Deriverbarhet

Definitionsmängden för en funktion är alla x som kan sättas in i funktionen. Eftersom det inte är tillåtet att dividera med 0, är funktionen definierad för alla x utom de som gör nämnaren till 0. f(x) = x^2-4/x+2 I det här fallet blir nämnaren 0 när x = - 2. x + 2 = 0 ⇔ x = - 2 Funktionen är definierad för alla x utom x = - 2. Detta innebär också att funktionen är diskontinuerlig vid x = - 2. Observera att funktionen kan förenklas till f(x) = x - 2.

Funktionen representerar en rät linje. Däremot är f(- 2) odefinierad. För alla andra värden av x beter sig funktionen kontinuerligt och följer den linjära ekvationen y = x - 2.

Funktionen är odefinierad vid x = - 2, men kontinuerlig överallt annars. Svaret är B.

Funktionen f(x) = 2sin(x) är kontinuerlig och jämn för alla reella tal, och dess derivata existerar vid varje punkt. Detta är tydligt från dess graf.

Grafen är jämn och kontinuerlig utan några skarpa hörn, hopp eller vertikala tangenter. Vid varje punkt existerar en tangentlinje. Detta innebär att funktionen är deriverbar överallt.

Funktionen f(x) = tan(x) är inte deriverbar för alla värden av x, och detta kan observeras från dess graf.

Grafen för y = tan(x) har vertikala linjer (asymptoter) där funktionen är odefinierad vid x = π2 + nπ för varje heltal n. Vid dessa punkter skjuter grafen uppåt eller nedåt oändligt, vilket innebär att funktionen inte är deriverbar där.

Låt oss gå igenom varje funktion och avgöra om den är deriverbar för alla x.

• y = 1x är inte deriverbar för x = 0 eftersom funktionen inte är definierad där.
• y = x är en polynomfunktion och polynom är deriverbara överallt.
• y = 1x^2 är inte deriverbar för x = 0 eftersom funktionen inte är definierad där.
• y = x^2 är deriverbar i alla punkter.

Låt oss också undersöka graferna för dessa funktioner. Grafen för icke-deriverbara funktioner består av två delar.

Vi börjar med att undersöka för vilka värden av x uttrycket |4x+8| är positivt.

Därför kan vår funktion skrivas som f(x) = 4x + 8 + 12 när x ≥ - 2. Funktionen blir f(x) = - 4x - 8 + 12 när x < - 2. f(x) = 4x+20, & x ≥ - 2 - 4x+4, & x < - 2 Vi kan nu hitta den högra derivatan av funktionen vid x_0 = - 2. f'_+( - 2) = lim _(h → 0^+)f( - 2+h) - f( - 2)/h Om denna gräns inte existerar, har vi visat att funktionen inte är deriverbar vid x = - 2. Eftersom vi närmar oss punkten från höger, använder vi den första raden av funktionen. Med det i åtanke, låt oss beräkna f(- 2 + h) och f(- 2).

Vi hittar också f(- 2).

Vi stoppar in dessa värden för att beräkna gränsvärdet.

Vi ska nu beräkna vänsterderivatan. f'_-(- 2) = lim _(h → 0^-)f(- 2+h) - f(- 2)/h I det här fallet använder vi uttrycket på den andra raden av funktionen, vilket är - 4x + 4.

Vi vet redan att f(- 2) = 12. Vi stoppar nu in dessa värden för att bestämma det vänstra gränsvärdet.

Vi har beräknat höger- och vänsterderivatan av funktionen. f'_+(- 2) = 4 f'_-(- 2)=- 4 De har olika värden, så funktionen är inte deriverbar vid x = - 2.

En funktion är deriverbar i vissa punkter om följande villkor är uppfyllda:

• Definitionsmängd: Funktionen är definierad i den punkten.
• Diskontinuitet: Funktionen är kontinuerlig i den punkten. En funktion måste vara kontinuerlig för att vara deriverbar där.
• Hörn: Grafen har inget skarpt hörn, vilket annars skulle göra att vänster- och högerderivatan skiljer sig (eller inte existerar).

Låt oss nu titta på grafen. Det finns flera kandidater där funktionen kan vara icke-deriverbar.

Låt oss gå igenom varje punkt en i taget.

Därför saknar funktionen en derivata vid x = 5, 7, och 15.