1. Primitiva funktioner
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 5
1.
Primitiva funktioner
Primitiva funktioner är ett centralt begrepp inom matematik och är nära kopplade till derivata. En primitiv funktion till en given funktion f(x) är en funktion vars derivata är lika med f(x). Det finns ofta oändligt många primitiva funktioner till en given funktion, och de skiljer sig endast åt med en konstant. Primitiva funktioner kallas också för antiderivator eller obestämda integraler. De används för att förstå hur funktioner beter sig och är viktiga inom områden som analys och fysik. Exempelvis kan F(x)=x vara en primitiv funktion till f(x)=1, och det finns många sätt att representera primitiva funktioner.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 5 sidor teori |
| | 14 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Primitiva funktioner
Sida av 5
Om derivatan av en funktion F(x) är lika med f(x), säger man att F(x) hör ihop med f(x) på ett sätt som gör att derivering leder tillbaka till f(x). Till exempel blir derivatan av x^2 just 2x. För att hitta sådana funktioner kan man använda deriveringsreglerna baklänges
.
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Primitiv funktion
Förkunskaper
Koncept
Primitiv funktion
F(x) kallas en primitiv funktion till f(x) om derivatan F'(x) är lika med f(x).
Exempelvis är F(x)=x^2 en primitiv funktion till f(x)=2x eftersom derivatan av x^2 är just 2x. Primitiva funktioner kallas ibland också för antiderivator eller obestämda integraler.
En primitiv funktion brukar anges med stor bokstav, t.ex. kan F(x) vara primitiv funktion till f(x) vilket utläses som att stora F av x
är primitiv funktion till lilla f av x
. Men det finns även andra vanliga beteckningar.
| Funktion | Primitiv funktion |
|---|---|
| f(x) | F(x) |
| g(x) | G(x) |
| f(x) | D^(-1)(f(x)) |
| f(x) | ∫ f(x) dx |
Exempel
Kontrollera om F(x) är en primitiv funktion till f(x)
Är F(x)=4x^3-15x+2e^(2x) en primitiv funktion till f(x)=12x^2-15+4e^x?
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":false},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
Ledtråd
Vi använder att F'(x)=f(x).
Lösning
F(x) är en primitiv funktion till f(x) om F'(x)=f(x). Därför deriverar vi funktionen och undersöker om det stämmer.
Om vi jämför f(x)=12x^2-15+4e^x med F'(x) ser vi att den sista termen skiljer sig åt: 4e^(2x) ≠ 4e^x. Det innebär att F'(x) ≠ f(x).
F(x) är alltså inte en primitiv funktion till f(x).
F(x)=4x^3-15x+2e^(2x)
Derive
Derivera funktion
F'(x)=D(4x^3)-D(15x)+D(2e^(2x))
DeriveMonomCo
D(ax^n) = a* nx^(n-1)
F'(x)=12x^2-D(15x)+D(2e^(2x))
DeriveXCo
D(ax) = a
F'(x)=12x^2-15+D(2e^(2x))
DeriveEInitialCo
D( ae^(kx)) = a* ke^(kx)
F'(x)=12x^2-15+4e^(2x)
Förklaring
Varför kan f(x) ha oändligt många primitiva funktioner?
Funktionen F(x) = x^3 är en primitiv funktion till f(x)=3x^2, eftersom derivatan till x^3 är 3x^2. Men kan 3x^2 ha fler primitiva funktioner? Ja, eftersom det finns flera funktioner som har derivatan 3x^2, exempelvis G(x) = x^3 + 5 och H(x) = x^3 - 3,8. Det betyder att funktionen 3x^2 har minst tre primitiva funktioner: x^3, x^3+5 och x^3 - 3,8. Det enda som skiljer dem är en konstant. Eftersom konstanten försvinner vid deriveringen spelar det ingen roll vilket värde den har. Generellt kan en primitiv funktion till 3x^2 skrivas F(x)=x^3 + C,
där C är en godtycklig konstant. F(x)=x^3 + C representerar då alla primitiva funktioner till f(x)=3x^2. Eftersom det finns oändligt många värden som C kan anta innebär detta också att det finns oändligt många primitiva funktioner till f(x).Exempel
Para ihop funktion med rätt primitiv funktion
Para ihop funktionerna 1--3 med motsvarande primitiva funktioner A--E.
Svar
ll I. 4x^3 & → A.x^4-5 I. 4x^3 & → C.x^4 II. 0 & → D. 777 II. 0 & → E. 2^3 III. 2x & → B. x^2+0,1
Ledtråd
Vi använder att F'(x)=f(x).
Lösning
Vi kan avgöra hur de ska paras ihop genom att derivera A--E. Då kan vi se vilka par som uppfyller att F'(x)=f(x), vilket ska gälla om F(x) är en primitiv funktion till f(x).
| F(x) | F'(x) | |
|---|---|---|
| A | x^4 - 5 | 4x^3 |
| B | x^2 + 0.1 | 2x |
| C | x^4 | 4x^3 |
| D | 777 | 0 |
| E | 2^3 | 0 |
Nu har vi derivatorna och kan jämföra med de ursprungliga funktionerna 1--3. Då ser vi att A är primitiv funktion till 1, B är primitiv funktion till 3, etc.
Primitiva funktioner
Övningar
Är F(x) en primitiv funktion till f(x)? Motivera ditt svar.
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
security
report
code
security
report
code
F(x) är en primitiv funktion till f(x) om F'(x)=f(x).
Vi deriverar för att se om detta stämmer.
Om vi jämför funktionerna ser vi att F'(x)=f(x), och därför är F(x) en primitiv funktion till f(x).
Vi gör på samma sätt.
Funktionsuttrycket för F'(x) är inte samma som f(x), eftersom f(x) har en extra term, 2x, som F'(x) inte har. Därför är F(x) inte en primitiv funktion till f(x).
Inget nytt, vi fortsätter på samma sätt.
Funktionsuttrycket för F'(x) är inte samma som f(x), eftersom exponenten på e är olika. Därför är F'(x) ≠ f(x) och F(x) är därmed inte en primitiv funktion till f(x).
security
report
code
Bestäm alla primitiva funktioner F(x) till f(x).
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["C"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"F(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["x^3+C"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["C"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"F(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["e^{5x}+C"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["C"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"F(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["x^2+C"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["C"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"F(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["2x^5+C"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["C"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"F(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{e^{7x}}{7}+C"]}}
security
report
code
security
report
code
När man hittar en primitiv funktion till f(x) letar man efter en funktion som deriveras till f(x).
Vi söker alla primitiva funktioner F(x) till f(x)=3x^2, alltså funktioner som blir detta om de deriveras. Vid derivering minskar exponenten med 1 så för att derivatan ska bli 3x^2 bör graden vara ett högre, dvs. grad 3. Vi testar med x^3 och ser om det stämmer: F(x)=x^3 ⇒ F'(x)=3x^2. Alltså är F(x)=x^3 en primitiv funktion till f(x)=3x^2. Men likaså är x^3+1 också en primitiv funktion, eftersom 1:an försvinner vid derivering. Vi inför därför en godtycklig konstant C som täcker alla primitiva funktioner och får då F(x)=x^3+C.
Här letar vi efter en funktion F(x) som blir f(x)=5e^(5x) om den deriveras. Exponentialfunktioner med basen e behåller samma exponent vid derivering, alltså 5x. Vi testar med e^(5x) och ser om det stämmer:
F(x)=e^(5x) ⇒ F'(x)=5e^(5x).
Alltså är F(x)=e^(5x) en primitiv funktion till f(x). Vi lägger nu till en godtycklig konstant C och får F(x)=e^(5x)+C.
För att F(x) ska ha derivatan 2x måste termen vara av grad 2. Eftersom derivatan av x^2 är 2x är F(x)=x^2 en primitiv funktion till f(x). Lägger vi till C får vi F(x)=x^2+C.
Vad ska deriveras för att man ska få f(x)=10x^4? Vi börjar med x^5.
F(x)=x^5 ⇒ F'(x)=5x^4.
Det stämmer nästan, men för att det ska stämma helt måste vi dubbla koefficienten. Alltså är F(x)=2x^5 en primitiv funktion till f(x) och då blir alla primitiva funktioner F(x)=2x^5+C.
Nu letar vi efter den primitiva funktionen till f(x)=e^(7x). Om den hade varit e^(7x) hade derivatan blivit 7e^(7x). Men vi vill att koefficienten ska bli 1, så därför dividerar vi e^(7x) med 7:
F(x)=e^(7x)/7 ⇒ F'(x)=7e^(7x)/7=e^(7x).
Därför är F(x)= e^(7x)7 en primitiv funktion till f(x)=e^(7x). Lägger vi till konstanten C får vi F(x)= e^(7x)7+C.
security
report
code
F(x)=x^5/5 +x^2 är en primitiv funktion till f(x)=x^4+2x. Ange alla primitiva funktioner till f(x).
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["C"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"F(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{x^5}{5} +x^2+C"]}}
security
report
code
security
report
code
Om man vill ange alla primitiva funktioner till f(x) brukar man lägga till ett C till funktionsuttrycket för F(x), där C är en godtycklig konstant: F(x)=x^5/5 +x^2+C. Oavsett vad C är kommer derivatan att bli funktionen f(x)=x^4+2x, och därför representerar den alla primitiva funktioner till f(x).
security
report
code
Ange alla primitiva funktioner till funktionen.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["C"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"F(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["x^4+C"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["C"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"F(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["e^x+C"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["C"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"F(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["2e^{5x}+C"]}}
security
report
code
security
report
code
En primitiv funktion till f(x) är en funktion F(x) som deriveras till f(x).
När vi deriverar potensfunktioner används regeln D(x^n) = nx^(n-1). Vi ska alltså derivera en potensfunktion för att få 4x^3, dvs. vilket värde på n i potensen x^n gör att likheten nx^(n-1)= 4x^3 stämmer? Skriver vi om 4x^3 som 4x^(4-1) och jämför med nx^(n-1) ser vi att när n=4 så stämmer likheten. Men vi är inte klara! Den primitiva funktionen skulle även kunna innehålla en konstant C eftersom dessa försvinner när man deriverar. För att få med alla primitiva funktioner till f(x) skriver vi alltså F(x)=x^4+C.
För exponentialfunktioner med basen e gäller det att e^x är sin egen derivata, dvs.
D(e^x)=e^x.
Den primitiva funktionen till e^x måste alltså därför också vara e^x. Vi lägger även på en godtycklig konstant C för att få med alla primitiva funktioner:
F(x)=e^x+C.
När exponenten i en exponentialfunktion med basen e har en koefficient, dvs. e^(kx) så används deriveringsregeln
D(e^(kx))=ke^(kx).
Vid derivering ska alltså koefficienten till x multipliceras med e^(kx). I funktionen e^(5x) ser vi att k=5 så vid derivering får vi 5e^(5x). Men i uppgiften är f(x) = 10e^(5x) vilket betyder att e^(5x) i den primitiva funktionen måste ha koefficienten 2 redan från början (eftersom 2* 5=10). Lägger vi till en godtycklig konstant får vi
F(x)=2e^(5x)+C.
security
report
code
Använd pilar för att markera hur funktioner och primitiva funktioner i bilden hänger ihop, så att F(x) pekar på f(x).
security
report
code
security
report
code
En primitiv funktion till f(x) är en funktion som deriveras till f(x). Uppgiften är därför att sätta ut pilar så att varje funktion pekar på sin derivata. Vi går igenom de olika uttryckstyperna ett i taget.
Konstanter
Konstanterna är 0, 2 och 6. Derivatan av en konstant är alltid noll, så alla dessa boxar ska peka på 0. Notera alltså att 0 är primitiv funktion till sig själv!
Förstagradsuttryck
Det finns tre uttryck av första graden: 2x-3, 2x+1 och 6x. Precis som ovan försvinner konstanter i deriveringen, medan x-termerna följer regeln D(ax) = a. Vi deriverar dessa tre uttryck, och resultaten visas i tabellen.
| F(x) | f(x) |
|---|---|
| 2x-3 | 2 |
| 2x+1 | 2 |
| 6x | 6 |
Andragradsuttryck
Andragradsuttrycken är 3x^2 och x^2 - 3x. Med samma regel som ovan samt deriveringsregeln för potensfunktioner får vi derivatorna i tabellen.
| F(x) | f(x) |
|---|---|
| 3x^2 | 6x |
| x^2 - 3x | 2x - 3 |
Tredjegradsuttryck
Det finns bara ett tredjegradsuttryck. Eftersom det är lite krångligare visar vi deriveringen steg för steg.
Tredjegradsuttrycket ska alltså peka på x^2 - 3x.
Exponentialuttryck
Exponentialuttrycken är de som innehåller e^x. Termen e^5 är en konstant som går bort, medan övriga deriveras med deriveringsregeln för exponentialfunktioner med basen e. För e^x är k=1, och den blir då lika med sin egen derivata.
| F(x) | f(x) |
|---|---|
| e^x | e^x |
| e^(5x) | 5e^(5x) |
| 5e^(5x) | 25e^(5x) |
| e^(5x)+e^5 | 5e^(5x) |
Derivatan 25e^(5x) finns inte med i bilden, så den pilen måste utelämnas. Sammanställer vi våra resultat och drar pilarna så att varje uttryck pekar på sin derivata får vi trasslet nedan.
security
report
code
Primitiva funktioner
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll