3. Globala extremvärden
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 4
3.
Globala extremvärden
Denna lektion förklarar konceptet med globala extremvärden i matematik. Extremvärden är de punkter där en funktion når sitt största (maximum) eller minsta (minimum) värde. Dessa värden kan hittas genom att studera funktionens derivata. När derivatan är noll, har vi en potentiell extrempunkt. Genom att jämföra dessa punkter och funktionens värden vid dess ändpunkter kan vi bestämma de globala extremvärdena. Detta är viktigt inom många områden, inklusive optimering.
Inställningar & verktyg för lektion
| | 6 sidor teori |
| | 14 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Globala extremvärden
Sida av 6
För att bestämma en funktions globala extremvärden, dvs. funktionens största och minsta värden, måste man känna till dess extrempunkter. Vissa av dem kan hittas genom att derivatan sätts lika med 0, men om funktionen är definierad på ett intervall måste man även ta hänsyn till dess ingående ändpunkter. Dessa är också extrempunkter men eftersom derivatan inte är 0 där undersöks de separat.
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Globala extremvärden
- Extremvärde i ändpunkt
- Bestämma en funktions största och minsta värde på ett slutet intervall
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Funktioner på intervall
Funktioner är ibland definierade på intervall, dvs. endast för vissa x-värden. Det kan t.ex. bero på att
- funktionens definitionsmängd är ett intervall eller
- att det finns praktiska begränsningar som gör det orimligt att använda vissa x-värden.
Det sistnämnda är exempelvis fallet om man låter funktionen A=π r^2 beskriva arean A m^2 av en matta med radien r meter på en rund scen som har radien 10 m. De möjliga värdena på mattans radie är då 0 < r ≤ 10, eftersom radien måste ha en positiv längd och inte heller får överstiga scenens.
Begrepp
Extremvärde i ändpunktFör en funktion som är definierad på ett intervall kommer de ändpunkter som ingår i intervallet att vara lokala extrempunkter. Exempelvis är den högra ändpunkten nedan ett lokalt maximum eftersom närliggande punkter på grafen ligger under punkten.
På motsvarande sätt är den vänstra ändpunkten ett lokalt minimum. I det här fallet är den även ett globalt minimum eftersom punkten är lägre än alla andra punkter på grafen.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestäm funktionens ändpunkter
Bestäm ändpunkternas koordinater för tredjegradsfunktionen f(x)=8x - x^3 på intervallet - 1≤ x≤ 3.
{"type":"text","form":{"type":"extrema","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"valueTypes":["Left point","Right point"],"point":true},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":[{"type":0,"text":["-1","-7"]},{"type":1,"text":["3","-3"]}]}}
Ledtråd
Lösning
Funktionens ändpunkter avgörs av de yttre gränserna på intervallet där den är definierad. Eftersom intervallet är - 1≤ x≤ 3 sätter vi in x-värdena -1 respektive 3 i funktionen och beräknar motsvarande funktionsvärden.
f(x)=8x - x^3
Substitute
x= -1
f( -1)=8( -1) - ( -1)^3
CalcPowProd
Beräkna potens & produkt
f(-1)=-8 - (-1)
SubNeg
a-(- b)=a+b
f(-1)=-8 + 1
AddTerms
Addera termerna
f(-1)=-7
Den vänstra ändpunkten är alltså (-1,-7). Nu sätter vi även in x=3 i funktionen.
f(x)=8x - x^3
Substitute
x= 3
f( 3)=8* 3- 3^3
CalcPowProd
Beräkna potens & produkt
f(3)=24-27
SubTerm
Subtrahera term
f(3)=-3
De två ändpunkterna är (-1,-7) och (3,-3).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Metod
Bestämma en funktions största och minsta värde på ett slutet intervall
Med största och minsta värde för en funktion menar man y-värdena i funktionens globala extrempunkter (om det finns några), vilka även kallas för funktionens globala extremvärden. För en funktion med sammanhängande graf på ett slutet intervall antas största och minsta värde antingen i
- ändpunkter eller
- stationära punkter på intervallet,
så länge de inte är terrasspunkter. Genom att välja ut det största och minsta y-värdet från dessa punkter får man fram funktionens globala extremvärden. Man kan t.ex. göra detta för funktionen f(x)=2x^3+3x^2-12x på intervallet -3 ≤ x ≤ 3.
1
Bestäm ändpunkternas y-värden
expand_more Funktionen har sina ändpunkter i början och slutet av intervallet, i detta fall där x=-3 och x=3. Man bestämmer ändpunkternas y-värden genom att sätta in dessa x-värden i funktionsuttrycket.
f(x)=2x^3+3x^2-12x
Substitute
x= - 3
f( -3)=2( -3)^3+3( -3)^2-12( -3)
CalcPow
Beräkna potens
f(-3)=2(-27)+3* 9-12(-3)
Multiply
Multiplicera faktorer
f(-3)=-54+27+36
AddTerms
Addera termerna
f(-3)=9
Den vänstra ändpunkten har y-värdet 9.
f(x)=2x^3+3x^2-12x
Substitute
x= 3
f( 3)=2* 3^3+3* 3^2-12* 3
CalcPow
Beräkna potens
f(3)=2* 27 + 3* 9 -12 * 3
Multiply
Multiplicera faktorer
f(3)=54 + 27 - 36
AddSubTerms
Addera och subtrahera termerna
f(3)=45
Den högra ändpunkten har y-värdet 45.
2
Bestäm stationära punkters y-värden på intervallet
expand_more Funktionens stationära punkter kan man hitta med derivata och teckentabell eller med andraderivata. Om det inte efterfrågas behöver man dock inte bestämma deras karaktär och utesluta eventuella terrasspunkter, eftersom en terrasspunkt ändå aldrig antar något av funktionens extremvärden.
- Derivera funktionen: I det här fallet är derivatan f'(x)=6x^2+6x-12.
- Bestäm derivatans nollställen: Här får man ekvationen 6x^2+6x-12=0, vilken har lösningarna x=-2 och x=1.
- Kontrollera att de ligger på intervallet: Båda de stationära punkterna ligger på intervallet -3 ≤ x ≤ 3.
- Bestäm deras y-värden: Sätter man in x=-2 och x=1 i funktionsuttrycket f(x)=2x^3+3x^2-12x får man
f(-2)=20 och f(1)=-7, dvs. y-värdena är 20 och -7.
3
Jämför y-värden
expand_more Nu har man undersökt alla relevanta punkter. I det här fallet fick man
- ändpunkterna (-3,9) och (3,45) samt
- de stationära punkterna (-2,20) och (1,-7).
Jämför man punkternas funktionsvärden hittar man de globala extremvärdena. Minsta värde:& -7 Största värde:& 45 Om man har en grafritare är det alltid bra att kontrollera att det verkar rimligt genom att rita upp funktionen.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Illustration
Att hitta globala extremvärden
Översiktligt kan arbetsgången för att hitta en funktions största och minsta värde, dvs. funktionens globala extremvärden, beskrivas av följande flödesschema.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Hitta de globala extrempunkterna
Bestäm koordinaterna för de globala extrempunkterna till f(x)=x^4/4+x^3+9 på intervallet -5 ≤ x ≤ 2.
{"type":"text","form":{"type":"extrema","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false,"valueTypes":["Min","Max"],"point":true},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":[{"type":1,"text":["-5","40,25"]},{"type":0,"text":["-3","2,25"]}]}}
Ledtråd
Bestäm funktionens derivata och lös sedan f'(x)=0.
Lösning
Här är vi intresserade av att bestämma koordinaterna för funktionens globala extrempunkter på intervallet, inte bara av funktionens största och minsta värde. Det innebär att vi ska svara med både x- och y-värdena.
1. Bestäm ändpunkternas koordinater
Ändpunkterna har x-koordinaterna 2 och -5. Vi sätter in dem i funktionsuttrycket f(x)= x^44+x^3+9, en i taget.
f(x)=x^4/4+x^3+9
Substitute
x= 2
f( 2)=2^4/4+ 2^3+9
CalcPow
Beräkna potens
f(2)=16/4+8+9
CalcQuot
Beräkna kvot
f(2)=4+8+9
AddTerms
Addera termerna
f(2)=21
Den högra ändpunkten har alltså koordinaterna (2,21). Nu sätter vi in x=-5.
De två ändpunkternas koordinater är (2,21) och (-5;40,25).
2. Bestäm extrempunkter med derivata och teckentabell
Vi börjar med att derivera funktionen.
f(x)=x^4/4+x^3+9
Derive
Derivera funktion
f'(x)=D(x^4/4)+D(x^3)+D(9)
DeriveMonomCoDiv
D(x^n/a) = nx^(n-1)/a
f'(x)=4x^3/4+D(x^3)+D(9)
DeriveMonom
D(x^n) = nx^(n-1)
f'(x)=4x^3/4+3x^2+D(9)
DeriveConst
D(a) = 0
f'(x)=4x^3/4+3x^2
SimpQuot
Förenkla kvot
f'(x)=x^3+3x^2
Derivatan är alltså f'(x)=x^3+3x^2. Nu sätter vi den till 0 för att hitta derivatans nollställen. Vi får då en ekvation som vi löser med nollproduktmetoden.
f'(x)=x^3+3x^2
Substitute
f'(x)= 0
0=x^3+3x^2
RearrangeEqn
Omarrangera ekvation
x^3+3x^2=0
SplitIntoFactors
Dela upp i faktorer
x^2* x+x^2* 3=0
FactorOut
Bryt ut x^2
x^2(x+3)=0
ZeroProdProp
Använd nollproduktmetoden
lcx^2=0 & (I) x+3=0 & (II)
SqrtEqn
(I): sqrt(VL)=sqrt(HL)
lx=± sqrt(0) x+3=0
SimpRadicalTerm
(I): Förenkla rot & termer
lx=0 x+3=0
SubEqn
(II): VL-3=HL-3
lx_1=0 x_2=-3
Vi har alltså stationära punkter i x=-3 och x=0, vilka båda ligger på det givna intervallet -5 ≤ x ≤ 2. Vi beräknar y-värdena för x=0 och x=-3. f( -3)&=( -3)^4/4+( -3)^3+9=2,25 [0.75em] f( 0)&=0^4/4+ 0^3+9=9 Funktionen f(x) har alltså stationära punkter i (-3; 2,25) och (0, 9).
3. Jämför koordinaternas y-värden
Nu har vi undersökt alla lokala extrempunkter och hittat
- ändpunkterna (2,21) och (-5;40,25) samt
- de stationära punkterna (-3; 2,25) och (0, 9).
Den globala minimipunkten för funktionen på det givna intervallet är (-3; 2,25) eftersom 2,25 är det minsta y-värdet. Den globala maximipunkten är (-5;40,25). Vi kan kontrollera detta genom att rita upp funktionen.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Globala extremvärden
Uppgifter
{"type":"multichoice","form":{"alts":["A","B","C","D","E","F","G","H"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[0,1,2,3,4,6,7]}
{"type":"multichoice","form":{"alts":["A","B","C","D","E","F","G","H"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[1,7]}
security
report
code
security
report
code
Lokala extrempunkter är punkter på grafen som är antingen maximi- eller minimipunkter. Detta gäller för alla punkter utom F, som är en terrasspunkt.
Globala extrempunkter är maximi- eller minimipunkter som markerar antingen det största eller minsta värdet för hela intervallet. Eftersom B ligger högre än alla andra punkter och H ligger lägre än alla andra är dessa två globala extrempunkter.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Ange koordinaterna för följande.
{"type":"text","form":{"type":"extrema","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"valueTypes":["V\u00e4nstra \u00e4ndpunkten","H\u00f6gra \u00e4ndpunkten"],"point":true},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":[{"type":0,"text":["-4","3"]},{"type":1,"text":["4","-2"]}]}}
{"type":"text","form":{"type":"extrema","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"valueTypes":["Globalt maximum","Globalt minimum"],"point":true},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":[{"type":0,"text":["3","4"]},{"type":1,"text":["-2,5","-2"]},{"type":1,"text":["4","-2"]}]}}
security
report
code
security
report
code
Ändpunkterna sitter i början och slutet av grafen.
Genom att läsa av punkternas x- och y-värden kommer vi fram till att ändpunkterna har koordinaterna (-4,3) och (4,-2).
Funktionens globala maximum är den punkt som ligger högre än alla andra punkter på grafen. I det här fallet är det (3,4).
På motsvarande sätt är funktionens globala minimum den punkt som ligger lägre än alla andra punkter på grafen. Den här funktionen antar samma minsta värden i två olika punkter, så då räknas båda som globala minima.
Funktionens globala minima är därför (-2,5;-2) och (4,-2).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Bestäm, med hjälp av räknare, största och minsta värde för funktionen y=0,01 x^5 - 0,58 x^3 + 4,3 x +1,5 på intervallet -8 ≤ x ≤ 7.
{"type":"text","form":{"type":"extrema","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"valueTypes":["St\u00f6rsta v\u00e4rde","Minsta v\u00e4rde"],"point":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":[{"type":0,"text":["24"]},{"type":1,"text":["-64"]}]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att trycka på Y= och skriva in funktionsuttrycket, sedan trycker vi på GRAPH för att rita upp grafen. Man kan behöva testa sig fram tills man hittar bra inställningar för koordinatsystemet. Det kan vara bra att ställa in x-axeln så att man ser lite utanför det givna intervallet, t.ex. från -10 till 10. Man kan t.ex. välja att ställa in y-axeln från -80 till 50.
Nu ska vi hitta det största och minsta värdet. Vi kan börja med att bestämma y-värdena för ändpunkterna. För att hitta funktionens y-värden för dessa xvärden, x=-8 och x=7, kan man trycka på TRACE och sedan t.ex. -8 följt av ENTER.
I den vänstra ändpunkten är y-värdet alltså -63,62. Vi gör samma sak för den högra ändpunkten.
Än så länge vet vi alltså att ändpunkternas y-värden är y=-63,62 och y=0,73. Vi skissar upp kurvan och skriver in det vi vet. Vi ser då att funktionens minsta värde måste antas i den vänstra ändpunkten, eftersom den ligger lägre än alla andra punkter på grafen på intervallet. Det största värdet måste antas i den första maximipunkten eftersom vi ser att den ligger högre än alla andra punkter.
Slutligen bestämmer vi alltså maximipunktens koordinater med räknarens verktyg för detta.
Vi skriver in denna information i skissen.
Funktionens minsta värde är alltså ca -64 och det största ca 24.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Derivatan f'(x) till funktionen f(x)=3x^4-28x^3-60x^2+192x+13 har nollställena x=-2, x=1 och x=8. Bestäm funktionens största och minsta värde på intervallet -3≤ x≤ 2.
{"type":"text","form":{"type":"extrema","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"valueTypes":["St\u00f6rsta v\u00e4rde","Minsta v\u00e4rde"],"point":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":[{"type":1,"text":["-339"]},{"type":0,"text":["120"]}]}}
security
report
code
security
report
code
En funktion på ett slutet intervall kommer att ha sitt största och minsta värde i en av ändpunkterna eller i en stationär punkt mellan dem. Den ena stationära punkten (x=8) ligger utanför intervallet så den behöver vi inte bry oss om. Istället beräknar vi funktionsvärdena i ändpunkterna, x=-3 och x=2, och de andra stationära punkterna.
Nu sätter vi in x-värdet för den andra ändpunkten.
De två ändpunkterna är alltså (-3,-104) och (2,-19). Nu beräknar vi y-värdena för de stationära punkterna på intervallet, dvs. för de i x=-2 och x=1.
Den ena stationära punkten är alltså (-2,-339). Vi beräknar den andra genom att sätta in x=1.
Till sist jämför vi alla extrempunkter. Ändpunkter:&(-4,-104) och (2,-19) Stationära punkter:&(-2,-339) och (1,120) Nu ser vi att det största värdet är 120 och det minsta är -339.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"extrema","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"valueTypes":["St\u00f6rsta v\u00e4rde","Minsta v\u00e4rde"],"point":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":[{"type":1,"text":["2\\sqrt{3}"]},{"type":0,"text":["\\dfrac{28}{3}"]}]}}
{"type":"text","form":{"type":"extrema","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"valueTypes":["St\u00f6rsta v\u00e4rde","Minsta v\u00e4rde"],"point":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":[{"type":1,"text":["-3"]},{"type":0,"text":["\\dfrac{16}{3}"]}]}}
security
report
code
security
report
code
Funktionens största och minsta värde kommer att finnas i någon av extrempunkterna, dvs. i intervallets ändpunkter eller eventuella stationära punkter. Vi börjar med att bestämma ändpunkternas y-värden.
Den ena ändpunkten är alltså ( 13,4). Nu beräknar vi den andra.
Den andra ändpunkten är (3, 283). Eftersom extrempunkter finns även i stationära punkter dvs. där derivatan är 0, så deriverar vi funktionen och löser f'(x)=0. Innan vi deriverar skriver vi om bråket som en potens med exponenten -1, eftersom det underlättar deriveringen.
Det finns alltså två stationära punkter, en i x=- 1sqrt(3) och en i x= 1sqrt(3). Vi ser direkt att det negativa x-värdet inte ingår i det givna intervallet 1/3≤ x≤ 3. Vi behöver därför inte undersöka den. Ingår roten x= 1sqrt(3)? Slår vi in det på räknaren ser vi att detta x-värde motsvarar ca 0,577, så ja, roten ingår i intervallet. Funktionen har alltså en stationär punkt i x= 1sqrt(3). Vi beräknar dess y-värde.
Den stationära punkten har alltså koordinaterna ( 1sqrt(3),2sqrt(3)). Nu har vi bestämt alla extrempunkter och för att hitta det största och minsta värdet jämför vi y-värdena. Eftersom intervallet är slutet behöver vi inte bestämma karaktären på de stationära punkterna, utan kan vara säkra på att vi hittar största och minsta värdet bara genom att jämföra extrempunkternas y-värden.
| Punkt | Exakt y-värde | Decimalform |
|---|---|---|
| Ändpunkt | 4 | 4 |
| Stationär punkt | 2sqrt(3) | ~ 3,46 |
| Ändpunkt | 28/3 | ~ 9,33 |
Vi ser att det största värdet är 283 och det minsta är 2sqrt(3). Nu är vi klara, men om man har tillgång till en grafräknare kan man rita upp grafen till funktionen för att se att ens slutsats verkar rimlig.
Vi gör på samma sätt och börjar med att bestämma koordinaterna för ändpunkterna.
Nu beräknar vi den andra.
Vi bestämmer nu i vilka x-värden det finns stationära punkter genom att lösa g'(x)=0. Först skriver vi om sqrt(x) som x^(1/2) och deriverar funktionen.
Nu tar vi reda på var derivatan är 0. För att förstå hur vi ska lösa g'(x)=0 skriver vi om x^(-1/2) som 1sqrt(x).
Derivatans nollställe är alltså x= 169. Detta x motsvarar ungefär 1,8, så punkten ingår i intervallet 1≤ x≤9. Nu beräknar vi y-koordinaten för detta x-värde.
Vi kan nu jämföra punkternas y-värden. På samma sätt som tidigare behöver vi inte bestämma karaktären på de stationära punkterna eftersom intervallet är slutet.
| Punkt | Exakt y-värde | Decimalform |
|---|---|---|
| Ändpunkt | -3 | -3 |
| Ändpunkt | 5 | 5 |
| Stationär punkt | 16/3 | ~ 5,33 |
Vi ser nu att det minsta värdet är -3 och att det största är 163.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Bestäm de globala extremvärdena för funktionen p(x)=x^3-3x+6 på intervallet -2≤ x≤ 3.
{"type":"text","form":{"type":"extrema","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"valueTypes":["St\u00f6rst","Minst"],"point":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":[{"type":0,"text":["24"]},{"type":1,"text":["4"]}]}}
security
report
code
security
report
code
Att hitta de globala extremvärdena till funktionen innebär att man hittar funktionens största och minsta värde, dvs. jämför y-värdena i ändpunkterna och de stationära punkter som ingår i intervallet. Vi börjar med att bestämma y-värdena i ändpunkterna genom att sätta in deras x-värden i p(x). Vi startar med x=-2.
Nu beräknar vi den andra.
Största och minsta värdet kan också finnas i en stationär punkt, dvs. där derivatan är 0, så vi deriverar funktionen.
Nu sätter vi derivatan lika med 0 och löser ekvationen.
Funktionen har alltså stationära punkter i x=-1 och x=1. Vi beräknar motsvarande y-värden.
Den ena stationära punkten är (-1,8). Nu sätter vi in x=1.
Den andra stationära punkten är (1,4). Nu jämför vi y-värdena i de punkter vi tagit fram. Ändpunkter:& (-2,4) och (3,24) Stationära punkter:& (-1,8) och (1,4) Vi kan läsa av att det minsta värdet är 4 och att det största är 24.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Klara ska hjälpa sitt barnbarn Molly med matteläxan över telefon. Molly försöker beskriva en graf som finns i hennes mattebok:
Jo, du förstår, grafen börjar i -6 och slutar i 4. Största värdet som funktionen antar är 10 och det minsta är -4 och inget av dem ligger i någon ändpunkt.
Klara skissar en graf som stämmer med det som Molly beskriver. Hur skulle hennes skiss kunna se ut?
security
report
code
security
report
code
Vi försöker tolka Klaras beskrivning. Att grafen börjar i -6 och slutar i 4
borde innebära att den är definierad på intervallet -6 ≤ x ≤ 4. Vi vet också att grafen ska röra sig mellan y-värdena -4 och 10. Vi ritar ett koordinatsystem som passar för ändamålet och placerar in ändpunkterna någonstans längs x=-6 och x=4.
Då ritar vi in en kurva mellan punkterna. Grafen måste anta värdena -4 och 10 vid minst ett tillfälle. Från beskrivningen finns det oändligt många giltiga grafer som Klara skulle kunna skissa, men den skulle t.ex. kunna se ut så här.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll