| {{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount }} |
| {{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount }} |
| {{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }} |
I koordinatsystemet visas grafen till funktionen f(x)=5−91/x. Om man testar olika x-värden kan man se att funktionsvärdet verkar närma sig y-värdet 4 då x blir större och större.
Man säger att 4 är funktionens gränsvärde när x går mot oändligheten. Ett gränsvärde anger alltså det y-värde en funktion närmar sig när x-värdet går mot ett specifikt tal eller när det går mot positiva oändligheten (∞) eller mot negativa oändligheten (-∞).
Gränsvärden skrivs med hjälp av lim, en förkortning av det latinska ordet limes (gräns). Nedanför lim skriver man vad x går mot genom att använda en pil. Därefter skriver man funktionsuttrycket samt vad gränsvärdet är.
Avgör om följande påståenden om gränsvärden är sanna (S) eller falska (F):
A. Om x går mot ett specifikt tal är gränsvärdet det y-värde funktionen närmar sig.
B. Gränsvärde är alltid samma sak som funktionsvärde.
C. "Gränsvärdet för funktionen y=2x−1 när x går mot 5 är 9" skrivs x=5lim (2x−1)→9.
D. Om x→∞ så är gränsvärdet oändligt stort.
E. Gränsvärden kan användas för att ange vilket värde ett rationellt uttryck går mot för ett givet x-värde för vilket funktionen ej är definierad.
Vi går igenom påståendena ett i taget.
Sant, detta är i princip definitionen av ett gränsvärde.
Falskt. Ett funktionsvärde tillhör alltid en funktions värdemängd. Ett gränsvärde liknar ett funktionsvärde men det tillhör inte nödvändigtvis funktionens värdemängd. Exempelvis är gränsvärdet x→∞lim (5−91/x)=4, men funktionen närmar sig bara detta värde: det kommer aldrig bli 4.
Falskt. Vi visade exempelvis att gränsvärdet för f(x)=5−91/x då x→∞ var 4, vilket inte är detsamma som oändligheten.
Sant. Istället för att bara konstatera att exempelvis g(x)=x−2x2−4 är odefinierad för x=2 kan man i vissa fall använda gränsvärden för att ta reda på vad funktionen närmar sig för detta x.
Vi sammanfattar svaren i en tabell.
Påstående | S/F |
---|---|
A. | S |
B. | F |
C. | F |
D. | F |
E. | S |
Det finns två olika fall då man säger att gränsvärden saknas, eller inte existerar.
Funktionen är odefinierad för x=1, men vi kan bestämma gränsvärdet numeriskt. För att gränsvärdet ska existera måste både vänster- och högergränsvärde existera och vara samma. Man kan börja med vänstergränsvärdet, och väljer då några x-värden lite mindre än 1.
x | 0.9 | 0.99 | 0.999 | →1 |
---|---|---|---|---|
x−1x2+4x−5 |
x | 0.9 | 0.99 | 0.999 | →1 |
---|---|---|---|---|
x−1x2+4x−5 | 5.900 | 5.990 | 5.999 | →6 |
Funktionsvärdet verkar närma sig 6, så man kan skriva "går mot 6" i sista kolumnen.
Sedan gör man samma sak för x-värden lite större än 1.
x | 1.1 | 1.01 | 1.001 | →1 |
---|---|---|---|---|
x−1x2+4x−5 | 6.100 | 6.010 | 6.001 | →6 |
Börja med att fundera över vad som skulle hända om x=2 sätts in i funktionsuttrycket. Ibland kan gränsvärdet nämligen beräknas direkt, utan förenkling. I det här fallet blir dock nämnaren 0 om x=2, så denna insättning är inte tillåten eftersom man då får nolldivision.
Genom att förenkla funktionsuttrycket kan man förhoppningsvis få något där uttrycket inte blir odefinierat när x är 2. Här kan täljaren faktoriseras med konjugatregeln. Då ser man att faktorn (x−2) kommer att kunna förkortas bort.
Skriv som potens
Faktorisera med konjugatregeln
Förkorta med (x−2)
Nu är uttrycket förenklat så långt som möjligt och nämnaren har förkortats bort, vilket var målet.
Förkorta med x2
Dela upp bråk
Förenkla kvot
När x går mot oändligheten kommer nämnarna x2 och x att bli mycket stora, dvs. värdet på x25 och x3 kommer hamna nära 0 precis som i det inledande exemplet. Båda bråken går alltså mot 0 då x→∞.
Gränsvärdet för 2x2−3xx2+5 då x→∞ är alltså 21.