Skissa grafer

Vi bestämmer först storleken på koordinatsystemet. Vi har tre intressanta punkter, i x=- 1, x=0 och x=1. Vi vill dock även kunna se hur grafen beter sig till vänster och höger om dessa. Vi gör därför koordinatsystemet lite större och ritar x-axeln från -2 till 2. Lägsta och högsta y-värdet är -1 respektive 0, så med samma resonemang ritar vi y-axeln från - 2 till 1.

När derivatan är positiv växer funktion och när derivatan är negativ avtar den. Vi använder detta för att färdigställa teckentabellen med pilar som visar om funktionen växer eller avtar.

Följer man lutningen på funktionen ser man att den har en minimipunkt i (-1, -1), en maximipunkt i (0,0) och ytterligare en minimipunkt i (1,- 1). Vi markerar punkterna i ett koordinatsystem och sätter bågar uppåt eller neråt för att för att visa grafens karaktär runt punkterna.

Hade vi känt till funktionsuttrycket för f(x), så hade vi kunnat hitta några fler punkter på grafen, t.ex. dess nollställen. Nu har vi inte det, men vi vet i alla fall att det inte finns några fler stationära punkter och att den därför inte kommer att byta riktning på några andra ställen än de vi har markerat. Vi skissar en ungefärlig graf som kopplar samma punkterna.

För att bestämma funktionens stationära punkter behöver vi känna till dess derivata eftersom den är 0 där.

Nu löser vi f'(x)=0 för att hitta derivatans nollställen.

Vi ser att funktionen har stationära punkter i x=- 1 och x=1. Sätter vi in dessa i funktionen f(x) kan vi bestämma det motsvarande y-värdet.

De stationära punkterna är (- 1,2) och (1,- 2). Vi kan bestämma de stationära punkternas karaktär med andraderivata. Vi deriverar därför en gång till.

Nu bestämmer vi andraderivatans tecken genom att sätta in de stationära punkternas x-värden.

I den första stationära punkten är andraderivatan negativ vilket betyder att funktionen är en maximipunkt. I den andra stationära punkten är andraderivatan däremot positiv så detta måste vara en minimipunkt.

Funktionens nollställen kan bestämmas genom att likställa f(x) med 0 och lösa ut x.

Funktionen har nollställen i x=0, xsqrt(3) samt - xsqrt(3).

För att kunna skissa andragradsfunktionen måste vi bestämma och klassificera dess extrempunkt. Vi ser att x^2-termen har en positiv koefficient så extrempunkten är en minimipunkt. Med derivata kan vi bestämma minimipunktens x-koordinat.

Genom att bestämma derivatans nollställe kan vi ta reda på minimipunktens x-koordinat.

Funktionen har alltså en minimipunkt i x=1. Sätter vi in denna x-koordinat i f(x) kan vi bestämma det motsvarande y-värdet: f(1)=1^2-2* 1-3=- 4. Funktionen har konstanten - 3 vilket innebär att den skär y-axeln i (0,- 3). Vi markerar punkterna i ett koordinatsystem.

För att skissen ska bli bra beräknas även funktionens nollställen genom att lösa ekvationen f(x)=0.

Funktionen skär x-axeln i (- 1,0) och (3,0). Vi markerar även dessa i koordinatsystemet.

Nu kan vi skissa kurvan genom att binda ihop punkterna.

Vi börjar med att bestämma funktionens derivata så att vi kan använda den för att bestämma funktionens stationära punkter.

Nu likställer vi derivatan med 0 och löser ut derivatans nollställen med pq-formeln.

Funktionen har stationära punkter i x=- 4 och x=3. Vi bestämmer motsvarande funktionsvärden genom att sätta in de stationära punkternas x-värden i f(x).

För att kunna skissa tredjegradsfunktionen måste vi även bestämma de stationära punkternas karaktär. Vi kan göra detta med hjälp av andraderivata.

Genom att bestämma andraderivatans tecken i de stationära punkternas x-värden kan vi bestämma deras karaktär.

Andraderivatan är positiv i den första stationära punkten och negativ i den andra. Det betyder att den första stationära punkten är en minimipunkt och att den andra är en maximipunkt. Vi markerar extrempunkterna och skissar deras karaktär.

Nu skulle vi kunna bestämma funktionens nollpunkter eller några andra punkter på grafen för att hjälpa oss rita den, men de stationära punkter vi har nu räcker. Vi skissar alltså grafen genom att binda ihop de stationära punkterna.