Gränsvärden

Ett gränsvärde anger vilket funktionsvärde en funktion närmar sig när man kommer nära ett visst x-värde. Den räta linjen 2x+7 är definierad för alla reella x, dvs. även för x=5, så vi kan bestämma gränsvärdet genom att sätta in x=5 i uttrycket och beräkna.

Gränsvärdet när x går mot 5 är alltså 17.

Uttrycket 9-x^2 är också definierat för alla x så även här kan vi sätta in x=2 i uttrycket och beräkna.

Gränsvärdet är alltså 5.

Bråket är definierat i x=10, så vi gör på samma sätt som i föregående deluppgifter.

Gränsvärdet är alltså 0,1.

Ett gränsvärde anger vilket värde ett funktionsuttryck närmar sig när man kommer nära ett visst x-värde. Den räta linjen x-7 är definierad för alla reella x, dvs. även för x=7, så vi kan bestämma gränsvärdet när x går mot 7 genom att sätta in x=7 i uttrycket och beräkna.

När x går mot 7 är går x-7 mot 0.

Även x5 är definierad för alla x så vi kan bestämma gränsvärdet när x går mot - 2 genom att sätta in x=- 2.

När x går mot - 2 är funktionsuttryckets gränsvärde - 0,4.

Vi kan bestämma gränsvärdet när x går mot 12 genom att sätta in 12 i uttrycket. Men vi kan börja med att förenkla bråket.

När x går mot 12 är funktionsuttryckets gränsvärde 14.

Funktionen 7+x är kontinuerlig och definierad för alla reella x, dvs. även för x=1. Vi kan därför beräkna gränsvärdet genom att direkt sätta in x=1 i funktionsuttrycket då vi låter x gå mot 1.

Gränsvärdet är 8, dvs. funktionsvärdet för funktionen 7+x närmar sig 8 då x → 1.

Även 2x-16 är definierad för alla x så vi beräknar gränsvärdet genom att sätta in x=0 i funktionsuttrycket.

Bråket är inte definierat för x=0 eftersom detta ger nolldivision. Men om vi förenklar det får vi ett uttryck som är definierat för x=0 och vi kan därmed beräkna gränsvärdet genom att sätta in x=0 i det förenklade uttrycket.

Gränsvärdet lim _(x→ 0) 4x^2x är alltså lika med 0.

Uttrycket är odefinierat för a=0 eftersom nämnaren är a. Vi kan därför inte sätta in a=0 för att beräkna gränsvärdet. Men eftersom samtliga termer är variabeltermer som innehåller a kan vi förenkla bråket.

Uttrycket a+1 är ekvivalent med a^2+aa när a≠ 0. I det förenklade uttrycket kan vi dock bestämma gränsvärdet när a går mot noll genom att sätta in a=0 och beräkna.

Gränsvärdet är alltså 1 när a går mot 0.

Inte heller här kan vi sätta in h=1 direkt i uttrycket eftersom det ger nolldivision. Men differensen 1-h finns i både täljare och nämnare så vi kan förenkla bråket.

I det förenklade uttrycket kan vi nu beräkna gränsvärdet genom att sätta in h=1.

Gränsvärdet är alltså 0 när h går mot 1.

I täljaren står det x^2-9 och genom att skriva om 9 som 3^2 kan vi använda konjugatregeln för att faktorisera uttrycket i täljaren och därefter förkorta.

Gränsvärdet är 6.

För att förenkla uttrycket börjar vi med att skriva om täljaren som x^2-2^2. Man kan då se att det står på rätt form för att kunna faktorisera det med konjugatregeln. Gör man det går det sedan att förkorta bort x-2.

Den här gången har täljaren en form som går att skriva om med hjälp av första kvadreringsregeln. Gör man det går det sedan att förkorta bort uttrycket i nämnaren.

Den här täljaren kan också skrivas om med konjugatregeln, och för att lättare kunna se det börjar vi med att omarrangerar termerna i täljare och nämnare.

I både täljaren och nämnaren finns faktorn x + 50, fast olika många gånger: 3 gånger i täljaren och 2 gånger i nämnaren. Det innebär att vi direkt kan förkorta bort nämnaren, alltså (x+50)^2, innan vi beräknar gränsvärdet.

Här förenklar vi först nämnaren genom att addera termerna och faktoriserar sedan täljaren med konjugatregeln.

Den här gången faktoriserar vi täljaren med första kvadreringsregeln och förkortar sedan.

Vi bestämmer gränsvärdet numeriskt genom att sätta in x-värden som ligger väldigt nära x=2. Vi börjar med att gå från vänster, dvs. vi sätter in x-värden som är lite mindre än 2. Första insättningen kan t.ex. vara x=1,9: 1,9^3 - 2 * 1,9^2 + 4 * 1,9 -8/1,9-2=7,61. Genom att fortsätta på samma sätt kan vi fylla i tabellen.

Nu gör vi samma sak, men närmar oss x=2 från höger.

Funktionsvärdet verkar gå mot 8 i båda fall så gränsvärdet lim _(x→ 2)x^3 - 2 x^2 + 4 x -8/x-2 är antagligen 8.

Vi gör på samma sätt och låter x närma sig x=-3 från vänster.

Nu gör vi samma sak, men nu närmar vi oss x=-3 från höger.

Funktionsvärdet verkar gå mot 0 i båda fall, så gränsvärdet när x går mot -3 är 0.

Vi börjar med att konstatera att funktionen är odefinierad för x=3, eftersom nämnaren 2x-6 blir 0 då. Sedan skriver vi in funktionsuttrycket och ritar upp grafen med grafräknaren. Grafen är osammanhängande i x = 3 eftersom den inte är definierad där, så den lodräta linjen vid x=3 ska egentligen inte ritas ut.

Vi tänker bort linjen när vi resonerar kring vänstergränsvärdet. Vi ser att om vi närmar oss x=3 från vänster så går grafen nedåt mot mindre och mindre y-värden. Den verkar närma sig negativa oändligheten, vilket inte är ett tal och därför existerar inte vänstergränsvärdet lim _(x → 3^-) 7/2x-6. Man säger ibland att funktionen har det oegentliga gränsvärdet- ∞.

Med motsvarande resonemang som i förra deluppgiften inser vi att högergränsvärdet lim _(x → 3^+) 7/2x-6 inte heller existerar eftersom grafen växer mot positiva oändligheten om vi närmar oss från höger, dvs. funktionen har det oegentliga gränsvärdet ∞.

När h→ ∞ blir nämnaren i kvoten 7h oändligt stor. Hela kvoten 7h kommer då att bli oändligt liten eftersom vi delar med ett mycket stort tal. Man kan motivera detta resonemang ännu tydligare genom att beräkna kvoten för några olika stora värden på h.

Ju större nämnaren är, desto mindre blir alltså kvoten: den närmar sig 0. I samband med att vi låter h → ∞ approximerar vi därför 7h med 0. Talet 8 påverkas inte då det inte innehåller h.

Gränsvärdet är alltså 8 när h går mot oändligheten.

Här börjar vi med att förenkla uttrycket genom att dela upp bråket.

När x går mot oändligheten blir kvoten 9x oändligt liten, enligt samma resonemang som ovan. Den blir så pass liten att den kan approximeras med 0.

Gränsvärdet blir 1.

f(-1) är funktionens värde då x=-1. Vi ser att funktionen har delats upp i två delar: f(x) = x^3+x^2+1, & x ≠ -1 0,5, & x=-1. Funktionsvärdet beräknas alltså på olika sätt beroende på vilket x som sätts in. Om x inte är -1 används formeln x^3+x^2+1, men just för x=-1 blir funktionsvärdet 0,5, utan att något behöver beräknas. Alltså är f(-1) = 0,5.

Vi vet att funktionsvärdet då x=-1 är 0,5. Eftersom gränsvärdet vi ska bestämma gäller just detta x kan man kanske tro att även gränsvärdet blir 0,5. Det kan man dock inte anta, utan man måste undersöka vad gränsvärdet faktiskt blir. För att få en tydligare bild av hur funktionen ser ut ritar vi den. f(-1)=0,5 motsvarar punkten (-1,0,5), men för alla andra x följer funktionen kurvan x^3+x^2+1.

Det är nödvändigt att sätta en tom ring i kurvan där x=-1 för att visa att funktionen inte går genom den punkten. Det kan inte finnas två olika funktionsvärden för x=-1, och det är (-1,0,5) som gäller. Detta hopp vid x=-1 innebär att gränsvärdet och funktionsvärdet faktiskt kommer vara olika här. Gränsvärdet är det funktionsvärde som f(x) närmar sig då x kommer väldigt nära -1. Eftersom kurvan går mot den vita punkten är det den vita punktens y-värde som kommer vara gränsvärdet.

Gränsvärdet är alltså 1, vilket också kan kontrolleras med en insättning av x=-1 i x^3 + x^2 + 1: (-1)^3 + (-1)^2 + 1 = 1.