Trigonometriska Ekvationer: Cosinussatsen och dess tillämpningar

Cosinussatsen anger ett samband mellan en godtycklig triangels sidor och en av triangelns vinklar.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos (A)$

Längderna $a,$ $b$ och $c$ är triangelns sidor och $A$ är den motstående vinkeln till sidan $a .$

Beroende på vad man vet om en triangel kan cosinussatsen användas för att bestämma en sida eller en vinkel. Känner man till två sidor och dess mellanliggande vinkel kan man beräkna triangelns tredje sida. Känner man till triangelns samtliga sidor kan man beräkna en eller flera av triangelns återstående vinklar.

Bevis

Bevis för cosinussatsen

För att bevisa cosinussatsen utgår man från en generell triangel $A B C .$ I triangeln ritar man ut en höjd, $h,$ vilket bildar två rätvinkliga trianglar. Man kan kalla deras baser $x$ och $y .$

Dessa sidor,

x

och

y,

kan man skriva om med hjälp av definitionen för cosinus.

cos (A) = \frac{x}{b} \Rightarrow x = b cos (A) cos (B) = \frac{y}{a} \Rightarrow y = a cos (B)

Man kan sedan ersätta

x

och

y

med dessa uttryck.

Genom att använda Pythagoras sats på båda de rätvinkliga trianglarna får man följande två ekvationer:

b^{2} a^{2} = h^{2} + (b cos (A))^{2} = h^{2} + (a cos (B))^{2} .

Eftersom

h^{2}

finns i båda likheterna går det att lösa ut det ur den ena ekvationen och sätta in i den andra.

{b^{2} = h^{2} + (b cos (A))^{2} a^{2} = h^{2} + (a cos (B))^{2} (I) (II)

SubEqn

$(I):$ $VL - (b cos (A))^{2} = HL - (b cos (A))^{2}$

{b^{2} - (b cos (A))^{2} = h^{2} a^{2} = h^{2} + (a cos (B))^{2}

RearrangeEqn

$(I):$ Omarrangera ekvation

{h^{2} = b^{2} - (b cos (A))^{2} a^{2} = h^{2} + (a cos (B))^{2}

Substitute

$(II):$ $h^{2} = b^{2} - (b c o s (A))^{2}$

{h^{2} = b^{2} - (b cos (A))^{2} a^{2} = b^{2} - (b c o s (A))^{2} + (a cos (B))^{2}

Nu fokuserar man helt på den andra ekvationen. Eftersom cosinussatsen endast innehåller vinkel

A

försöker man skriva om uttrycket

a cos (B)

så att det istället beror på den vinkeln. Då använder man att summan av sträckorna

b cos (A)

och

a cos (B)

är lika med

c .

b cos (A) + a cos (B) = c \Leftrightarrow a cos (B) = c - b cos (A)

Till sist ersätter man

a cos (B)

med detta nya uttryck och förenklar sambandet.

a^{2} = b^{2} - (b cos (A))^{2} + (a cos (B))^{2}

Substitute

$a cos (B) = c - b c o s (A)$

a^{2} = b^{2} - (b cos (A))^{2} + (c - b c o s (A))^{2}

ExpandNegPerfectSquare

Utveckla med andra kvadreringsregeln

a^{2} = b^{2} - (b cos (A))^{2} + c^{2} - 2 c b cos (A) + (b cos (A))^{2}

SimpTerms

Förenkla termer

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos (A)

Liknande resonemang kan föras för alla vinklar i triangeln.

Q.E.D.

Bestäm sidan med cosinussatsen

fullscreen

I en triangel $X Y Z$ känner man till att sidorna $X Y = 8.6$ och $Y Z = 5.6 .$ Dessutom vet man att den mellanliggande vinkeln $Y$ är $4 8^{\circ} .$ Bestäm triangelns tredje sida. Avrunda svaret till en decimal.

Visa Lösning

Vi känner till två sidor samt den mellanliggande vinkeln i triangeln $X Y Z .$ Det innebär att vi med hjälp av cosinussatsen kan bestämma den tredje sidan, som vi kan kalla $a,$ eftersom den är motstående sida till den kända vinkeln.

Vi låter den okända sidan stå i vänsterledet och sätter in triangelns kända värden i cosinussatsens högerled.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos (A)

SubstituteValues

Sätt in värden

a^{2} = 8 . 6^{2} + 5 . 6^{2} - 2 \cdot 8.6 \cdot 5.6 cos (4 8^{\circ})

CalcPowProd

Beräkna potens & produkt

a^{2} = 73.96 + 31.36 - 96.32 cos (4 8^{\circ})

AddTerms

Addera termer

a^{2} = 105.32 - 96.32 cos (4 8^{\circ})

SqrtEqn

$VL = HL$

a = \pm 105.32 - 96.32 cos (4 8^{\circ})

$a > 0$

a = 105.32 - 96.32 cos (4 8^{\circ})

UseCalc

Slå in på räknare

a = 6.39291 \dots

RoundDec

Avrunda till $1$ decimal(er)

a \approx 6.4

Triangelns tredje sida,

X Z,

är alltså ca

6.4

le.

Bestäm vinkeln med cosinussatsen

fullscreen

Bestäm vinkel $v .$ Avrunda till hela grader.

Visa Lösning

När vi använder cosinussatsen måste vinkeln som sätts in, här

v,

vara motstående sidan i vänsterledet, vilket i detta fall är sidan med längden

4.5 .

Vi sätter in våra värden i cosinussatsen och löser ut

v

med hjälp av arccos.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos (A)

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

4 . 5^{2} = 5 . 2^{2} + 4^{2} - 2 \cdot 5.2 \cdot 4 cos (v)

CalcPowProd

Beräkna potens & produkt

20.25 = 27.04 + 16 - 41.6 cos (v)

SimpTerms

Förenkla termer

20.25 = 43.04 - 41.6 cos (v)

AddEqn

$VL + 41.6 cos (v) = HL + 41.6 cos (v)$

20.25 + 41.6 cos (v) = 43.04

SubEqn

$VL - 20.25 = HL - 20.25$

41.6 cos (v) = 22.79

DivEqn

$VL / 41.6 = HL / 41.6$

cos (v) = \frac{2 2 . 7 9}{4 1 . 6}

ArcCosEqn

$arccos (VL) = arccos (HL)$

v = arccos (\frac{2 2 . 7 9}{4 1 . 6})

UseCalc

Slå in på räknare

v = 56.78128 \dots^{\circ}

RoundInt

Avrunda till närmaste heltal

v \approx 5 7^{\circ}

Vinkel

v

är alltså ca

5 7^{\circ} .

{{ article.displayTitle }}

Bevis för cosinussatsen

Exempel

Bestäm sidan med cosinussatsen

Exempel

Bestäm vinkeln med cosinussatsen

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}