Sinussatsen

Enligt sinussatsen, a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C), är kvoten mellan sinusvärdet för en vinkel och dess motstående sida konstant i en triangel. Vi använder det för att ställa upp en ekvation och lösa ut sidan x.

Sidan x är alltså ca 3.6 le.

Vi använder sinussatsen även här och sätter in de kända vinklarna och den kända sidan i satsen.

Sidan x är ca 4.4 le.

Vi gör på samma sätt igen.

Sidan x är alltså ca 4.8 le.

För att beräkna triangelns omkrets behöver vi känna till alla dess sidor. Eftersom vi känner till vinkeln C, dess motstående sida och vinkeln B kan vi bestämma sidan AC med sinussatsen.

Vi behåller det exakta värdet på sidan för att minimera avrundningsfelet när vi sedan beräknar omkretsen. Innan vi kan beräkna sidan BC måste vi veta dess motstående vinkel, dvs. vinkel A och eftersom vi känner till de två övriga vinklarna i triangeln kan vi beräkna A: A=180^(∘)-99^(∘)-50^(∘)=31^(∘). Nu använder vi sinussatsen för att bestämma BC.

Nu kan vi bestämma omkretsen genom att lägga ihop alla sidor.

Omkretsen är cirka 11.6 le.

Sidorna AC och BC är lika långa vilket betyder att basvinklarna A och B är lika stora, dvs. A=54^(∘). Eftersom triangelns vinkelsumma är 180^(∘) blir den sista vinkeln C=180^(∘)-54^(∘)-54^(∘)=72^(∘). Vi markerar vinklarna i triangeln.

Nu kan vi använda sinussatsen för att bestämma någon av sidorna AC eller BC.

Vi behåller sidans längd i exakt form för att minimera avrundningsfelet när vi beräknar arean med areasatsen.

Triangelns area är cirka 7.0 cm^2.

För att bestämma staketets längd, som vi kallar x, behöver vi ta reda på dess motstående vinkel, som vi kan kalla v. Då kan vi använda sinussatsen för att hitta x. Vinkeln v hittar vi med triangelns vinkelsumma: 27^(∘)+36^(∘)+v=180^(∘) ⇔ v=117^(∘) Nu kan vi bestämma x.

Vi kan välja vilken av de andra sidorna och motstående vinkel som helst när vi nu sätter in värden i sinussatsen. Här väljer vi att använda oss av vinkeln 27^(∘) samt dess motstående sida 5.6.

Danas staket måste alltså vara 11.0 meter långt.

Vi vet att kvoten mellan sinusvärdet för en vinkel och en sida i triangel ABC är lika med 0.25. För att sidan som är 1 le. ska kunna ha en motstående vinkel som är 30^(∘) måste alltså sin(30^(∘))/1 också vara lika med 0.25. Vi beräknar kvoten för att se om den är det.

Vi ser att kvoten blir 0.5 istället för 0.25, vilket innebär att motstående vinkeln till sidan 1 le. alltså inte kan vara 30^(∘).

Vi kan använda sinussatsen för att bestämma sin(v) eftersom motstående sidor till vinkeln v samt en annan vinkel och motstående sida i triangeln är kända.

Så sin(v) är lika med 8sin(31^(∘))5.

Nu ska vi bestämma vad v faktiskt är. Vi känner redan till sinusvärdet för de två vinklarna från första deluppgiften och kan använda arcsin för att hitta vinkeln v.

Vinkel v är alltså ca 55^(∘).