5. Sinussatsen
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 6
5.
Sinussatsen
Sinussatsen är en matematisk princip som beskriver ett samband mellan vinklar och sidor i en godtycklig triangel. Den används för att bestämma en okänd vinkel eller sida i en triangel. Mellan 0 och 180 grader finns det två vinklar med samma sinusvärde, så om man använder sinussatsen för att bestämma en okänd vinkel kan det finnas två möjliga värden. Det är viktigt att kontrollera att båda är rimliga. Sinussatsen kan också användas för att bestämma en okänd sida. Den används i olika geometriska beräkningar som att bestämma sidor, vinklar, och omkrets i trianglar. Det finns också exempel på hur sinussatsen används i praktiska situationer, som att beräkna längden på ett staket.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 9 sidor teori |
| | 11 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Sinussatsen
Sida av 9
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Sinussatsen
Utforska
Dela
Rapportera fel
Relationship Between a Triangle's Angles and Their Opposite Sides
Regel
Dela
Rapportera fel
Sinussatsen
Sinussatsen anger ett samband mellan vinklar och sidor i en godtycklig triangel. Kvoten mellan sinusvärdet av en vinkel och dess motstående sida är lika stor oavsett vilken vinkel och motstående sida man dividerar.
sin(A)/a=sin(B)/b=sin(C)/c
A, B och C är triangelns vinklar medan a, b och c är respektive vinkels motstående sida, så sinussatsen kan användas för att bestämma en okänd vinkel eller sida.
Mellan 0^(∘) och 180^(∘) finns det två vinklar med samma sinusvärde, så om man använder sinussatsen för att bestämma en okänd vinkel kan det därför finnas två möjliga värden på denna. Det är inte alltid det finns en geometrisk tolkning av båda dessa värden, så det är viktigt att man kontrollerar att båda är rimliga. Sinussatsen kan också skrivas a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C), vilket kan vara användbart när man istället bestämmer en okänd sida.
Bevis
Bevis för sinussatsenFör att bevisa sinussatsen kan man använda följande godtyckliga triangel.
Om man studerar sidorna b och c blir A mellanliggande vinkel. Enligt areasatsen kan triangelns area då skrivas Area=bcsin(A)/2. Utgår man istället ifrån vinkel B respektive C får man två nya samband som beskriver samma area: Area=acsin(B)/2 och Area=absin(C)/2. Eftersom alla tre uttryck beskriver triangelns area måste de vara lika stora. Man kan därmed likställa dem och genom att göra några omskrivningar får man slutligen sinussatsen.
bcsin(A)/2=acsin(B)/2=absin(C)/2
MultEqn
VL * 2=HL* 2
bcsin(A)=acsin(B)=absin(C)
DivEqn
.VL /abc.=.HL /abc.
bcsin(A)/abc=acsin(B)/abc=absin(C)/abc
SimpQuot
Förenkla kvot
sin(A)/a=sin(B)/b=sin(C)/c
Q.E.D.
Exempel
Dela
Rapportera fel
Bestäm sidan med sinussatsen
Bestäm sidan x. Avrunda till en decimal.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"x\u2248","formTextAfter":null,"answer":{"text":["1.5"]}}
Ledtråd
Börja med att hitta den saknade vinkelstorleken. Använd sinussats.
Lösning
Enligt sinussatsen gäller sambandet a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C), där A, B och C är vinklar och a, b och c är respektive vinkels motstående sida. Vi bestämmer först motstående vinkel till x med hjälp av triangelns vinkelsumma: 180^(∘)-79^(∘)-41^(∘)=60^(∘). Vi kompletterar figuren med den sista vinkeln.
a/sin(A)=b/sin(B)
SubstituteValues
Sätt in värden
x/sin(60^(∘))=1,7/sin(79^(∘))
MultEqn
VL * sin(60^(∘))=HL* sin(60^(∘))
x=1,7/sin(79^(∘)) * sin(60^(∘))
UseCalc
Slå in på räknare
x=1,49979 ...
RoundDec
Avrunda till 11tiondelar 12hundradelar 13tusendelar 14tiotusendelar 15hundratusendelar 16miljontedelar 17hundramiljontedelar 18miljardtedelar
x ≈ 1,5
Övning
Dela
Rapportera fel
Practice Finding Sides Using the Law of Sines
In the following applet, x represents the side length of a triangle. Find the value of x by using the Law of Sines. Write the answer rounded to two decimal places.
Metod
Dela
Rapportera fel
Bestämma vinklar med sinussatsen
När man bestämmer vinklar med sinussatsen måste man vara uppmärksam på att det i vissa fall kan finnas två korrekta svar. Man kan t.ex. undersöka möjliga värden på vinklarna X och Y i triangeln XYZ när man vet att motstående sida till X är x=10 mm och att Z=30 ^(∘) är motstående vinkel till sidan z=7 mm.
1
Sätt in känd vinkel och sidor i sinussatsen
expand_more Enligt sinussatsen är kvoten mellan sinusvärdet för en vinkel och vinkelns motstående sida alltid konstant. I det här fallet känner man till sidorna x och z samt vinkeln Z. Man kan då ställa upp en ekvation med hjälp av sinussatsen: sin(X)/10=sin(30^(∘))/7.
2
Lös ut den okända vinkeln
expand_more Ekvationen kan lösas genom att använda arcussinus. Kontrollera att räknaren är inställd på grader.
sin(X)/10=sin(30^(∘))/7
MultEqn
VL * 10=HL* 10
sin(X)=10sin(30^(∘))/7
Sin
\ifnumequal{30}{0}{\sin\left(0^{\, \circ}\right)=0}{}\ifnumequal{30}{30}{\sin\left(30^{\, \circ}\right)=\dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{30}{45}{\sin\left(45^{\, \circ}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{30}{60}{\sin\left(60^{\, \circ}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{30}{90}{\sin\left(90^{\, \circ}\right)=1}{}\ifnumequal{30}{120}{\sin\left(120^{\, \circ}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{30}{135}{\sin\left(135^{\, \circ}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{30}{150}{\sin\left(150^{\, \circ}\right)=\dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{30}{180}{\sin\left(180^{\, \circ}\right)=0}{}\ifnumequal{30}{210}{\sin\left(210^{\, \circ}\right)=- \dfrac 1 2}{}\ifnumequal{30}{225}{\sin\left(225^{\, \circ}\right)=- \dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{30}{240}{\sin\left(240^{\, \circ}\right)=- \dfrac {\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{30}{270}{\sin\left(270^{\, \circ}\right)=-1}{}\ifnumequal{30}{300}{\sin\left(300^{\, \circ}\right)=-\dfrac {\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{30}{315}{\sin\left(315^{\, \circ}\right)=- \dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{30}{330}{\sin\left(330^{\, \circ}\right)=- \dfrac 1 2}{}\ifnumequal{30}{360}{\sin\left(360^{\, \circ}\right)=0}{}
sin(X)=10* 12/7
Multiply
Multiplicera faktorer
sin(X)=5/7
ArcSinEqn
arcsin(VL) = arcsin(HL)
X=arcsin(5/7)
UseCalc
Slå in på räknare
X=45,58469...^(∘)
RoundInt
Avrunda till närmaste heltal
X ≈ 46^(∘)
Nu har man bestämt ett värde på den okända vinkeln: X ≈ 46^(∘). Triangelns vinkelsumma ger att den tredje vinkeln, Y, är 180^(∘)-30^(∘)-46^(∘)=104^(∘).
3
Bestäm vinkeln 180^(∘)-v
expand_more Mellan 0^(∘) och 180^(∘) finns det två vinklar som ger samma sinusvärde, så en annan möjlig vinkel är 180^(∘)-46^(∘)=134^(∘). Både X=46^(∘) och X=134^(∘) är alltså lösningar på ekvationen sin(X)10= sin(30^(∘))7. Men även om ekvationen stämmer är det inte säkert att man kan bilda en triangel där den okända vinkeln X är 134^(∘). Vi kontrollerar detta geometriskt.
4
Är vinkeln 180^(∘)-v rimlig?
expand_more För att undersöka om 134^(∘) är en möjlig vinkel i triangeln kontrollerar man att summan av 134^(∘) och 30^(∘) är mindre än triangelns vinkelsumma: 134^(∘)+30^(∘)=164^(∘). Eftersom summan av vinklarna är mindre än 180^(∘) finns det "grader över" till triangelns sista vinkel, Y = 180^(∘)-164^(∘)=16^(∘).
Om vinkelsumman hade blivit lika med eller större än 180^(∘) skulle det inte gå att bilda en triangel där X=134^(∘) och Y=16^(∘). Då hade triangeln där X=46^(∘) och Y=104^(∘) varit den enda lösningen. Men i det här fallet finns det alltså två svar: X=46^(∘)&ochY=104^(∘) [0.7em] &eller [0.7em] X=134^(∘)&ochY=16^(∘).
Förklaring
Dela
Rapportera fel
Hur ska man tolka den andra vinkeln i sinussatsen?
När man använder sinussatsen för att bestämma en vinkel i en triangel måste man komma ihåg att det finns två vinklar mellan 0^(∘) och 180^(∘) som ger samma sinusvärde. Detta betyder att sinussatsen kan leda fram till två olika trianglar. Exempelvis kan man använda den för att bestämma vinkeln B i triangeln nedan.
Ställer man upp satsen och löser ut B med arcussinus får man en första vinkel, B_1. B_1=arcsin(sin(40^(∘))* 2/1,5) ≈ 59^(∘) Men eftersom en vinkel v och 180^(∘) - v har samma sinusvärde finns även en andra vinkel, B_2. B_2 ≈ 180^(∘)-59^(∘)=121^(∘). Detta kan tolkas som att det finns två olika sätt att rita en triangel med vinkeln 40^(∘) och sidlängderna 2 och 1.5. En med spetsig vinkel, B_1=59^(∘), och en med trubbig vinkel, B_2=121^(∘).
Det går alltid att skapa en triangel som innehåller den spetsiga vinkeln B_1, men det är inte alltid möjligt att bilda en med den trubbiga vinkeln B_2.
| Givna villkor | a < h | a=h | h < a < b | a≥ b |
|---|---|---|---|---|
| Antal möjliga trianglar | ingen | 1 | 2 | 1 |
Å andra sidan, om vinkeln A är trubbig, finns det bara två möjligheter.
Exempel
Dela
Rapportera fel
Bestäm vinkeln med sinussatsen
I triangeln ABC är A är motstående vinkel till sida a, att B är motstående vinkel till sida b, osv. Bestäm vinkel A givet att a=5, b=8 och B=99^(∘).
Avrunda A till närmaste heltal.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"A=","formTextAfter":"^(∘)","answer":{"text":["38"]}}
Ledtråd
Använd sinussatsen. Det finns två vinklar som uppfyller satsen, kan båda vinklarna bilda en triangel?
Lösning
Vi börjar med att sätta in de sidor och vinklar vi känner till i sinussatsen.
sin(A)/5=sin(99^(∘))/8
Genom att lösa ekvationen bestämmer vi nu vinkel A.
Ett värde på A är alltså 38^(∘). Vi undersöker nu om vinkeln 180^(∘)-A, dvs. 180^(∘)-38^(∘)=142^(∘), också är ett rimligt svar genom att kontrollera summan av denna vinkel och den givna vinkeln, 99^(∘):
142^(∘)+99^(∘)=241^(∘).
Summan överstiger triangelns vinkelsumma på 180^(∘). Då kan vinkel A inte vara 142^(∘), utan det enda rimliga svaret är 38^(∘).
sin(A)/5=sin(99^(∘))/8
MultEqn
VL * 5=HL* 5
sin(A)=5sin(99^(∘))/8
ArcSinEqn
arcsin(VL) = arcsin(HL)
A=arcsin(5sin(99^(∘))/8)
UseCalc
Slå in på räknare
A=38,11961...^(∘)
RoundInt
Avrunda till närmaste heltal
A≈38^(∘)
Övning
Dela
Rapportera fel
Practice Finding Angles Using the Law of Sines
In the following applet, x represents the measure of an angle of a triangle. Use the sine theorem to find the value of x. Round the answer to the nearest whole degree.
Sinussatsen
Övningar
Bestäm längden på sida x i triangeln. Avrunda till en decimal.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"x\u2248","formTextAfter":"le.","answer":{"text":["3.6"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"x\u2248","formTextAfter":"le.","answer":{"text":["4.4"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"x\u2248","formTextAfter":"le.","answer":{"text":["4.8"]}}
security
report
code
security
report
code
Enligt sinussatsen, a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C), är kvoten mellan sinusvärdet för en vinkel och dess motstående sida konstant i en triangel. Vi använder det för att ställa upp en ekvation och lösa ut sidan x.
Sidan x är alltså ca 3,6 le.
Vi använder sinussatsen även här och sätter in de kända vinklarna och den kända sidan i satsen.
Sidan x är ca 4,4 le.
Vi gör på samma sätt igen.
Sidan x är alltså ca 4,8 le.
security
report
code
Beräkna triangelns omkrets. Avrunda till 1 decimal.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"le.","answer":{"text":["11.6"]}}
security
report
code
security
report
code
För att beräkna triangelns omkrets behöver vi känna till alla dess sidor. Eftersom vi känner till vinkeln C, dess motstående sida och vinkeln B kan vi bestämma sidan AC med sinussatsen.
Vi behåller det exakta värdet på sidan för att minimera avrundningsfelet när vi sedan beräknar omkretsen. Innan vi kan beräkna sidan BC måste vi veta dess motstående vinkel, dvs. vinkel A och eftersom vi känner till de två övriga vinklarna i triangeln kan vi beräkna A: A=180^(∘)-99^(∘)-50^(∘)=31^(∘). Nu använder vi sinussatsen för att bestämma BC.
Nu kan vi bestämma omkretsen genom att lägga ihop alla sidor.
Omkretsen är cirka 11,6 le.
security
report
code
I triangeln ABC är sidorna AC och BC lika långa. Beräkna triangelns area. Avrunda till två gällande siffror.
Nationella provet VT05 MaD
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"Cirka","formTextAfter":"cm^2","answer":{"text":["7.0"]}}
security
report
code
security
report
code
Sidorna AC och BC är lika långa vilket betyder att basvinklarna A och B är lika stora, dvs. A=54^(∘). Eftersom triangelns vinkelsumma är 180^(∘) blir den sista vinkeln C=180^(∘)-54^(∘)-54^(∘)=72^(∘). Vi markerar vinklarna i triangeln.
Nu kan vi använda sinussatsen för att bestämma någon av sidorna AC eller BC.
Vi behåller sidans längd i exakt form för att minimera avrundningsfelet när vi beräknar arean med areasatsen.
Triangelns area är cirka 7,0 cm^2.
security
report
code
Dana har en pool längs med åkrarna kring sin trädgård. Om en vecka ska hon ha barnkalas och eftersom hon är orolig för att något av barnen ska ramla ner i poolen tänker hon bygga ett provisoriskt staket längs den kant som vetter mot gräsmattan, där barnen kommer att leka. Beräkna hur långt staketet måste vara, givet informationen i figuren. Längderna är angivna i meter. Avrunda till en decimal.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"meter","answer":{"text":["11.0"]}}
security
report
code
security
report
code
För att bestämma staketets längd, som vi kallar x, behöver vi ta reda på dess motstående vinkel, som vi kan kalla v. Då kan vi använda sinussatsen för att hitta x. Vinkeln v hittar vi med triangelns vinkelsumma: 27^(∘)+36^(∘)+v=180^(∘) ⇔ v=117^(∘) Nu kan vi bestämma x.
Vi kan välja vilken av de andra sidorna och motstående vinkel som helst när vi nu sätter in värden i sinussatsen. Här väljer vi att använda oss av vinkeln 27^(∘) samt dess motstående sida 5,6.
Danas staket måste alltså vara 11,0 meter långt.
security
report
code
I en triangel ABC gäller det att
sin(A)/a=sin(B)/b=sin(C)/c=0,25.
Man vet också att en av sidorna är 1 le. Kan denna sidas motstående vinkel vara 30^(∘)? Motivera!
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
security
report
code
security
report
code
Vi vet att kvoten mellan sinusvärdet för en vinkel och en sida i triangel ABC är lika med 0,25. För att sidan som är 1 le. ska kunna ha en motstående vinkel som är 30^(∘) måste alltså sin(30^(∘))/1 också vara lika med 0,25. Vi beräknar kvoten för att se om den är det.
Vi ser att kvoten blir 0,5 istället för 0,25, vilket innebär att motstående vinkeln till sidan 1 le. alltså inte kan vara 30^(∘).
security
report
code
Matematikläraren Halldór-Steingrímur har ritat två skalenliga trianglar på whiteboarden.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"sin(v)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{8\\sin(31)}{5}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"v\u2248","formTextAfter":null,"answer":{"text":["55"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi kan använda sinussatsen för att bestämma sin(v) eftersom motstående sidor till vinkeln v samt en annan vinkel och motstående sida i triangeln är kända.
Så sin(v) är lika med 8sin(31^(∘))5.
Nu ska vi bestämma vad v faktiskt är. Vi känner redan till sinusvärdet för de två vinklarna från första deluppgiften och kan använda arcsin för att hitta vinkeln v.
Vinkel v är alltså ca 55^(∘).
security
report
code
Sinussatsen
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll