Lutning i en punkt

En linje är en tangent om den har samma lutning som grafen i den punkt där den nuddar grafen. L_1 och L_3 verkar därför vara tangenter till f(x), medan det är tydligt att L_2 inte har samma lutning som grafen i någon av de punkter där den skär grafen och därför inte är en tangent. L_2 är däremot en sekant.

En tangeringspunkt är en punkt där en tangent "nuddar" en kurva, dvs. en punkt där en tangent och graf har samma lutning. Enda stället då detta sker är i punkten (1,0), så den är den enda tangeringspunkten.

I alla övriga punkter skär linjerna igenom grafen på ett sätt som gör att kurvan och linjen inte har samma lutning där.

En tangent till en funktion i en viss tangeringspunkt har alltid samma lutning som grafen till funktionen i den punkten. Om vi tar reda på den röda tangentens k-värde får vi alltså samtidigt veta grafens lutning i punkten (-1,3). Vi kan avläsa k-värdet genom att bestämma förändringen i y-led då man går 1 steg åt höger.

Tangentens lutning är alltså k=-1, vilket innebär att lutningen i punkten (-1,3) är -1.

Vi gör på samma sätt här. Den gröna tangenten ökar med 7 då x ökar med 1.

k-värdet är alltså 7, vilket även är lutningen i punkten (1,5).

Att bestämma lutningen för en kurva i en tangeringspunkt är samma sak som att bestämma motsvarande tangents k-värde. Här bestämmer vi tangentens lutning grafiskt, och väljer då två punkter på tangenten, t.ex. (0.25,-0.75) och (1.5,1.25), vars koordinater vi kan sätta in i k-formeln.

Det är bra att punkterna är en bit ifrån varandra eftersom eventuella avläsningsfel får mindre konsekvenser då. Vi sätter nu in punkterna i k-formeln.

Tangentens lutning och därmed även lutningen i tangeringspunkten är ca 1.6.

Vi gör på samma sätt som i tidigare deluppgift och väljer t.ex. punkterna med de ungefärliga koordinaterna (-0.75,-0.75) och (1,-0.25).

Och så sätter vi in punkterna i k-formeln.

Lutningen i tangeringspunkten är alltså ca 0.3.

Vi gör på samma sätt ännu en gång. Nu väljer vi punkterna (-0.5,-0.25) och (-1.75,0.75).

Även dessa koordinater sätts in i k-formeln.

En tangent till en funktion i en viss tangeringspunkt har alltid samma lutning som grafen till funktionen i den punkten. Om vi tar reda på tangentens lutning vet vi alltså även lutningen i punkten. Tangentens lutning bestämmer vi direkt genom att avläsa k-värdet ur ekvationen y=3x+6, dvs. k=3. Därför är även lutningen i punkten (3,2) lika med 3.

Vi resonerar på motsvarande sätt som i förra deluppgiften. Eftersom tangentens k-värde är -4.2 är även lutningen i punkten 4.2.

Här är tangentens k-värde -1, eftersom det finns en underförstådd 1:a i ekvationen: y=8-1x. Grafens lutning i punkten är därför -1.

En förändringshastighet är en tolkning av en lutning utifrån ett verkligt sammanhang och med en enhet. Här representeras lutningen av k-värdet på en tangent med ekvationen y=-20x+10. Eftersom det är en tangent vet vi att det har att göra med en momentan förändring, dvs. en förändring vid en viss tidpunkt. Och eftersom k=-20 är det en situation där något minskar med 20 av någonting för varje steg framåt i x-led man går. Skulle man t.ex. låta y motsvara antalet liter vatten i ett badkar och x vara minuter, representerar k-värdet -20 att volymen vatten vid en viss tidpunkt minskar med 20 liter/minut. Notera att m-värdet 10 inte har någon speciell tolkning.

Vi ritar den tangent som tangerar grafen i punkten (1,1) och markerar ytterligare en punkt på tangenten, t.ex. (3,2).

Vi bestämmer nu lutningen genom att sätta in dessa punkter i k-formeln.

Vi kan nu sätta in k= 12 samt koordinaterna för en punkt på tangenten, t.ex. (1,1), i räta linjens ekvation för att lösa ut tangentens m-värde.

Tangentens ekvation är alltså y=0.5x+0.5.

Samma sak igen. Vi ritar tangenten till grafen i punkten (1,1) och markerar ytterligare en punkt som tangenten går igenom.

Vi sätter in (1,1) och (2,3) i k-formeln.

Till sist sätter vi in k=2 samt en av punkterna på tangenten, t.ex. (2,3), i räta linjens ekvation för att bestämma m-värdet.

Tangentens ekvation är y=2x-1.

Återigen ritar vi en tangent och bestämmer dess ekvation. Vi kan göra på samma sätt som tidigare, dvs. sätta in två punkter på tangenten i k-formeln och därefter lösa ut m-värdet, men vi kan också läsa av lutning och m-värde direkt i koordinatsystemet.

Här ser vi att förändringen i y-led är -2 då man går 1 steg åt höger i x-led. Det innebär att k-värdet är - 2. Vi ser också att tangenten skär y-axeln i (0,3) så m=3. Tangentens ekvation är därför y=-2x+3.