{{ article.displayTitle }}

Derivatan i en viss punkt för en funktion kan grafiskt tolkas som tangentens lutning i den punkten. I praktiken kan det dock vara svårt att rita in en tangent med exakt samma lutning som funktionens graf har just där. Men genom att utgå ifrån principen att en tangents lutning är derivatan i punkten kan man algebraiskt definiera derivatans värde där. Numerisk derivering kan användas för att algebraiskt definiera derivatan för en funktion $f(x)$ i punkten där $x=a.$ Punkten som ligger på avståndet $h$ från denna blir då $x=a+h.$

$f(a)$ är funktionsvärdet för $f(x)$ i punkten där $x=a$ och på motsvarande sätt är $f(a+h)$ funktionsvärdet där $x=a+h.$ Avståndet i $y$-led mellan punkterna, $y_2-y_1,$ kan därför uttryckas $f(a+h) - f(a).$ Ändringskvoten mellan $x=a$ och $x=a+h$ kan alltså skrivas \gathered{ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{f(a+h) - f(a)}{a + h - a} = \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}. } När $h$ går mot $0$ blir uttrycket för derivatan i den godtyckliga punkten $x=a$ det gränsvärde som är derivatans definition.

Definitionen säger att derivatan för en funktion $f(x)$ där $x=a$ bestäms algebraiskt genom att man låter avståndet mellan punkterna som en sekant skär igenom krympa så att sekanten övergår i en tangent. Definitionen gör det alltså möjligt att bl.a. bestämma derivatans värde i en punkt utan att tangenter behöver ritas ut.

Extra

Numerisk derivering

Om man drar en sekant genom en kurva kan man låta den övergå i en tangent genom att krympa avståndet mellan punkterna som sekanten skär igenom. När avståndet blir $0$ kommer sekanten alltså att sammanfalla med tangenten till kurvan i en av punkterna.

Då avståndet mellan punkterna går mot ett mycket litet tal brukar man ibland kalla det för $h$ istället för $\Delta x.$ Om man ställer upp en ändringskvot som motsvarar sekantens lutning kan den därför skrivas \gathered{ k = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2 - y_1}{h}. } Ju mindre $h$ blir, desto bättre blir approximation av derivatan i tangeringspunkten, som man kan låta ha $x\text{-}$värdet $a.$ Då kommer ändringskvoten ovan att ge \gathered{ f'(a) \approx \dfrac{y_2 - y_1}{h}. } Den streckade tangenten till kurvan i punkten $a=0,4$ nedan har lutningen $k=0,56,$ vilket innebär att $f'(0,4)=0,56.$ Genom att låta avståndet $h$ bli mindre och mindre ser man att sekantens riktningskoefficient närmar sig detta värde.

Med denna metod får man ett närmevärde till derivatan som blir bättre ju närmare punkterna är varandra. För att få det exakta värdet skulle man vilja låta avståndet vara $0,$ men då får man nolldivision. Derivatans värde bestäms därför med gränsvärdet för ändringskvoten då $h \to 0$: \gathered{ f'(a) = \lim \limits_{h \to 0} \ \dfrac{y_2- y_1}{h}. }