| {{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount }} |
| {{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount }} |
| {{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }} |
Man kan bestämma lokala extrempunkter för en funktion, t.ex. f(x)=3x4−16x3+24x2, genom att avgöra i vilka punkter dess derivata är 0, och därefter undersöka extrempunkternas karaktär samt dess koordinater.
Man börjar med att derivera funktionen med lämpliga deriveringsregler.
Derivera funktion
D(axn)=a⋅nxn−1
VL/12=HL/12
Bryt ut x
Använd nollproduktmetoden
I det här fallet får man ut en lösning direkt, x=0, samt en andragradsekvation som kan lösas med pq-formeln.
Använd pq-formeln: p=-4,q=4
Beräkna kvot
-(-a)=a
Beräkna potens
Subtrahera term
Förenkla rot & termer
Lösningarna till ekvationen f′(x)=0 är alltså x=0 och en dubbelrot x=2. Detta är derivatans nollställen, så för dessa x-värden hittar man funktionens stationära punkter.
För att avgöra vilken typ av stationära punkter man har hittat kan man göra en teckentabell. Man börjar med att fylla i informationen från föregående steg, dvs. att derivatan är 0 när x är 0 och 2.
x | 0 | 2 | |||
---|---|---|---|---|---|
f′(x) | 0 | 0 | |||
f(x) | ↘ | Min | ↗ | Ter. | ↗ |
För att bestämma de stationära punkternas karaktär tar man reda på om f(x) är växande eller avtagande på intervallen mellan punkterna. Det gör man enklast genom att undersöka derivatans tecken på dessa intervall. Man väljer därför något x-värde på respektive intervall och sätter in det i derivatan f′(x). Här kan man t.ex. välja x-värdena -1, 1 och 3.
x | 12x3−48x2+48x | f′(x) | +/− |
---|---|---|---|
-1 | 12(-1)3−48(-1)2+48(-1) | -12 | − |
1 | 12⋅13−48⋅12+48⋅1 | 12 | + |
3 | 12⋅33−48⋅32+48⋅3 | 36 | + |
Nu kan man fylla i derivatans tecken på teckentabellens andra rad. Samtidigt kan man fylla i grafens utseende på tredje raden med hjälp av detta. En positiv derivata ger en växande funktion (↗) och en negativ derivata ger en avtagande funktion (↘).
x | 0 | 2 | |||
---|---|---|---|---|---|
f′(x) | − | 0 | + | 0 | + |
f(x) | ↘ | Min | ↗ | Ter. | ↗ |
I tabellen ser man att funktionen är avtagande till vänster om x=0 och växande till höger, vilket innebär att det finns en minimipunkt där. Kring den stationära punkten i x=2 är funktionen istället växande på båda sidor, så där finns en terrasspunkt.
x | 0 | 2 | |||
---|---|---|---|---|---|
f′(x) | − | 0 | + | 0 | + |
f(x) | ↘ | Min | ↗ | Ter. | ↗ |
Målet här är att hitta funktionens extrempunkter men eftersom terrasspunkter inte är extrempunkter kan man utesluta dem. Därför utesluts punken där x=2.
Översiktligt kan arbetsgången för att hitta lokala extrempunkter beskrivas av följande flödesschema.
Derivera funktion
D(xn)=nxn−1
D(axn)=a⋅nxn−1
D(ax)=a
D(a)=0
VL/3=HL/3
Använd pq-formeln: p=-4,q=-5
Beräkna kvot
-(-a)=a
Beräkna potens
a−(-b)=a+b
Beräkna rot
Ange lösningar
De stationära punkternas koordinater är (-1,11) och (5,-97).
Derivera funktion
D(axn)=a⋅nxn−1
D(a)=0
Derivatan är 0 i de stationära punkterna så vi sätter h′(x) lika med 0 och löser ekvationen med nollproduktmetoden.
Dela upp i faktorer
Bryt ut x
Använd nollproduktmetoden
(II): VL+12=HL+12
(II): VL/6=HL/6
Vi fyller i derivatans nollställen i en teckentabell.
x | 0 | 2 | |||
---|---|---|---|---|---|
h′(x) | 0 | 0 | |||
h(x) | ↘ | Min | ↗ | Ter. | ↗ |
Nu tar vi reda på derivatans tecken mellan dess nollställen. Vi väljer något x-värde på varje intervall och sätter in det i derivatan h′(x). Det spelar ingen roll vilket x-värde man väljer, så vi väljer x som ger enkla beräkningar.
x | 6x2−12x | h′(x) | Tecken |
---|---|---|---|
-1 | 6(-1)2−12(-1) | 18 | + |
1 | 6⋅12−12⋅1 | -6 | − |
10 | 6⋅102−12⋅10 | 480 | + |
Genom att fylla i derivatans tecken på den andra raden kan vi också avgöra grafens utseende.
x | 0 | 2 | |||
---|---|---|---|---|---|
h′(x) | + | 0 | − | 0 | + |
h(x) | ↗ | Max | ↘ | Min | ↗ |
Nu kan vi se att den vänstra extrempunkten är ett maximum och den högra är ett minimum.
x | 0 | 2 | |||
---|---|---|---|---|---|
h′(x) | + | 0 | − | 0 | + |
h(x) | ↗ | Max | ↘ | Min | ↗ |
Räknaren kan användas för att hitta extremvärden till olika typer av funktioner.
Det är viktigt att alla extrempunkter syns i fönstret. Om de inte gör det går det att ändra inställningarna för koordinatsystemet.
Kurvan visas nu igen, och för att räknaren ska kunna bestämma extrempunkten måste man ange tre punkter på kurvan.
Räknaren bestämmer nu närmevärden för extrempunktens koordinater och anger dem längst ner på skärmen.