4. Areasatsen
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 6
4.
Areasatsen
Denna lektion fokuserar på att förstå areasatsen, en central del av trigonometri. Areasatsen används för att beräkna arean av en triangel när man känner till två av dess sidor och vinkeln mellan dem. Detta är särskilt användbart när man inte har tillgång till triangelns höjd, vilket ofta är fallet med oregelbundna trianglar. Areasatsen kan tillämpas på alla typer av trianglar, inklusive likbenta, liksidiga och olikformiga trianglar. Detta koncept är viktigt inom många områden, inklusive arkitektur, ingenjörsvetenskap och design, där det ofta är nödvändigt att beräkna arean av oregelbundna former.
Inställningar & verktyg för lektion
| | 7 sidor teori |
| | 15 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Areasatsen
Sida av 7
De trigonometriska funktionerna sinus, cosinus och tangens är definierade utifrån, och används ofta i samband med, rätvinkliga trianglar. Men är de även användbara för godtyckliga trianglar?
Ja, genom att använda definitionerna för sinus och cosinus kan man härleda satser för att bestämma area, vinklar och sidor för en godtycklig triangel. Dessa brukar kallas för triangelsatserna: areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen.
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Areasatsen
Förkunskaper
Dela
Rapportera fel
Översätt
Utforska
Undersöka arean av trubbiga trianglar
Trigonometriska kvoter kan användas för att beräkna arean av en triangel när längderna på två sidor och måttet på den mellanliggande spetsiga vinkeln är givna. Vad händer om den mellanliggande vinkeln är trubbig? I △ ABC är AB och BC 6 respektive 8 centimeter långa. Måttet på ∠ ABC varierar från 15^(∘) till 165^(∘).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Areasatsen
Om man känner till en triangels bas och höjd kan man bestämma dess area med hjälp av areaformeln för en triangel. Ibland känner man dock inte till höjden, men om man vet två sidlängder och den mellanliggande vinkeln kan man använda areasatsen.
Area=absin(C)/2
I formeln är a och b sidlängder i triangeln och C är den vinkel som ligger mellan dem.
Det går bra att använda vilket par av sidlängder som helst så länge man känner till den mellanliggande vinkeln. Om man t.ex. känner till sidorna b och c i triangeln måste man känna till vinkeln A.
Bevis
Beviset måste göras för två fall eftersom den mellanliggande vinkeln antingen kan vara spetsig eller trubbig.
Mellanliggande vinkel är spetsig
Höjden delar triangeln i två rätvinkliga trianglar, där den ena har sidan a som hypotenusa.
Då kan man med hjälp av definitionen av sinus ställa upp ett uttryck för höjden h.
sin(v)=Motstående katet/Hypotenusa
SubstituteExpressions
Sätt in uttryck
sin(C)=h/a
MultEqn
VL * a=HL* a
asin(C)=h
RearrangeEqn
Omarrangera ekvation
h=asin(C)
Man ersätter sedan h i formeln A= bh2 med detta uttryck.
Detta är areasatsen.
Mellanliggande vinkel är trubbig
Då C är trubbig bevisas areasatsen lite annorlunda. Genom att förlänga triangelns bas och markera höjden h vinkelrätt mot den förlängda basen bildas en rätvinklig triangel.
Sidovinkeln till C, som är 180^(∘) - C, utgör en av vinklarna i den nya triangel som skapats. Utgår man från denna vinkel får man, enligt definitionen för sinus, sin(180^(∘)-C)=h/a. Med hjälp av sambandet sin(180^(∘)-v)=sin(v) kan man visa att även detta går att skriva om till areasatsen.
Man ersätter sedan h i formeln A= bh2 med detta uttryck på samma sätt som tidigare.
Q.E.D.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Bevis
Bevis för areasatsen
Arean av en triangel bestäms vanligtvis med formeln A = bh2, där b är bredden på triangeln och h är höjden. Även areasatsen bygger på denna formel, men h bestäms med trigonometri. Beviset måste göras för två fall eftersom den mellanliggande vinkeln antingen kan vara spetsig eller trubbig.
Bevis
Mellanliggande vinkel är spetsig
Då kan man med hjälp av definitionen av sinus ställa upp ett uttryck för höjden h.
sin(v)=Motstående katet/Hypotenusa
SubstituteExpressions
Sätt in uttryck
sin(C)=h/a
MultEqn
VL * a=HL* a
asin(C)=h
RearrangeEqn
Omarrangera ekvation
h=asin(C)
Bevis
Mellanliggande vinkel är trubbig
Sidovinkeln till C, som är 180^(∘) - C, utgör en av vinklarna i den nya triangel som skapats. Utgår man från denna vinkel får man, enligt definitionen för sinus,
sin(180^(∘)-C)=h/a.
Med hjälp av sambandet sin(180^(∘)-v)=sin(v) kan man visa att även detta går att skriva om till areasatsen.
Q.E.D.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestäm arean med areasatsen
Bestäm triangelns area. Avrunda till en decimal.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"\u2248","formTextAfter":null,"answer":{"text":["5,7"]}}
Ledtråd
Ersätt de kända värdena för sidorna och vinkeln mellan dem i areasatsen.
Lösning
Vi känner inte till någon höjd i triangeln. Däremot vet vi två av sidorna, 3 och 4, samt dess mellanliggande vinkel 72^(∘). Det betyder att vi kan använda areasatsen för att bestämma triangelns area.
Area=absin(C)/2
SubstituteValues
Sätt in värden
Area=3* 4* sin(72^(∘))/2
SimpQuot
Förenkla kvot
Area=3* 2 * sin(72^(∘))
UseCalc
Slå in på räknare
Area=5,70633...
RoundDec
Avrunda till 11tiondelar 12hundradelar 13tusendelar 14tiotusendelar 15hundratusendelar 16miljontedelar 17hundramiljontedelar 18miljardtedelar
Area ≈ 5,7
Triangelns area är ca 5,7 a.e.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestäm vinkeln med areasatsen
För en triangel ABC gäller det att sidan AB=13,8 cm, sidan BC=7,8 cm och att arean är 45,5 cm^2. Hur stor kan vinkel B vara som ligger mellan sidorna AB och BC? Avrunda svaret till heltal. Skriv de möjliga vinklarna som en lista.
{"type":"text","form":{"type":"list","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"ordermatters":false,"numinput":2,"listEditable":true,"hideNoSolution":true},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"^(∘)","answer":{"text":["58","122"]}}
Ledtråd
Använd areasatsen.
Lösning
Eftersom vi känner till arean för triangeln samt längden på sidorna omkring den vinkel vi ska bestämma kan vi använda areasatsen. Vi sätter in de kända värdena i satsen och löser sedan ut vinkel B.
Area=absin(C)/2
SubstituteValues
Sätt in värden
45,5=13,8*7,8sin(B)/2
Multiply
Multiplicera faktorer
45,5=107,64sin(B)/2
SimpQuot
Förenkla kvot
45,5=53,82sin(B)
RearrangeEqn
Omarrangera ekvation
53,82sin(B)=45,5
DivEqn
.VL /53,82.=.HL /53,82.
sin(B)=45,5/53,82
ArcSinEqn
arcsin(VL) = arcsin(HL)
B=arcsin(45,5/53,82)
UseCalc
Slå in på räknare
B=57,71595...^(∘)
RoundInt
Avrunda till närmaste heltal
B ≈ 58^(∘)
Vinkel B kan alltså vara ca 58^(∘). Vi måste dock komma ihåg att det enligt sambandet sin(v)=sin(180^(∘)-v) alltid finns 2 vinklar på intervallet 0^(∘)≤ v≤180^(∘) med samma sinusvärde. Vi bestämmer därför även vinkeln 180^(∘)-B: 180^(∘)-58^(∘)=122^(∘). Den mellanliggande vinkeln B kan alltså vara antingen 58^(∘) eller 122^(∘).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Öva på att använda areasatsen
I följande trianglar är längderna på två sidor och måttet på den mellanliggande vinkeln eller arean givna. Använd areasatsen för att beräkna triangelns area eller måttet på den mellanliggande vinkeln. Avrunda svaret till en decimal.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Areasatsen
Uppgifter
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"ca","formTextAfter":"a.e.","answer":{"text":["6,1"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"ca","formTextAfter":"a.e.","answer":{"text":["4,8"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"ca","formTextAfter":"a.e.","answer":{"text":["3,8"]}}
security
report
code
security
report
code
Eftersom vi känner till två sidor och den mellanliggande vinkeln kan vi beräkna triangelns area med areasatsen.
Även här känner vi till två sidor och den mellanliggande vinkeln så vi kan använda areasatsen igen för att beräkna triangelns area.
Återigen använder vi areasatsen för att beräkna triangelns area.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"ca","formTextAfter":"a.e.","answer":{"text":["9,4"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"ca","formTextAfter":"a.e.","answer":{"text":["6,1"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att bestämma vinkeln mellan de två angivna sidorna, som vi kan kalla C, med hjälp av triangelns vinkelsumma: C=180^(∘) -38^(∘)-57^(∘)=85^(∘). Nu känner vi till två sidor samt den mellanliggande vinkeln och kan använda areasatsen för att bestämma triangelns area.
Triangelns area är alltså ca 9,4 a.e.
Även här börjar vi med att bestämma den mellanliggande vinkeln, C, till de kända sidorna. Den är sidovinkel till yttervinkeln på 136^(∘), och alltså är den
C=180^(∘) -136^(∘)=44^(∘).
Till sist använder vi areasatsen.
Arean av triangeln är alltså ca 6,1 a.e.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"v\u2248","formTextAfter":"^(∘)","answer":{"text":["68"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"u\u2248","formTextAfter":"^(∘)","answer":{"text":["20"]}}
security
report
code
security
report
code
Eftersom v är mellanliggande vinkel till två kända sidor och vi vet triangelns area kan vi använda areasatsen för att bestämma v.
Vinkeln v är ca 68^(∘).
Vi löser ut vinkel u på samma sätt.
Vinkeln u är ca 20^(∘).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Bestäm arean av fyrhörningen. Avrunda till en decimal.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"ca","formTextAfter":"a.e.","answer":{"text":["10,3"]}}
security
report
code
security
report
code
För att bestämma fyrhörningens area delar vi upp den i två trianglar.
Vi kan nu bestämma varje enskild triangels area med areasatsen och sedan summera dessa för att få fyrhörningens area. Vi kallar den övre triangelns area för A_1 och den nedre triangelns area för A_2 och får då: A_1&=4,2*4,1*sin(59^(∘))/2 [0.9em] A_2&=2,8*2,2*sin(108^(∘))/2. Nu summerar vi dessa för att få fyrhörningens area, som vi kallar A.
Fyrhörningens area är alltså ca 10,3 a.e.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
En liksidig triangel har sidorna 5 cm. Bestäm dess area. Avrunda till en decimal.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"ca","formTextAfter":"cm^2","answer":{"text":["10,8"]}}
security
report
code
security
report
code
Triangeln är liksidig vilket betyder att den har lika långa sidor och att dess tre vinklar är lika stora, dvs. 180^(∘)3=60^(∘). Vi ritar triangeln.
Vi kan nu använda areasatsen för att beräkna triangelns area.
Arean är ca 10,8 cm^2.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
I en likbent triangel är de lika långa sidorna 6 cm. Figuren är skalenlig.
Vad är vinkeln mellan de lika långa sidorna om triangelns area är 9 cm^2?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"^(∘)","answer":{"text":["30"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi kallar den mellanliggande vinkeln som vi ska bestämma för v.
Från uppgiften vet vi att triangelns area är 9 cm^2. Sätter vi in arean och de kända sidorna i areasatsen kan vi lösa ut den okända vinkeln.
Den mellanliggande vinkeln är 30^(∘).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Bestäm triangelns sidlängder givet att dess area är 16 cm^2.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"cirka","formTextAfter":"cm","answer":{"text":["6,1"]}}
security
report
code
security
report
code
Strecket på varje sida betyder att triangelns sidor är lika långa, dvs. den är liksidig. Vi kan kalla sidan för s. Att den är liksidig innebär också att alla vinklar är 180^(∘)3=60^(∘).
Eftersom vi vet att arean är 16 m^2 kan vi utgå ifrån valfri 60-gradersvinkel och ställa upp en ekvation med hjälp av areasatsen: 16=s* s*sin(60^(∘))/2. Vi löser ekvationen för att ta reda på sidlängden s.
Eftersom en sträcka alltid är positiv bortser vi från den negativa lösningen och konstaterar att triangelns sidor är ca 6,1 cm.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Areasatsen
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll