Cirkelns ekvation

En generell cirkel har ekvationen (x-a)^2+(y-b)^2=r^2, där (a,b) är cirkelns medelpunkt och r är cirkelns radie. Vi börjar med att skriva om vår ekvation på denna form.

Nu kan vi, genom att jämföra med den generella ekvationen, läsa av att a=3, b=5 och att r=2. Cirkelns medelpunkt har alltså koordinaterna (3,5) och radien är 2.

Vi gör på samma sätt här. Men för att ekvationen ska stå på rätt form, med minustecken mellan termerna i parenteserna, måste vi utnyttja att addition är samma sak som subtraktion av ett negativt tal.

Nu ser vi att cirkelns medelpunkt är (-12, 40) och att radien är 7.

Även här behöver vi skriva om ena parentesen så att det blir ett minustecken inuti den. Dessutom behöver vi addera 81 till båda led.

Denna cirkel har alltså sin medelpunkt i (9,-4) och radien är 9 le.

I det här fallet måste båda parenteserna skrivas om. Vi ser även att radien måste bli sqrt(5) le., eftersom man kan skriva om 5 som (sqrt(5))^2.

Medelpunkten för cirkeln är (-26,-32) och radien är sqrt(5).

För att förstå vad medelpunktens x-koordinat är kan vi skriva om x som x-0.

Alltså är medelpunktens koordinater (0,12) och radien är 5 le.

Ekvationen för en generell cirkel med medelpunkten (a,b) och radien r är (x-a)^2+(y-b)^2=r^2. Känner vi till medelpunkten och radien kan alltså bara sätta in dem i ekvation. Vi börjar med att bestämma medelpunkten genom att läsa av dess koordinater.

Vi ser att medelpunkten finns i (1,2), så a = 1 och b = 2. Vi bestämmer sedan radien genom att läsa av avståndet från cirkelns medelpunkt ut till randen.

Radien, r, är 2. Vi kan nu sätta in värdena på a, b och r i cirkelns ekvation för att få ekvationen för den här specifika cirkeln.

Cirkelns ekvation är alltså (x-1)^2+(y-2)^2=4.

Vi gör på samma sätt som i föregående deluppgift och börjar med att läsa av medelpunktens koordinater och radien.

Vi ser att medelpunkten finns i (-3,-2) och att radien är 5.

Vi sätter sedan in a=-3, b=-2 och r=5 i cirkelns ekvation och förenklar.

Ekvationen för cirkeln är alltså (x+3)^2+(y+2)^2=25.

Vi gör på samma sätt ännu en gång och kan direkt se att cirkeln har medelpunkt i origo, dvs. i (0,0). Radien läser vi av till 3.

Vi sätter in värdena i cirkelns ekvation och förenklar.

Cirkeln har alltså ekvationen x^2+y^2=9.

Vi börjar med att ta reda på medelpunktens koordinater genom att jämföra vår cirkels ekvation med ekvationen för en generell cirkel, (x-a)^2 + (y-b)^2=r^2, där r är radien och a och b är medelpunktens x- respektive y-koordinat. Vi skriver om den givna vänsterledet på denna form. Då kan vi läsa av medelpunkten.

Vår cirkel har alltså sin medelpunkt i (5,-15) vilket innebär att den ligger i 4:e kvadranten.

Den punkt på cirkeln som ligger längst till vänster är den som ligger en radie rakt åt vänster från medelpunkten sett. Genom att skriva om 100 som 10^2 ser vi att cirkelns radie är 10: (x-5)^2 + (y-(-15))^2=10^2. Det innebär att punkten längst till vänster ligger 10 le. åt vänster räknat från medelpunkten (5,-15) dvs. (-5, -15). Denna punkt befinner sig i tredje kvadranten.

Vi sätter in medelpunkten och punkten på cirkelns rand i cirkelns ekvation och löser sedan ut radien r.

Radien är alltså 17 le.

Ekvationen för Athenas cirkel, (x-5)^2 + (y-1)^2 = 7, uppfylls av alla punkter (x,y) som ligger på cirkelns rand. Men det innebär också att punkter som gör att vänster- och högerled blir olika inte ligger på randen. Athena har alltså visat att punkten (2,2) inte ligger på randen till cirkeln (x-5)^2 + (y-1)^2 = 7.

Om punkten ligger på cirkelns rand uppfyller den cirkelns ekvation. Vänster- och högerleden i ekvationen ska alltså bli lika stora när man sätter in punktens koordinater.

Eftersom vänster- och högerled inte blev lika stora kan punkten inte ligga på cirkeln.

Vi gör på samma sätt igen och sätter in punkten i cirkelns ekvation för att sedan förenkla.

Koordinaterna uppfyller likheten, vilket innebär att punkten alltså ligger på linjen.