body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Mitt konto

Kurs 3c Visa detaljer

4. Absolutbelopp

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Övningar

Tester

eKurser /

Matematik 3c /

Kapitel 1

Absolutbelopp

Utforska den fascinerande världen av absolutbelopp inom matematik. Denna lektion förklarar vad absolutbeloppet av ett tal är och hur det fungerar. Absolutbeloppet av ett tal är dess positiva värde. För ett positivt tal påverkar absolutbeloppet ingenting, men för ett negativt tal byts tecknet och talet blir positivt. Lektionenen förklarar vidare hur absolutbeloppet av en differens anger avståndet mellan två tal. Detta är ett ovärderligt verktyg för alla som är intresserade av att förstå och tillämpa konceptet absolutbelopp inom matematik.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	7 sidor teori
	18 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Absolutbelopp

Sida av 7

Absolutbeloppet av ett tal

a

är det positiva värdet av

a,

och skrivs

∣ a ∣ .

a

är positivt påverkar absolutbeloppet ingenting, men för ett negativt

a

byts tecknet och talet blir positivt. För

3

och

- 3

gäller därför

∣ 3 ∣ = ∣ - 3 ∣ = 3 .

Den formella definitionen av absolutbeloppet av

a

är uppdelad i två fall – det första då

a

är positivt eller

0

och det andra då

a

är negativt.

∣ a ∣ = {a, a \geq 0 - a, a < 0

Minustecknet i det andra fallet kan tolkas som ett teckenbyte. Gör man det inser man att:

absolutbeloppet av ett positivt tal eller $0$ är samma tal.
absolutbeloppet av ett negativt tal är samma tal men med omvänt tecken, dvs. positivt.

Använd definitionen av absolutbelopp

fullscreen

Använd definitionen

∣ a ∣ = {a, a \geq 0 - a, a < 0

för att beräkna

∣ 5.5 ∣

och

∣ - 9 ∣ .

Visa Lösning

Vi börjar med

∣ 5.5 ∣ .

Eftersom

5.5

är ett positivt tal ska vi använda det första fallet:

∣ a ∣ = a .

Det betyder att asbolutbeloppet inte ändrar talets värde. Vi får

∣ 5.5 ∣ = 5.5 .

Nu tar vi

∣ - 9 ∣ .

Eftersom

- 9

är ett negativt tal gäller det andra fallet,

∣ a ∣ = - a,

så vi sätter ett minustecken framför

- 9

för att beräkna absolutbeloppet. Då får vi

∣ - 9 ∣ = - (- 9) = 9 .

Beräkna absolutbeloppet

fullscreen

Bestäm $∣ 3 x - 7 ∣$ när $x = 2 .$

Visa Lösning

För att bestämma uttryckets värde sätter vi in $x = 2$ och beräknar.

∣ 3 x - 7 ∣

Substitute

$x = 2$

∣ 3 \cdot 2 - 7 ∣

Multiply

Multiplicera faktorer

∣ 6 - 7 ∣

SubTerm

Subtrahera term

∣ - 1 ∣

AbsNeg

$∣ - 1 ∣ = 1$

1

Uttryckets värde är alltså $1$ när $x = 2 .$

Regel

Alternativ definition av absolutbelopp

Ibland definieras absolutbeloppet av ett tal $a$ som "kvadratroten ur $a$ i kvadrat."

$∣ a ∣ = a^{2}$

Man kan förstå denna definition genom att sätta in det negativa talet

- 4

(- 4)^{2} = 16 = 4 .

Minustecknet "försvinner" eftersom kvadraten av ett tal alltid är positivt. Sedan återfås det positiva talet när man drar kvadratroten ur. Motsvarande händer om

a

är positivt, fast då finns det inte något minustecken som försvinner. Uttrycket

a^{2}

ger alltså alltid samma resultat som att ta absolutbeloppet av

a .

Regel

Absolutbelopp som avstånd

Man kan tolka absolutbeloppet av ett tal som avståndet mellan $0$ och det talet på en tallinje. Till exempel är $∣ 3 ∣$ avståndet mellan $0$ och $3,$ och $∣ - 3 ∣$ är avståndet mellan $0$ och $- 3 .$

Tallinje som visar absolutbeloppen av -3 och 3

Absolutbeloppet av en differens, som $∣ a - b ∣,$ anger avståndet mellan talen $a$ och $b .$

Tallinje som visar absolutbeloppet av a-b

Exempelvis är $∣ 5 - 7 ∣$ avståndet mellan $5$ och $7 .$ Eftersom även $∣ 7 - 5 ∣$ är avståndet mellan samma tal gäller det att

∣ a - b ∣ = ∣ b - a ∣ .

Begrepp

Grafen till en absolutbeloppsfunktion

Eftersom ett absolutbelopp aldrig är negativt kommer grafer till funktioner på formen $y = ∣ f (x) ∣$ alltid ligga ovanför $x$ -axeln. Exempelvis består grafen till $y = ∣ x ∣$ av två delar som båda ligger ovanför $x$ -axeln och som möts i origo.

∣ x ∣

∣ 0.5 - 0.5 x ∣

∣ ∣ ∣ 0.5 x^{2} - 5 ∣ ∣ ∣

För att rita grafen till

y = ∣ f (x) ∣

speglar man alltså de delar av grafen som ligger under

x

-axeln och ritar dem ovanför axeln istället. Som en följd av detta kan absolutbeloppsfunktioner ibland få ett eller flera hörn på

x

-axeln.

Digitala verktyg

Absolutbelopp på räknare

För att beräkna absolutbeloppet av ett tal eller ett uttryck på räknaren använder man kommandot abs. Det hittar man genom att trycka på MATH och sedan på högerknappen för att visa menyn NUM.

Genom att välja det första alternativet, abs, sätts det in tillsammans med en startparentes. Det man skriver inom denna parentes är det som absolutbeloppet beräknas för.

Uträkning på TI-82-räknare med absolutbelopp

Man kan också använda kommandot som en del av ett uttryck eller i en funktion.

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Absolutbelopp

Övningar

Beräkna absolutbeloppet.

∣ - 7 ∣

∣ 19 ∣

∣ - 1.25 ∣

När man tar absolutbeloppet av ett tal blir resultatet alltid positivt. Är talet som står innanför absolutbeloppet positivt förändras det inte och om det är negativt byts tecknet så att talet blir positivt. - 7 är negativt så |- 7| = 7.

På samma sätt som tidigare undersöker vi vad som står innanför absolutbeloppet. 19 är positivt så absolutbeloppet kommer inte att ändra någonting. Vi får därför |19| = 19.

Återigen undersöker vi tecknet på talet innanför absolutbeloppet och den här gången är det negativt, så vi byter tecken och får |- 1.25| = 1.25.

Beräkna följande absolutbelopp.

∣ 9 - 4 ∣

∣ - 8 \cdot 3 + 13 \cdot 2 ∣

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 4 - \frac{1 0}{2} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

Vi beräknar uttrycket genom att först förenkla det som står innanför absolutbeloppet så långt det går. När vi sedan beräknar själva absolutbeloppet kommer vi ihåg att byta tecken om det förenklade uttrycket är negativt och att inte göra något om det är positivt.

Vi gör på samma sätt som tidigare och förenklar uttrycket så långt som möjligt innan vi beräknar absolutbeloppet.

Vi gör samma sak igen.

Beräkna följande absolutbelopp.

∣ 10 - 19 ∣

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{1 5}{- 3} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

∣ ∣ ∣ (- 10) (- 10) ∣ ∣ ∣

Vi börjar med att förenkla uttrycket innanför absolutbeloppet så långt det går. När vi sedan beräknar absolutbeloppet kommer vi ihåg att byta tecken om det förenklade uttrycket är negativt.

Vi förkortar bråket och beräknar sedan absolutbeloppet. Kom håg att om man delar ett positivt tal med ett negativt tal så blir kvoten negativ.

Vi multiplicerar faktorerna och beräknar sedan absolutbeloppet. Kom håg att om man multiplicerar två negativa tal så blir produkten positiv.

På tallinjen är två tal $x_{1}$ och $x_{2}$ markerade.

Tallinje med två tal markerade. Nationella provet Ma3c HT2012.

Bestäm $∣ x_{1} - x_{2} ∣ .$

Nationella provet HT12 3c

Absolutbeloppet av en differens, som |x_1-x_2|, kan tolkas som avståndet mellan talen x_1 och x_2 på tallinjen. Här representerar x_1 och x_2 talen -4 respektive 1 så vi kan bestämma |-4-1| genom att räkna hur många "steg" det är mellan -4 och 1 på tallinjen.

Eftersom det är 5 steg mellan -4 och 1 kan vi konstatera att |x_1-x_2|=|-4-1|=5.

Beräkna värdet för uttrycket.

∣ - 8 ∣ + ∣ 2 ∣

∣ 5 ∣ + ∣ - 29 ∣

∣ - 4 ∣ - ∣ - 6 ∣

Vi börjar med att beräkna absolutbeloppen. |- 8| innehåller ett negativt tal, så det byter tecken, medan |2| har ett positivt tal, så det förändras inte.

Vi gör på samma sätt igen och börjar med att beräkna absolutbeloppen.

Vi beräknar uttrycket på samma sätt som tidigare genom att bestämma absolutbeloppen först och sedan förenkla termerna.

Beräkna följande uttryck.

∣ - 1 ∣ + ∣ - 4 ∣ + ∣ - 11 ∣

∣ 99 ∣ - ∣ - 17 ∣ + ∣ - 180 ∣

- ∣ 2 ∣ + ∣ - 11.5 ∣ - ∣ 7.5 ∣

Vi börjar med att bestämma absolutbeloppen och lägger sedan ihop de värden vi får.

Vi börjar igen med att bestämma absolutbeloppen och förenklar sedan termerna.

Vi gör på samma sätt igen.

Beräkna absolutbeloppets värde när $x = 2 .$

∣ x + 8 ∣

∣ - 5 x + 1 ∣

∣ ∣ ∣ ∣ (- x)^{3} ∣ ∣ ∣ ∣

Vi sätter först in x=2 i uttrycket innanför absolutbeloppet och förenklar det så långt det går. När vi sedan beräknar absolutbeloppet byter vi tecken om det förenklade uttrycket är negativt.

Återigen sätter vi in x=2 i uttrycket och förenklar innan vi beräknar absolutbeloppet.

Eftersom x har ett minustecken framför sig får vi ett negativt tal när vi sätter in x=2. Ett negativt tal upphöjt till 3 är fortfarande negativt efter att potensen beräknats eftersom det negativa talet har multiplicerats med sig självt ett udda antal gånger.

Beräkna absolutbeloppet $∣ ∣ ∣ 3 a^{2} + 3 a - 5 ∣ ∣ ∣$ för värdet.

a = 5

a = - 9

a = - 1

Vi sätter in a=5 i uttrycket och förenklar. Vi avslutar med att beräkna absolutbeloppet, och vi kommer då ihåg att byta tecken om argumentet är negativt.

Vi sätter in a=-9 i uttrycket och förenklar på samma sätt som tidigare.

Vi sätter in a=- 1 i uttrycket och förenklar.

Absolutbelopp

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.