| {{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount }} |
| {{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount }} |
| {{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }} |
Om man vill undersöka en grafs utseende kan man studera dess lutning. Med hjälp av begreppen konvex och konkav kan man också undersöka hur lutningen förändras. Om en kurva buktar uppåt säger man att den är konkav, vilket innebär att grafens lutning minskar när man går mot större x-värden. Buktar kurvan istället nedåt är den är konvex, och då ökar kurvans lutning.
Definitionen av en konkav funktion är att om en rät linje dras mellan två godtyckliga punkter på grafen ligger alla punkter på linjen under eller på kurvan. För konvexa funktioner ligger istället alla linjer mellan två punkter ovanför eller på kurvan. Vissa funktioner är konvexa och konkava på olika intervall, exempelvis funktionen i figuren.
Den punkt där en kurva byter från att vara konvex till att vara konkav eller vice versa kallas för inflexionspunkt. Exempelvis är den vita punkten i figuren en inflexionspunkt.
I figuren visas grafen till funktionen f(x) med inflexionspunkten markerad.
För vilka x är funktionen konkav och för vilka är den konvex?
Funktionen är konvex till vänster om inflexionspunkten eftersom den buktar nedåt där, och konkav till höger eftersom den buktar uppåt där. Om man känner sig osäker kan man alltid välja två punkter i varje område och rita ut raka sträckor mellan dem.
Sträckan i det vänstra området ligger ovanför grafen, så funktionen måste vara konvex där. I det högra området ligger den istället under vilket innebär att funktionen är konkav där. Själva inflexionspunkten ingår i båda intervallen, vilket betyder att funktionen är konvex när x≤5 och konkav när x≥5.
Andraderivatan av en funktion f(x) är derivatan av funktionens derivata. För att bestämma andraderivatan till f(x) deriverar man därför funktionen två gånger. Andraderivatan skrivs ofta f′′(x), vilket utläses f bis av x.
På samma sätt som derivatan f′(x) beskriver hur lutningen på grafen till f(x) förändras, beskriver andraderivatan hur lutningen på grafen till f′(x) förändras. Där andraderivatan är negativ är grafen till f(x) konkav och där den är positiv är grafen till f(x) konvex.
f′′(x)<0⇒f(x) är konkav (⌢)
f′′(x)>0⇒f(x) är konvex (⌣)
Det finns ett samband mellan andraderivatans tecken och stationära punkters karaktär.
Med hjälp av förstaderivatan och andraderivatan kan man bestämma en funktions lokala extrempunkter och avgöra deras karaktär. Man kan t.ex. göra det för funktionen f(x)=0.25x4−2x3+4.5x2+3.
Derivera funktion
D(axn)=a⋅nxn−1
D(a)=0
Funktionens stationära punkter finns där derivatan är lika med 0. För att hitta dessa punkter sätter man alltså f′(x) lika med 0 och löser ekvationen.
Dela upp i faktorer
Bryt ut x
Använd nollproduktmetoden
Den andra ekvationen kan lösas med pq-formeln.
Använd pq-formeln: p=-6,q=9
Beräkna kvot
-(-a)=a
Beräkna potens
Subtrahera term
Förenkla rot & termer
Derivera funktion
D(xn)=nxn−1
D(axn)=a⋅nxn−1
D(ax)=a
Därefter sätter man in x-värdena för de stationära punkterna i f′′(x), vilka man beräknade i förra steget, för att bestämma andraderivatans tecken i dessa.
x=0
Beräkna potens
Multiplicera faktorer
När x är 0 är andraderivatan 9, alltså positiv, vilket innebär att f(x) har en minimipunkt där.
x=3
Beräkna potens
Multiplicera faktorer
Addera och subtrahera termer
När x=3 är andraderivatan 0. Det säger inget om vilken sorts stationär punkt som finns där. Det kan vara en terrasspunkt, men det kan också vara en maximi- eller minimipunkt.
Om någon stationär punkt har andraderivatan 0 kan denna vara antingen en terrass-, maximi- eller minimipunkt. För att avgöra karaktären kan man göra en teckentabell kring den. x-värdena man väljer får inte ligga på andra sidan om övriga stationära punkter. Här innebär det att man ska välja ett x-värde på intervallet 0<x<3 och ett på intervallet x>3.
x | 0 | 3 | ||
---|---|---|---|---|
f′(x) | 0 | + | 0 | + |
f(x) | Min | ↗ | Ter. | ↗ |
Förstaderivatan är positiv både till höger och vänster om x=3. Det finns alltså en terrasspunkt där.
Eftersom terrasspunkter inte är extrempunkter utesluter man dessa, i det här fallet punkten där x=3.
x=0
Beräkna potens
Multiplicera faktorer
Funktionen har alltså ett minimum i (0,3).