body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

{{ 'ml-label-loading-course' | message }}

{{ toc.name }}

{{ toc.signature }}

{{ tocHeader }} {{ 'ml-btn-view-details' | message }}

{{ tocSubheader }}

{{ 'ml-toc-proceed-mlc' | message }}

{{ 'ml-toc-proceed-tbs' | message }}

Ett fel uppstod, försök igen senare!

( Ma 3b , Ma 3c ) /

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

{{ article.displayTitle }}

{{ article.intro.summary }}

Visa mindre Visa mer

{{ ability.displayTitle }}

Inställningar & verktyg för lektion

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

En exponentialfunktion som står på formen

f (x) = a^{x}

har i de flesta fall en derivata som inte är lika med funktionen själv. Det finns dock ett undantag och det är när funktionens bas är lika med talet

e

, dvs. ungefär

2, 72 .

Då är derivatan och funktionen samma för alla

x .

Den blå grafen visar funktionen

f (x) = a^{x}

medan den röda visar derivatan

f^{'} (x) .

Väljer man basen

a

till

e

ser man att funktionens och derivatans graf sammanfaller.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Derivatan av $e^{x}$
Derivatan av $e^{k x}$
Derivatan av $a^{x}$
Derivatan av $a^{k x}$

Förkunskaper

Derivata
Exponentialfunktion
Talet $e$

Regel

Derivatan av $e^{x}$

Exponentialfunktionen $f (x) = e^{x}$ är sin egen derivata.

Härledning

D (e^{x}) = e^{x}

För att visa varför derivatan till

e^{x}

är

e^{x}

kan man använda derivatans definition.

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

$f (x + h) = e^{x + h}$ och $f (x) = e^{x}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{x + h} - e ^{x}}{h}

$a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{x} \cdot e ^{h} - e ^{x}}{h}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{x} \cdot e ^{h} - e ^{x} \cdot 1}{h}

Bryt ut $e^{x}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{x} ( e ^{h} - 1 )}{h}

MovePartNumLeft

$\frac{a \cdot b}{c} = a \cdot \frac{b}{c}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim (e^{x} \cdot \frac{e ^{h} - 1}{h})

Eftersom

e^{x}

inte påverkas av att

h

går mot

0

kan man placera

e^{x}

utanför gränsvärdet:

f^{'} (x) = e^{x} \cdot h \to 0 lim \frac{e ^{h} - 1}{h} .

Man kan visa att gränsvärdet

h \to 0 lim \frac{e ^{h} - 1}{h}

är lika med

1

(detta är ett så kallat standardgränsvärde). Det medför att

f^{'} (x) = e^{x} \cdot 1 = e^{x} .

Regel

Derivatan av $e^{k x}$

Derivatan av en exponentialfunktion på formen $f (x) = e^{k x}$ är lika med funktionsuttrycket multiplicerat med koefficienten framför $x .$

Härledning

D (e^{k x}) = k e^{k x}

Man kan visa denna derivata med hjälp av derivatans definition:

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} .

Uttrycket

f (x + h)

får vi genom att ersätta

x

med

x + h

i funktionsuttrycket.

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

$f (x + h) = e^{k (x + h)}$ och $f (x) = e^{k x}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{k (x + h)} - e ^{k x}}{h}

Multiplicera in $k$

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{k x + k h} - e ^{k x}}{h}

$a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{k x} \cdot e ^{k h} - e ^{k x}}{h}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{k x} \cdot e ^{k h} - e ^{k x} \cdot 1}{h}

Bryt ut $e^{k x}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{k x} ( e ^{k h} - 1 )}{h}

MovePartNumLeft

$\frac{a \cdot b}{c} = a \cdot \frac{b}{c}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim (e^{k x} \cdot \frac{e ^{k h} - 1}{h})

Eftersom

e^{k x}

inte innehåller något

h

påverkas inte denna faktor av att

h

går mot

0 .

Man kan därför lyfta ut det från gränsvärdet, vilket ger

f^{'} (x) = e^{k x} \cdot h \to 0 lim \frac{e ^{k h} - 1}{h} .

Man kan visa att gränsvärdet

h \to 0 lim \frac{e ^{k h} - 1}{h}

är lika med

k

(detta är ett så kallat standardgränsvärde). Det medför att

f^{'} (x) = e^{k x} \cdot k = k e^{k x} .

Exempel

Derivera exponentialfunktioner med bas $e$

Derivera följande funktioner.

a

f (x) = e^{x}

b

g (x) = e^{6 x}

Ledtråd

a Använd regeln för derivatan av

e^{x} .

b Använd regeln för derivatan av

e^{k x} .

Lösning

a Eftersom derivatan av

e^{x}

alltid är sin egen derivata är alltså

f^{'} (x) = e^{x} .

b Funktionen

g (x) = e^{6 x}

är på formen

e^{k x}

och eftersom

D (e^{k x}) = k e^{k x}

multiplicerar vi funktionen med koefficienten

6

för att få derivatan:

g^{'} (x) = 6 e^{6 x} .

Regel

Derivatan av $a^{x}$

Derivatan till exponentialfunktioner på formen $f (x) = a^{x},$ dvs. när $a$ är något annat än talet $e$ , är funktionsuttrycket multiplicerat med $ln (a) .$

Härledning

D (a^{x}) = a^{x} \cdot ln (a)

För att visa varför regeln gäller kan man skriva om basen

a

i exponentialfunktionen

f (x) = a^{x}

enligt sambandet

a = e^{l n (a)}

. Sedan använder man deriveringsreglerna för exponentialfunktioner med basen

e .

f (x) = a^{x}

$a = e^{l n (a)}$

f (x) = (e^{l n (a)})^{x}

$(a^{b})^{c} = a^{b \cdot c}$

f (x) = e^{l n (a) \cdot x}

Uttrycken

a^{x}

och

e^{l n (a) \cdot x}

är alltså ekvivalenta och man kan nu använda deriveringsregeln

D (e^{k x}) = k e^{k x}

för att derivera

a^{x} .

Därefter skrivs

e^{l n (a)}

om till

a

igen.

f (x) = e^{l n (a) \cdot x}

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (e^{l n (a) \cdot x})

$D (e^{k x}) = k e^{k x}$

f^{'} (x) = ln (a) \cdot e^{l n (a) \cdot x}

$a^{b \cdot c} = (a^{b})^{c}$

f^{'} (x) = ln (a) \cdot (e^{l n (a)})^{x}

$e^{l n (a)} = a$

f^{'} (x) = ln (a) \cdot a^{x}

Regel

Derivatan av $a^{k x}$

Funktioner på formen $f (x) = a^{k x}$ deriveras på nästan samma sätt som $f (x) = a^{x} .$ Men utöver att multiplicera funktionsuttrycket med $ln (a)$ multipliceras det även med koefficienten $k .$

Härledning

D (a^{k x}) = a^{k x} \cdot k \cdot ln (a)

För att visa varför regeln gäller kan man skriva om basen

a

i exponentialfunktionen

f (x) = a^{k x}

enligt

a = e^{l n (a)}

. Sedan använder man deriveringsreglerna för exponentialfunktioner med basen

e .

f (x) = a^{k x}

$a = e^{l n (a)}$

f (x) = (e^{l n (a)})^{k x}

$(a^{b})^{c} = a^{b \cdot c}$

f (x) = e^{l n (a) \cdot k \cdot x}

Uttrycken

a^{k x}

och

e^{l n (a) \cdot k \cdot x}

är alltså ekvivalenta och man kan nu använda regeln

D (e^{k x}) = k e^{k x}

.

f (x) = e^{l n (a) \cdot k \cdot x}

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (e^{l n (a) \cdot k \cdot x})

$D (e^{k x}) = k e^{k x}$

f^{'} (x) = ln (a) \cdot k \cdot e^{l n (a) \cdot k \cdot x}

$a^{b \cdot c} = (a^{b})^{c}$

f^{'} (x) = ln (a) \cdot k \cdot (e^{l n (a)})^{k x}

$e^{l n (a)} = a$

f^{'} (x) = ln (a) \cdot k \cdot a^{k x}

Omarrangera faktorer

f^{'} (x) = a^{k x} \cdot k \cdot ln (a)

Exempel

Derivera exponentialfunktioner med generell bas

Derivera följande funktioner.

a

f (x) = 5^{x}

b

g (x) = 5^{2 x}

Ledtråd

a Använd regeln för derivatan av

a^{x} .

b Använd regeln för derivatan av

a^{k x} .

Lösning

a Vi kan derivera

f (x) = 5^{x}

med hjälp av regeln

D (a^{x}) = a^{x} \cdot ln (a)

. Vi multiplicerar alltså funktionen med den naturliga logaritmen av basen

5 .

Derivatan blir då

f^{'} (x) = 5^{x} \cdot ln (5) .

b Funktionen

g (x) = 5^{2 x}

skiljer sig från

f (x)

genom att

x

har koefficienten

2 .

Vi använder därför deriveringsregeln

D (a^{k x}) = a^{k x} \cdot k \cdot ln (a)

och multiplicerar funktionen med både

2

och

ln (5) :

g^{'} (x) = 5^{2 x} \cdot 2 \cdot ln (5) .

Övning

Träna på derivator av exponentialfunktioner

Använd reglerna för derivering av exponentialfunktioner för att avgöra vilket alternativ som är derivatan av den givna funktionen.

{{ grade.displayTitle }}

Laddar innehåll