
Multiplicera faktorer
f'(x)=6x^2-30x+D(3^2)
DeriveConst
D(a) = 0
f'(x)=6x^2-30x
f'(x)=6x^2-30x
Substitute
x= 3
f'( 3)=6* 3^2-30* 3
CalcPow
Beräkna potens
f'(3)=6*9-30*3
Multiply
Multiplicera faktorer
f'(3)=54-90
SubTerm
Subtrahera term
f'(3)=-36
Övning
Dela
Rapportera fel
Träna på derivator av polynomfunktioner
Använd deriveringsreglerna för polynomfunktioner för att bestämma den efterfrågade derivatan. Skriv svaret i enklaste form.
Generella deriveringsregler
Övningar
Bestäm derivatan till funktionen.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"y'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["5"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"h'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["14x-1"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"g'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["6x^2+12x"]}}
security
report
code
security
report
code
Derivatan av en summa bestämmer vi genom att derivera term för term.
Vi gör på samma sätt som i föregående deluppgift.
Samma sak igen.
security
report
code
Derivera funktionen.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"f'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["12x^3+14x"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"g'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["40x^4-18x^2+1"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"h'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["77x^{10}-9x^8-10x"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"p'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["24x^7+63x^6-12x^2"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi deriverar term för term.
Vi deriverar term för term igen.
Vi fortsätter på samma sätt som tidigare.
Vi gör samma sak igen.
security
report
code
Derivera funktionen.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"f'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["72x^5+3x^2"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"g'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-80x+167"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"h'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["800x^{99}+200x^4-2,8x^3"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"p'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["100x^{24}-4x^{19}+64x^7"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi deriverar term för term.
Vi deriverar term för term igen.
Vi fortsätter på samma sätt som tidigare.
Vi gör samma sak igen.
security
report
code
Bestäm f'(x) för funktionen.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"f'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["6x+3x^3"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"f'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["42x^5+\\dfrac{x^4}{3}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"f'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["0"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi bestämmer f'(x) genom att derivera varje term för sig.
Vi deriverar term för term ännu en gång.
Vi deriverar med avseende på x vilket betyder att allting annat är konstanter. pi är alltså en konstant, och derivatan av en konstant är 0.
security
report
code
Utgå från funktionen i figuren.
Resonera dig fram till derivatans värde för x-värdet.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"f'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["0"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"f'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["0"]}}
security
report
code
security
report
code
Funktionen är en horisontell linje. En sådan saknar lutning, dvs. har k-värdet 0, och eftersom derivata beskriver en funktions lutning i en punkt måste f'(x)=0 i x=2.
Med samma resonemang som tidigare kan vi konstatera att derivatan i punkten där x=-3 också är 0.
security
report
code
Derivera funktionen.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"f'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{8x^3}{5}+\\dfrac{12x}{5}+\\dfrac{1}{2}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"g'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{3x^2}{5}+\\dfrac{4x}{5}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi deriverar summan term för term. Och genom att skriva bråken på formen a/b * x^n kan vi använda deriveringsregeln för termer med koefficienter.
Vi gör samma sak igen. Notera att sista termen är en konstant, och alltså blir 0 när den deriveras.
security
report
code
Ragnar har deriverat funktionen f(x)=2x^(- 3) och fått resultatet f'(x)=- 6x^(- 2). Har Ragnar tänkt rätt? Motivera!
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
security
report
code
security
report
code
Regeln för att derivera en polynomfunktion med en koefficient är D(ax^n) = a* nx^(n-1). Vi deriverar enligt regeln och jämför sedan med Ragnars resultat.
Funktionens derivata är alltså f'(x)=- 6x^(- 4). Vi kan se att Ragnar har multiplicerat exponenten med koefficienten korrekt. Dock har han ökat exponenten med 1, istället för att minska den som man ska göra. Ragnar vet säkert att 2 är 1 mindre än 3 och har sannolikt trott att -2 är 1 mindre än - 3. Men när det gäller negativa tal är dessa mindre ju mer negativa de är, så det är alltså - 4 som är 1 mindre än - 3.
security
report
code
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"f'(3)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["135"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"g'(9)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["36"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"p'(6)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-324"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att derivera. 5 är en koefficient så den påverkas inte av deriveringen.
Nu sätter vi in x=3 i derivatan.
Vi gör på samma sätt och börjar med att derivera och sätter sedan in z=9 i derivatan.
Vi gör samma sak igen.
security
report
code
För vilket t har funktionen s(t)=3t^4-9 derivatan 12?
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":true,"variable":"t"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["1"]}}
security
report
code
security
report
code
För att kunna bestämma för vilket t som derivatan är 12 måste vi först derivera funktionen. Detta görs term för term.
Vi sätter nu derivatan lika med 12 och löser ut t.
Derivatan för s(t) är alltså 12 då t=1.
security
report
code
Bestäm det värde på x där derivatan till f(x)=x^2+5x är lika med derivatan till g(x)=- 5x^2+14x.
Nationella provet HT12 3b/3c
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["0,75"]}}
security
report
code
security
report
code
Genom att likställa funktionernas derivator kan vi bestämma för vilka x som funktionernas lutning är lika.
Derivera funktioner
f(x) har derivatan f'(x)=2x+5.
g(x) har derivatan g'(x)=- 10x+14.
Likställ derivator
Nu likställer vi derivatorna och löser ut x.
Derivatorna är lika när x=0,75.
security
report
code
Generella deriveringsregler
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll