Extrempunkter och Derivatans Nollställen: Utforska Maximi- och Minimipunkter

Lokal maximipunkt
$x$		$a$
$f^{'} (x)$	$+$	$0$	$-$
$f (x)$	$↗$	max	$↘$

Lokal minimipunkt
$x$		$b$
$f^{'} (x)$	$-$	$0$	$+$
$f (x)$	$↘$	min	$↗$

2

Bestäm derivatans nollställen

För att hitta derivatans nollställen sätter man den lika med

0

och löser den ekvation man får. I detta fall får man

12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x = 0 .

Hur man löser

f^{'} (x) = 0

beror på hur ekvationen ser ut. Här använder man nollproduktmetoden.

12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x = 0

DivEqn

$VL / 12 = HL / 12$

x^{3} - 4 x^{2} + 4 x = 0

FactorOut

Bryt ut $x$

x (x^{2} - 4 x + 4) = 0

ZeroProdProp

Använd nollproduktmetoden

x = 0 x^{2} - 4 x + 4 = 0

I det här fallet får man ut en lösning direkt, $x = 0,$ samt en andragradsekvation som kan lösas med $p q -$ formeln.

x^{2} - 4 x + 4 = 0

UsePQ

Använd $p q$ -formeln: $p = - 4, q = 4$

x = - \frac{- 4}{2} \pm (\frac{- 4}{2})^{2} - 4

CalcQuot

Beräkna kvot

x = - (- 2) \pm (- 2)^{2} - 4

NegNeg

$- (- a) = a$

x = 2 \pm (- 2)^{2} - 4

CalcPow

Beräkna potens

x = 2 \pm 4 - 4

SubTerm

Subtrahera term

x = 2 \pm 0

SimpRadicalTerm

Förenkla rot & termer

x = 2

Lösningarna till ekvationen $f^{'} (x) = 0$ är alltså $x = 0$ och en dubbelrot $x = 2 .$ Detta är derivatans nollställen, så för dessa $x -$ värden hittar man funktionens stationära punkter.

3

Avgör stationära punkters karaktär med teckentabell

För att avgöra vilken typ av stationära punkter man har hittat kan man göra en teckentabell. Man börjar med att fylla i informationen från föregående steg, dvs. att derivatan är $0$ när $x$ är $0$ och $2 .$

$x$		$0$		$2$
$f^{'} (x)$		$0$		$0$
$f (x)$	$↘$	$M i n$	$↗$	$T e r .$	$↗$

För att bestämma de stationära punkternas karaktär tar man reda på om $f (x)$ är växande eller avtagande på intervallen mellan punkterna. Det gör man enklast genom att undersöka derivatans tecken på dessa intervall. Man väljer därför något $x$ -värde på respektive intervall och sätter in det i derivatan $f^{'} (x) .$ Här kan man t.ex. välja $x -$ värdena $- 1,$ $1$ och $3 .$

$x$	$12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x$	$f^{'} (x)$	$+ / -$
$- 1$	$12 (- 1)^{3} - 48 (- 1)^{2} + 48 (- 1)$	$- 12$	$-$
$1$	$12 \cdot 1^{3} - 48 \cdot 1^{2} + 48 \cdot 1$	$12$	$+$
$3$	$12 \cdot 3^{3} - 48 \cdot 3^{2} + 48 \cdot 3$	$36$	$+$

Nu kan man fylla i derivatans tecken på teckentabellens andra rad. Samtidigt kan man fylla i grafens utseende på tredje raden med hjälp av detta. En positiv derivata ger en växande funktion ( $↗$ ) och en negativ derivata ger en avtagande funktion ( $↘$ ).

$x$		$0$		$2$
$f^{'} (x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$+$
$f (x)$	$↘$	$M i n$	$↗$	$T e r .$	$↗$

I tabellen ser man att funktionen är avtagande till vänster om $x = 0$ och växande till höger, vilket innebär att det finns en minimipunkt där. Kring den stationära punkten i $x = 2$ är funktionen istället växande på båda sidor, så där finns en terrasspunkt.

$x$		$0$		$2$
$f^{'} (x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$+$
$f (x)$	$↘$	Min	$↗$	Ter.	$↗$

4

Uteslut eventuella terrasspunkter

Målet här är att hitta funktionens extrempunkter men eftersom terrasspunkter inte är extrempunkter kan man utesluta dem. Därför utesluts punken där $x = 2 .$

$x$	$6 x^{2} - 12 x$	$h^{'} (x)$	Tecken
$- 1$	$6 (- 1)^{2} - 12 (- 1)$	$18$	$+$
$1$	$6 \cdot 1^{2} - 12 \cdot 1$	$- 6$	$-$
$10$	$6 \cdot 10^{2} - 12 \cdot 10$	$480$	$+$

Extrempunkter och derivatans nollställen

Förkunskaper

Lokal maximipunkt

Lokal minimipunkt

Extrempunkt

Terrasspunkt

Exploring cubic functions

Finding the behaviour from a sign table

Bestämma extrempunkter med derivata och teckentabell

Finding extrema graphically

Hitta funktionens stationära punkter

Ledtråd

Lösning

Gör en teckentabell utifrån funktionen

Ledtråd

Lösning

Hitta extremvärde med räknare

Finding extreme values using a calculator

Ledtråd

Lösning

Extrempunkter och derivatans nollställen

Rekommenderade uppgifter

	13 sidor teori
	16 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

$x$		$0$		$2$
$h^{'} (x)$		$0$		$0$
$h (x)$	$↘$	$M i n$	$↗$	$T e r .$	$↗$