Derivatans graf

För att avgöra derivatans gradtal skulle man kunna derivera funktionen och läsa av vad den högsta exponenten är, men det är enklare att använda regeln för derivatans gradtal: grad(f'(x)) = grad(f(x)) - 1. Det räcker alltså med att bestämma gradtalet för f(x) och dra bort 1. Polynomfunktionen f(x) = x^7 har bara en term och den har exponenten 7, så f(x) har graden 7. Då måste f'(x) alltså ha graden 7 - 1 = 6.

Vi gör på samma sätt och börjar med att bestämma gradtalet för g(x). Termen med högsta exponenten är 2x^3, så g(x) har graden 3. Det betyder att g'(x) har graden 3 - 1 = 2.

I det här fallet står inte termen med högst exponent först, så vi får gå igenom termerna och jämföra exponenterna. Termen med högst exponent är -7x^9, vilket innebär att h(x) har graden 9. Dess derivata, h'(x), har då graden 9 - 1 = 8.

Den här gången är visserligen gradtalet högt, men det påverkar inget. Det finns en term i k(x), med exponenten 1 000, vilket innebär att gradtalet för k(x) är 1 000. Då måste alltså gradtalet för k'(x) vara 1 000 - 1 = 999.

Eftersom derivatan är 0 i en stationär punkt kan vi bestämma för vilka x-värden f(x) har sådana punkter genom att se var grafen till derivatan skär x-axeln. Vi markerar skärningspunkten och läser av x-värdet.

Derivatans graf skär x-axeln i x=2, så funktionen f(x) har en stationär punkt i det x-värdet. Vi vet dock inte om det är en max-, min- eller terrasspunkt.

Vi gör på samma sätt igen, dvs. markerar derivatans skärningspunkter med x-axeln.

Vi ser att derivatans graf skär x-axeln i x=- 4 och x=6, så f(x) har stationära punkter där.

Inget nytt, vi gör samma sak igen.

Grafen skär i x=- 4, x=1 och x=7. Funktionen har alltså stationära punkter där.

I en stationär punkt är derivatan 0. Derivatans graf kommer alltså skära x-axeln i de x-värden som funktionen har stationära punkter. I grafen ser vi att derivatan skär x-axeln där x är -2.

Funktionen har alltså en stationär punkt i x=- 2.

Eftersom lutningen i en punkt är detsamma som derivata kan vi ta reda på hur grafen till p(x) lutar vid ett visst x-värde genom att läsa av derivatans värde där. Här läser vi av derivatans värde i x=-3.

Vi ser att derivatan är 0 i x=-3. Det innebär alltså att grafen till funktionen p(x) har lutningen 0 där x=-3.

Vi gör på samma sätt igen och läser av derivatans värde i x=-1,5.

Grafen till p(x) har lutningen -1,5 där x=-1,5.

Vi fortsätter på samma sätt och ser att grafen till p(x) har lutningen 2 där x=1.

Vi gör en sista avläsning där x=3,5 och konstaterar att lutningen på grafen till p(x) är 1 där.

Vi vet att derivatan är 0 där en funktion har stationära punkter. Tittar vi på den blå grafen, som representerar funktionen, ser vi att den har en stationär punkt i form av en minimipunkt i x=2. Det innebär att den röda grafen, som visar derivatan, ska vara 0 i just det x-värdet. Så är dock inte fallet: derivatan är -2 då x=2.

Pontus har alltså ritat grafen till derivatan fel. Denna graf ska vara 0 då x=2, dvs. skära x-axeln då x är 2. I nuläget skär den i x=3. Pontus figur skulle istället ha sett ut såhär.

Vi letar efter stationära punkter på grafen till f(x), eftersom derivatan skär x-axeln (dvs. är 0) där. I detta fall finns en sådan: en minimipunkt.

Minimipunktens x-värde är 4 så grafen till derivatan f'(x) kommer skära x-axeln i just x=4.

Vi gör på samma sätt igen, dvs. hittar de stationära punkterna på grafen till f(x) och läser av deras x-värden.

Maximipunkten har x-värdet 1,5 och minimipunkten -1,5, så derivatans graf kommer skära x-axeln vid dessa värden.

Denna graf har en stationär punkt i form av en terrasspunkt.

Vi ser att den har x-värdet 0. Derivatans graf kommer alltså skära x-axeln där x=0.