body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Gd

Generella deriveringsregler Visa detaljer

Kursinnehåll

Kapitel

2.

Generella deriveringsregler

Deriveringsregler är grundläggande verktyg inom matematiken, särskilt när det gäller att lösa problem med derivatan av funktioner. Dessa regler ger oss metoder för att bestämma derivatan av en funktion, vilket är en central del av kalkylen. Det finns flera generella deriveringsregler som gäller oavsett vilken typ av funktion som ska deriveras, till exempel potens-, exponential- eller polynomfunktioner. Dessa regler inkluderar regeln för derivatan av en konstant, regeln för derivatan av en summa, och regeln för derivatan av en funktion med en koefficient. Att förstå och kunna tillämpa dessa regler är en viktig del av matematikundervisningen.

Inställningar & verktyg för lektion

	7 sidor teori
	19 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Generella deriveringsregler

Sida av 7

Vissa deriveringsregler är generella, dvs. de gäller oavsett vilken typ av funktion som ska deriveras (t.ex. potens-, exponential- eller polynomfunktioner). Deriveringsregeln för summor är ett exempel.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Derivatan av en term med koefficient
Derivatan av en konstant
Derivatan av en summa

Förkunskaper

Potensfunktion
Exponentialfunktion
Polynomfunktion

Regel

Derivatan av en term med koefficient

När man deriverar ett funktionsuttryck som innehåller en koefficient, t.ex. $y (x) = 4 x^{2},$ påverkar inte koefficienten. Man säger ibland att den hänger med under deriveringen.

Härledning

D (k \cdot f (x)) = k \cdot f^{'} (x)

För att visa denna deriveringsregel kan man använda derivatans definition för att derivera funktionen

k \cdot f (x) .

Enligt definitionen ska man i täljaren sätta in

x + h

i funktionen och subtrahera ursprungsformen

k \cdot f (x) .

D (k \cdot f (x)) = h \to 0 lim \frac{k \cdot f ( x + h ) - k \cdot f ( x )}{h} .

Koefficienten

k

kan nu brytas ut i täljaren.

D (k \cdot f (x)) = h \to 0 lim \frac{k \cdot f ( x + h ) - k \cdot f ( x )}{h}

Bryt ut $k$

D (k \cdot f (x)) = h \to 0 lim \frac{k ( f ( x + h ) - f ( x ) )}{h}

MovePartNumLeft

$\frac{a \cdot b}{c} = a \cdot \frac{b}{c}$

D (k \cdot f (x)) = h \to 0 lim (k \cdot \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h})

LimCoToCoMultLim

$x \to a lim (k \cdot f (x)) = k \cdot x \to a lim f (x)$

D (k \cdot f (x)) = k \cdot h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

LimToDerivative

$h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} = f^{'} (x)$

D (k \cdot f (x)) = k \cdot f^{'} (x)

Koefficienten

k

har alltså inte någon speciell inverkan, utan hänger bara med genom deriveringen: Derivatan av

f (x)

är

f^{'} (x),

och derivatan av

k \cdot f (x)

är

k \cdot f^{'} (x) .

Exempel

Derivera potensfunktionerna

Derivera följande funktioner.

a

f (x) = 3 x^{2}

b

g (x) = 25 x

Ledtråd

a Om en funktion är multiplicerad med en konstant, är derivatan konstanten gånger derivatan av funktionen.

b Om en funktion är multiplicerad med en konstant, är derivatan konstanten gånger derivatan av funktionen.

Lösning

a Vi börjar med

f (x)

som är en potensfunktion med koefficient. Eftersom koefficienter inte påverkas vid derivering kommer

3 : an

bara hänga med.

f (x) = 3 x^{2}

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (3 x^{2})

$D (a x^{n}) = a \cdot n x^{n - 1}$

f^{'} (x) = 3 \cdot 2 x

Multiplicera faktorer

f^{'} (x) = 6 x

Derivatan är

f^{'} (x) = 6 x .

b Den andra funktionen är också en potensfunktion med en koefficient. Eftersom derivatan av

x

är

1

blir derivatan av

g (x)

alltså

25 \cdot 1 .

g (x) = 25 x

Derivera funktion

g^{'} (x) = D (25 x)

$D (a x) = a$

g^{'} (x) = 25

Derivatan är

g^{'} (x) = 25 .

Regel

Derivatan av en konstant

Derivatan av en konstant är alltid $0 .$ Exempelvis är derivatan av funktionerna $f (x) = 7$ och $g (x) = - 18$ lika med $0 .$

Härledning

D (a) = 0

Det finns olika sätt att visa att denna regel gäller.

Deriveringsregeln för potensfunktioner

Man kan bl.a. motivera regeln genom att skriva om funktionen

f (x) = a

som

f (x) = a \cdot 1,

och sedan använda deriveringsregeln för potensfunktioner. Kom ihåg att en potens med exponenten

0

är

1 .

f (x) = a \cdot 1

Skriv $1$ som $x^{0}$

f (x) = a \cdot x^{0}

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (a \cdot x^{0})

$D (a x^{n}) = a \cdot n x^{n - 1}$

f^{'} (x) = a \cdot 0 \cdot x^{- 1}

Multiplicera faktorer

f^{'} (x) = 0

Alltså är derivatan av

f (x) = a

lika med

0,

oavsett värdet på

a .

Grafiskt

Ytterligare ett sätt att förklara regeln är att gå tillbaka till vad konceptet derivata innebär: lutningen i en punkt. Funktionen $f (x) = a$ är en horisontell linje med $k$ -värdet $0,$ dvs. lutningen är $0$ för alla punkter längs linjen.

Därför är derivatan $0$ i alla punkter, dvs. $f^{'} (x) = 0 .$

Regel

Derivatan av en summa

När man deriverar en summa, t.ex. $y (x) = x^{2} + 3 x,$ deriveras varje term för sig.

Härledning

D (f + g) = D (f) + D (g)

Man kan visa varför regeln gäller genom att derivera summan

f (x) + g (x)

med derivatans definition. I täljaren får man då differensen mellan

f (x + h) + g (x + h)

och

f (x) + g (x) :

D (f (x) + g (x)) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) + g ( x + h ) - ( f ( x ) + g ( x ) )}{h} .

Med lite omskrivningar kan högerledet formuleras som två gränsvärden som representerar derivatan av varsin funktion, dvs. ett gränsvärde som motsvarar

f^{'} (x)

och ett som motsvarar

g^{'} (x) .

D (f (x) + g (x)) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) + g ( x + h ) - ( f ( x ) + g ( x ) )}{h}

Ta bort parentes & byt tecken

D (f (x) + g (x)) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) + g ( x + h ) - f ( x ) - g ( x )}{h}

Omarrangera termer

D (f (x) + g (x)) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x ) + g ( x + h ) - g ( x )}{h}

Dela upp bråk

D (f (x) + g (x)) = h \to 0 lim (\frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} + \frac{g ( x + h ) - g ( x )}{h})

Dela upp gränsvärde

D (f (x) + g (x)) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} + h \to 0 lim \frac{g ( x + h ) - g ( x )}{h}

LimToDerivative

$h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} = f^{'} (x)$

D (f (x) + g (x)) = f^{'} (x) + g^{'} (x)

I detta fall är det variabel

x

man deriverat med avseende på men egentligen spelar det ingen roll vilken variabel som används. Formeln kan därför anges utan variabel:

D (f + g) = D (f) + D (g) .

Exempel

Derivera polynomfunktionen

Bestäm

f^{'} (3)

för

f (x) = 2 x^{3} - 15 x^{2} + 3^{2} .

Ledtråd

En summa deriveras term för term.

Lösning

Vi ska derivera en polynomfunktion som är en summa, så vi deriverar varje term för sig.

f (x) = 2 x^{3} - 15 x^{2} + 3^{2}

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (2 x^{3}) - D (15 x^{2}) + D (3^{2})

$D (a x^{n}) = a \cdot n x^{n - 1}$

f^{'} (x) = 2 \cdot 3 x^{2} - 15 \cdot 2 x + D (3^{2})

Multiplicera faktorer

f^{'} (x) = 6 x^{2} - 30 x + D (3^{2})

$D (a) = 0$

f^{'} (x) = 6 x^{2} - 30 x

Nu kan vi sätta in

x = 3

i uttrycket för derivatan och beräkna värdet.

f^{'} (x) = 6 x^{2} - 30 x

$x = 3$

f^{'} (3) = 6 \cdot 3^{2} - 30 \cdot 3

Beräkna potens

f^{'} (3) = 6 \cdot 9 - 30 \cdot 3

Multiplicera faktorer

f^{'} (3) = 54 - 90

Subtrahera term

f^{'} (3) = - 36

f^{'} (3)

blir alltså

- 36 .

Övning

Träna på derivator av polynomfunktioner

Använd deriveringsreglerna för polynomfunktioner för att bestämma den efterfrågade derivatan. Skriv svaret i enklaste form.

Applet som genererar slumpmässiga polynomfunktioner och ber dig bestämma deras derivator.

Bestäm derivatan till funktionen.

y (x) = 5 x - 4

h (x) = 7 x^{2} - x + 8

g (x) = 2 x^{3} + 6 x^{2} + 10

Derivatan av en summa bestämmer vi genom att derivera term för term.

Vi gör på samma sätt som i föregående deluppgift.

Samma sak igen.

Derivera funktionen.

f (x) = 3 x^{4} + 7 x^{2} - 15

g (x) = 8 x^{5} - 6 x^{3} + x + 2

h (x) = 7 x^{11} - x^{9} - 5 x^{2} - 13

p (x) = 3 x^{8} + 9 x^{7} - 4 x^{3} + 6

Vi deriverar term för term.

Vi deriverar term för term igen.

Vi fortsätter på samma sätt som tidigare.

Vi gör samma sak igen.

Derivera funktionen.

f (x) = 12 x^{6} + x^{3} + 55

g (x) = - 40 x^{2} + 167 x - 0, 5

h (x) = 8 x^{100} + 40 x^{5} - 0, 7 x^{4}

p (x) = 4 x^{25} - 0, 2 x^{20} + 8 x^{8} - π

Vi deriverar term för term.

Vi deriverar term för term igen.

Vi fortsätter på samma sätt som tidigare.

Vi gör samma sak igen.

Bestäm $f^{'} (x)$ för funktionen.

f (x) = 3 x^{2} + \frac{3}{4} x^{4} + 3

f (x) = 7 x^{6} + \frac{1}{1 5} x^{5} + \frac{3}{5}

f (x) = π

Vi bestämmer f'(x) genom att derivera varje term för sig.

Vi deriverar term för term ännu en gång.

Vi deriverar med avseende på x vilket betyder att allting annat är konstanter. pi är alltså en konstant, och derivatan av en konstant är 0.

Utgå från funktionen i figuren.

En horisontell linje.

Resonera dig fram till derivatans värde för $x -$ värdet.

x = 2

x = - 3

Funktionen är en horisontell linje. En sådan saknar lutning, dvs. har k-värdet 0, och eftersom derivata beskriver en funktions lutning i en punkt måste f'(x)=0 i x=2.

Med samma resonemang som tidigare kan vi konstatera att derivatan i punkten där x=-3 också är 0.

Derivera funktionen.

f (x) = \frac{2 x ^{4}}{5} + \frac{6 x ^{2}}{5} + \frac{x}{2}

g (x) = \frac{x ^{3}}{5} + \frac{2 x ^{2}}{5} + \frac{5}{2}

Vi deriverar summan term för term. Och genom att skriva bråken på formen a/b * x^n kan vi använda deriveringsregeln för termer med koefficienter.

Vi gör samma sak igen. Notera att sista termen är en konstant, och alltså blir 0 när den deriveras.

Ragnar har deriverat funktionen

f (x) = 2 x^{- 3}

och fått resultatet

f^{'} (x) = - 6 x^{- 2} .

Har Ragnar tänkt rätt? Motivera!

Regeln för att derivera en polynomfunktion med en koefficient är D(ax^n) = a* nx^(n-1). Vi deriverar enligt regeln och jämför sedan med Ragnars resultat.

Funktionens derivata är alltså f'(x)=- 6x^(- 4). Vi kan se att Ragnar har multiplicerat exponenten med koefficienten korrekt. Dock har han ökat exponenten med 1, istället för att minska den som man ska göra. Ragnar vet säkert att 2 är 1 mindre än 3 och har sannolikt trott att -2 är 1 mindre än - 3. Men när det gäller negativa tal är dessa mindre ju mer negativa de är, så det är alltså - 4 som är 1 mindre än - 3.

Bestäm

f^{'} (3)

för

f (x) = 5 x^{3} .

Bestäm

g^{'} (9)

för

g (z) = 2 z^{2} .

Bestäm

p^{'} (6)

för

p (s) = - 3 s^{3} .

Vi börjar med att derivera. 5 är en koefficient så den påverkas inte av deriveringen.

Nu sätter vi in x=3 i derivatan.

Vi gör på samma sätt och börjar med att derivera och sätter sedan in z=9 i derivatan.

Vi gör samma sak igen.

För vilket

t

har funktionen

s (t) = 3 t^{4} - 9

derivatan

12 ?

För att kunna bestämma för vilket t som derivatan är 12 måste vi först derivera funktionen. Detta görs term för term.

Vi sätter nu derivatan lika med 12 och löser ut t.

Derivatan för s(t) är alltså 12 då t=1.

Bestäm det värde på $x$ där derivatan till $f (x) = x^{2} + 5 x$ är lika med derivatan till $g (x) = - 5 x^{2} + 14 x .$

Nationella provet HT12 3b/3c

Genom att likställa funktionernas derivator kan vi bestämma för vilka x som funktionernas lutning är lika.

Derivera funktioner

f(x) har derivatan f'(x)=2x+5.

g(x) har derivatan g'(x)=- 10x+14.

Likställ derivator

Nu likställer vi derivatorna och löser ut x.

Derivatorna är lika när x=0,75.

Generella deriveringsregler

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Laddar innehåll