body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Mitt konto

Kurs 3b Visa detaljer

7. Gränsvärden

Lektion

Övningar

Tester

eKurser /

( Ma 3b , Ma 3c ) /

Kapitel 1

Gränsvärden

Denna lektion förklarar konceptet med gränsvärden och lim i matematik. Gränsvärden används för att bestämma vad funktionsvärdet närmar sig när x-värdet går mot ett specifikt tal eller mot oändligheten. Gränsvärden skrivs med hjälp av lim, en förkortning av det latinska ordet limes (gräns). Gränsvärden kan beräknas direkt om funktionen är kontinuerlig för det x-värde som sätts in. Om funktionen är odefinierad för det värde som x går mot, måste gränsvärdet undersökas på andra sätt, till exempel numeriskt eller genom omskrivningar av uttrycket.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	7 sidor teori
	22 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Gränsvärden

Sida av 7

Vissa funktioner är odefinierade för specifika

x

-värden, vilket gör att man inte kan bestämma funktionsvärdet just där. Exempelvis kan man inte bestämma funktionsvärdet då

x = 2

för den rationella funktionen

f (x) = \frac{5 x}{x - 2}

eftersom nämnaren är lika med

0

då. Men vad händer med funktionsvärdet om man kommer väldigt nära

x = 2 ?

Detta är en typ av fråga som man kan besvara med hjälp av så kallade gränsvärden.

Begrepp

Gränsvärde

I koordinatsystemet visas grafen till funktionen $f (x) = 5 - 9^{1 / x} .$ Om man testar olika $x$ -värden kan man se att funktionsvärdet verkar närma sig $y$ -värdet $4$ då $x$ blir större och större.

Man säger att 4 är funktionens gränsvärde när $x$ går mot oändligheten. Ett gränsvärde anger alltså det $y$ -värde en funktion närmar sig när $x$ -värdet går mot ett specifikt tal eller när det går mot positiva oändligheten $(\infty)$ eller mot negativa oändligheten $(- \infty) .$

Notation

x \to a lim f (x) = C

Gränsvärden skrivs med hjälp av lim, en förkortning av det latinska ordet limes (gräns). Nedanför lim skriver man vad $x$ går mot genom att använda en pil. Därefter skriver man funktionsuttrycket samt vad gränsvärdet är.

Begrepp

Gränsvärde för definierade uttryck

Den enklaste sortens gränsvärde är det då funktionen är definierad för det värde som

x

går mot. Då kan gränsvärdet beräknas direkt genom en insättning:

x \to 1 lim (x^{2} + x + 5) = 1^{2} + 1 + 5 = 7 .

Detta fungerar bara om funktionen är kontinuerlig för det

x

-värde som sätts in.

Begrepp

Gränsvärde för odefinierade uttryck

Ofta går insättningen inte att göra direkt pga. att funktionen är odefinierad för det värde som

x

går mot. Ett återkommande fall är gränsvärden av rationella funktioner, som t.ex.

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2} .

Sätter man in

x = 2

direkt får man nolldivision. Gränsvärdet måste därför undersökas på andra sätt, t.ex. numeriskt eller genom omskrivningar av uttrycket.

Vad är sant och vad är falskt om gränsvärden?

fullscreen

Avgör om följande påståenden om gränsvärden är sanna (S) eller falska (F):
A. Om $x$ går mot ett specifikt tal är gränsvärdet det $y$ -värde funktionen närmar sig.
B. Gränsvärde är alltid samma sak som funktionsvärde.
C. "Gränsvärdet för funktionen $y = 2 x - 1$ när $x$ går mot $5$ är $9$ " skrivs $x = 5 lim (2 x - 1) \to 9 .$
D. Om $x \to \infty$ så är gränsvärdet oändligt stort.
E. Gränsvärden kan användas för att ange vilket värde ett rationellt uttryck går mot för ett givet $x$ -värde för vilket funktionen ej är definierad.

Visa Lösning

Vi går igenom påståendena ett i taget.

Påstående A

Sant, detta är i princip definitionen av ett gränsvärde.

Påstående B

Falskt. Ett funktionsvärde tillhör alltid en funktions värdemängd. Ett gränsvärde liknar ett funktionsvärde men det tillhör inte nödvändigtvis funktionens värdemängd. Exempelvis är gränsvärdet $x \to \infty lim (5 - 9^{1 / x}) = 4,$ men funktionen närmar sig bara detta värde: det kommer aldrig bli $4 .$

Påstående C

Falskt. I påståendet står det att

x

ska gå mot

5,

inte vara lika med

5

som det står i notationen. I notationen står det också att gränsvärdet går mot

9,

vilket är fel eftersom ett gränsvärde inte är "rörligt" utan alltid lika med någonting. Slutsatsen är alltså att pilen och likhetstecknet ska byta plats, så det istället står

x \to 5 lim (2 x - 1) = 9 .

Påstående D

Falskt. Vi visade exempelvis att gränsvärdet för $f (x) = 5 - 9^{1 / x}$ då $x \to \infty$ var $4,$ vilket inte är detsamma som oändligheten.

Påstående E

Sant. Istället för att bara konstatera att exempelvis $g (x) = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ är odefinierad för $x = 2$ kan man i vissa fall använda gränsvärden för att ta reda på vad funktionen närmar sig för detta $x .$

Sammanfattning

Vi sammanfattar svaren i en tabell.

Påstående	S/F
A.	S
B.	F
C.	F
D.	F
E.	S

Förklaring

När existerar inte gränsvärden?

Det finns två olika fall då man säger att gränsvärden saknas, eller inte existerar.

Förklaring

Oegentligt gränsvärde

Det ena är om funktionsvärdet går mot oändligheten

(\infty)

eller minus oändligheten

(- \infty)

för ett visst

x

-värde, dvs. om funktionsvärdet blir oändligt stort eller oändligt litet. Detta kallas oegentligt gränsvärde.

Förklaring

Höger- och vänstergränsvärde är olika

Det andra är om en funktion går mot olika

y

-värden för samma

x

-värde. För

x = 5

närmar sig funktionen

f (x)

värdet

y = 1

från vänster, och

y = 3

om man kommer från höger.

Man säger då att vänstergränsvärdet

x \to 5^{-} lim f (x)

är

1

och högergränsvärdet

x \to 5^{+} lim f (x)

är

3 .

Eftersom de är olika innebär det att gränsvärdet inte existerar för

f (x)

när

x \to 5 .

Metod

Bestämma gränsvärde numeriskt

Att bestämma ett gränsvärde med numerisk metod innebär att man provar sig fram till vad gränsvärdet för en funktion är när den går mot ett specifikt

x

-värde. Exempelvis kan gränsvärdet

x \to 1 lim \frac{x ^{2} + 4 x - 5}{x - 1}

bestämmas med denna metod.

Gör en tabell för

x

-värden som närmar sig från vänster

Funktionen är odefinierad för $x = 1,$ men vi kan bestämma gränsvärdet numeriskt. För att gränsvärdet ska existera måste både vänster- och högergränsvärde existera och vara samma. Man kan börja med vänstergränsvärdet, och väljer då några $x$ -värden lite mindre än $1 .$

$x$	$0.9$	$0.99$	$0.999$	$\to 1$
$\frac{x ^{2} + 4 x - 5}{x - 1}$

Sedan beräknar man funktionsvärdet för

x

-värdena. Första värdet blir

\frac{0 . 9 ^{2} + 4 \cdot 0 . 9 - 5}{0 . 9 - 1} = 5.900

och sedan fortsätter man på samma sätt.

$x$	$0.9$	$0.99$	$0.999$	$\to 1$
$\frac{x ^{2} + 4 x - 5}{x - 1}$	$5.900$	$5.990$	$5.999$	$\to 6$

Funktionsvärdet verkar närma sig $6,$ så man kan skriva "går mot $6$ " i sista kolumnen.

Gör en tabell för

x

-värden som närmar sig från höger

Sedan gör man samma sak för $x$ -värden lite större än $1 .$

$x$	$1.1$	$1.01$	$1.001$	$\to 1$
$\frac{x ^{2} + 4 x - 5}{x - 1}$	$6.100$	$6.010$	$6.001$	$\to 6$

Bestäm gränsvärdet med hjälp av tabellerna

Både höger- och vänstergränsvärdet verkar vara

6

så det är rimligt att anta att detta är funktionens gränsvärde när

x

går mot

1

, dvs.

x \to 1 lim \frac{x ^{2} + 4 x - 5}{x - 1} = 6 .

Metod

Bestämma gränsvärde när $x$ går mot ett tal

En vanlig algebraisk metod för att bestämma ett gränsvärde är att förenkla funktionsuttrycket så att man kan "sätta in" värdet på

x .

Man kan exempelvis bestämma gränsvärdet

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}

med denna metod.

Kontrollera vad som händer om

x

sätts in

Börja med att fundera över vad som skulle hända om $x = 2$ sätts in i funktionsuttrycket. Ibland kan gränsvärdet nämligen beräknas direkt, utan förenkling. I det här fallet blir dock nämnaren $0$ om $x = 2,$ så denna insättning är inte tillåten eftersom man då får nolldivision.

Förenkla funktionsuttrycket

Genom att förenkla funktionsuttrycket kan man förhoppningsvis få något där uttrycket inte blir odefinierat när $x$ är $2 .$ Här kan täljaren faktoriseras med konjugatregeln. Då ser man att faktorn $(x - 2)$ kommer att kunna förkortas bort.

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}

WritePow

Skriv som potens

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 2 ^{2}}{x - 2}

FacDiffSquares

Faktorisera med konjugatregeln

x \to 2 lim \frac{( x + 2 ) ( x - 2 )}{x - 2}

ReduceFrac

Förkorta med $(x - 2)$

x \to 2 lim (x + 2)

Nu är uttrycket förenklat så långt som möjligt och nämnaren har förkortats bort, vilket var målet.

Sätt in

x

-värdet

Slutligen låter man $x$ gå mot talet i fråga, i det här fallet $2 .$ Detta steg skrivs " $x \to 2$ " och innebär rent praktiskt att man plockar bort " $x \to 2 lim$ " samt byter ut alla $x$ i funktionsuttrycket mot $2 .$

x \to 2 lim (x + 2)

$x \to 2$

2 + 2

AddTerms

Addera termer

4

Gränsvärdet för $\frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ då $x \to 2$ är alltså $4 .$

Metod

Bestämma gränsvärde när $x$ går mot oändligheten

Ett sätt att beräkna gränsvärden för rationella funktioner bygger på principen att division med en stor nämnare ger en kvot som ligger väldigt nära

0

. T.ex. är

\frac{1}{1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0} = 0.00000000000001 .

När ett bråks nämnare går mot oändligheten kommer därför bråkets värde att gå mot

0 .

Man kan t.ex. använda detta för att bestämma gränsvärdet

x \to \infty lim \frac{x ^{2} + 5}{2 x ^{2} - 3 x} .

Förkorta med termen av högst grad

Syftet med detta steg är att skriva om termerna med högst grad till konstanter och övriga termer på formen

\frac{a}{x}, \frac{a}{x ^{2}}, \frac{a}{x ^{3}}, osv .

Dessa termer kommer då, enligt principen ovan, närma sig

0

när

x

går mot oändligheten. Ett sätt att få till detta är att förkorta med termen som har högst grad. Här är polynomen i både täljare och nämnare andragradspolynom, så det är

x^{2}

man ska förkorta med.

x \to \infty lim \frac{x ^{2} + 5}{2 x ^{2} - 3 x}

ReduceFrac

Förkorta med $x^{2}$

x \to \infty lim \frac{( x ^{2} + 5 ) / x ^{2}}{( 2 x ^{2} - 3 x ) / x ^{2}}

WriteSumFrac

Dela upp bråk

x \to \infty lim \frac{\frac{x ^{2}}{x ^{2}} + \frac{5}{x ^{2}}}{\frac{2 x ^{2}}{x ^{2}} - \frac{3 x}{x ^{2}}}

SimpQuot

Förenkla kvot

x \to \infty lim \frac{1 + \frac{5}{x ^{2}}}{2 - \frac{3}{x}}

Låt

x

gå mot oändligheten

När $x$ går mot oändligheten kommer nämnarna $x^{2}$ och $x$ att bli mycket stora, dvs. värdet på $\frac{5}{x ^{2}}$ och $\frac{3}{x}$ kommer hamna nära $0$ precis som i det inledande exemplet. Båda bråken går alltså mot $0$ då $x \to \infty .$

 $x \to \infty lim \frac{1 + \frac{5}{x ^{2}}}{2 - \frac{3}{x}}$ 
To $x \to \infty$ 
 $\frac{1 + 0}{2 - 0}$ 
AddSubTermsAddera och subtrahera termer
 $\frac{1}{2}$

Gränsvärdet för $\frac{x ^{2} + 5}{2 x ^{2} - 3 x}$ då $x \to \infty$ är alltså $\frac{1}{2} .$

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Gränsvärden

Övningar

Bestäm gränsvärdet.

x \to 5 lim (2 x + 7)

x \to 2 lim (9 - x^{2})

x \to 10 lim \frac{1}{x}

Ett gränsvärde anger vilket funktionsvärde en funktion närmar sig när man kommer nära ett visst x-värde. Den räta linjen 2x+7 är definierad för alla reella x, dvs. även för x=5, så vi kan bestämma gränsvärdet genom att sätta in x=5 i uttrycket och beräkna.

Gränsvärdet när x går mot 5 är alltså 17.

Uttrycket 9-x^2 är också definierat för alla x så även här kan vi sätta in x=2 i uttrycket och beräkna.

Gränsvärdet är alltså 5.

Bråket är definierat i x=10, så vi gör på samma sätt som i föregående deluppgifter.

Gränsvärdet är alltså 0.1.

Bestäm gränsvärdet.

x \to 7 lim (x - 7)

x \to - 2 lim \frac{x}{5}

x \to 12 lim (\frac{x ^{2}}{x} + 2)

Ett gränsvärde anger vilket värde ett funktionsuttryck närmar sig när man kommer nära ett visst x-värde. Den räta linjen x-7 är definierad för alla reella x, dvs. även för x=7, så vi kan bestämma gränsvärdet när x går mot 7 genom att sätta in x=7 i uttrycket och beräkna.

När x går mot 7 är går x-7 mot 0.

Även x5 är definierad för alla x så vi kan bestämma gränsvärdet när x går mot - 2 genom att sätta in x=- 2.

När x går mot - 2 är funktionsuttryckets gränsvärde - 0.4.

Vi kan bestämma gränsvärdet när x går mot 12 genom att sätta in 12 i uttrycket. Men vi kan börja med att förenkla bråket.

När x går mot 12 är funktionsuttryckets gränsvärde 14.

Beräkna gränsvärdet.

x \to 1 lim (7 + x)

x \to 0 lim (2 x - 16)

x \to 0 lim \frac{4 x ^{2}}{x}

Funktionen 7+x är kontinuerlig och definierad för alla reella x, dvs. även för x=1. Vi kan därför beräkna gränsvärdet genom att direkt sätta in x=1 i funktionsuttrycket då vi låter x gå mot 1.

Gränsvärdet är 8, dvs. funktionsvärdet för funktionen 7+x närmar sig 8 då x → 1.

Även 2x-16 är definierad för alla x så vi beräknar gränsvärdet genom att sätta in x=0 i funktionsuttrycket.

Bråket är inte definierat för x=0 eftersom detta ger nolldivision. Men om vi förenklar det får vi ett uttryck som är definierat för x=0 och vi kan därmed beräkna gränsvärdet genom att sätta in x=0 i det förenklade uttrycket.

Gränsvärdet lim _(x→ 0) 4x^2x är alltså lika med 0.

Bestäm gränsvärdent genom att först förenkla det rationella uttrycket.

a \to 0 lim \frac{a ^{2} + a}{a}

h \to 1 lim \frac{( 1 - h ) ^{3}}{1 - h}

x \to 3 lim \frac{x ^{2} - 9}{x - 3}

Uttrycket är odefinierat för a=0 eftersom nämnaren är a. Vi kan därför inte sätta in a=0 för att beräkna gränsvärdet. Men eftersom samtliga termer är variabeltermer som innehåller a kan vi förenkla bråket.

Uttrycket a+1 är ekvivalent med a^2+aa när a≠ 0. I det förenklade uttrycket kan vi dock bestämma gränsvärdet när a går mot noll genom att sätta in a=0 och beräkna.

Gränsvärdet är alltså 1 när a går mot 0.

Inte heller här kan vi sätta in h=1 direkt i uttrycket eftersom det ger nolldivision. Men differensen 1-h finns i både täljare och nämnare så vi kan förenkla bråket.

I det förenklade uttrycket kan vi nu beräkna gränsvärdet genom att sätta in h=1.

Gränsvärdet är alltså 0 när h går mot 1.

I täljaren står det x^2-9 och genom att skriva om 9 som 3^2 kan vi använda konjugatregeln för att faktorisera uttrycket i täljaren och därefter förkorta.

Gränsvärdet är 6.

Bestäm gränsvärdet genom att först förenkla de rationella uttrycken.

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}

x \to - 6 lim \frac{x ^{2} + 1 2 x + 3 6}{x + 6}

x \to 4 lim \frac{- 1 6 + x ^{2}}{- 4 + x}

För att förenkla uttrycket börjar vi med att skriva om täljaren som x^2-2^2. Man kan då se att det står på rätt form för att kunna faktorisera det med konjugatregeln. Gör man det går det sedan att förkorta bort x-2.

Den här gången har täljaren en form som går att skriva om med hjälp av första kvadreringsregeln. Gör man det går det sedan att förkorta bort uttrycket i nämnaren.

Den här täljaren kan också skrivas om med konjugatregeln, och för att lättare kunna se det börjar vi med att omarrangerar termerna i täljare och nämnare.

Bestäm gränsvärdet genom att först förenkla det rationella uttrycket.

x \to - 50 lim \frac{( x + 5 0 ) ^{3}}{( x + 5 0 ) ^{2}}

x \to 5 lim \frac{x ^{2} - 2 5}{1 0 + x - 1 5}

x \to - 4 lim \frac{x ^{2} + 8 x + 1 6}{x + 4}

I både täljaren och nämnaren finns faktorn x + 50, fast olika många gånger: 3 gånger i täljaren och 2 gånger i nämnaren. Det innebär att vi direkt kan förkorta bort nämnaren, alltså (x+50)^2, innan vi beräknar gränsvärdet.

Här förenklar vi först nämnaren genom att addera termerna och faktoriserar sedan täljaren med konjugatregeln.

Den här gången faktoriserar vi täljaren med första kvadreringsregeln och förkortar sedan.

Bestäm gränsvärdet numeriskt.

x \to 2 lim \frac{x ^{3} - 2 x ^{2} + 4 x - 8}{x - 2}

x \to - 3 lim \frac{x ^{3} + 9 x ^{2} + 2 7 x + 2 7}{x + 3}

Vi bestämmer gränsvärdet numeriskt genom att sätta in x-värden som ligger väldigt nära x=2. Vi börjar med att gå från vänster, dvs. vi sätter in x-värden som är lite mindre än 2. Första insättningen kan t.ex. vara x=1.9: 1.9^3 - 2 * 1.9^2 + 4 * 1.9 -8/1.9-2=7.61. Genom att fortsätta på samma sätt kan vi fylla i tabellen.

x	1.9	1.99	1.999	→ 2
x^3 - 2 x^2 + 4 x -8/x-2	7.61	7.9601	7.996001	→ 8

Nu gör vi samma sak, men närmar oss x=2 från höger.

x	2.1	2.01	2.001	→ 2
x^3 - 2 x^2 + 4 x -8/x-2	8.41	8.0401	8.004001	→ 8

Funktionsvärdet verkar gå mot 8 i båda fall så gränsvärdet lim _(x→ 2)x^3 - 2 x^2 + 4 x -8/x-2

är antagligen 8.

Vi gör på samma sätt och låter x närma sig x=-3 från vänster.

x	-3.1	-3.01	-3.001	→ -3
x^3+9x^2+27x+27/x+3	0.01	0.0001	0.000001	→ 0

Nu gör vi samma sak, men nu närmar vi oss x=-3 från höger.

x	-2.9	-2.99	-2.999	→ -3
x^3+9x^2+27x+27x+3	0.01	0.0001	0.000001	→ 0

Funktionsvärdet verkar gå mot 0 i båda fall, så gränsvärdet när x går mot -3 är 0.

Rita grafen till funktionen $f (x) = \frac{7}{2 x - 6}$ med din grafräknare.

Bestäm vänstergränsvärdet,

x \to 3^{-} lim \frac{7}{2 x - 6} .

Bestäm högergränsvärdet,

x \to 3^{+} lim \frac{7}{2 x - 6} .

Vi börjar med att konstatera att funktionen är odefinierad för x=3, eftersom nämnaren 2x-6 blir 0 då. Sedan skriver vi in funktionsuttrycket och ritar upp grafen med grafräknaren. Grafen är osammanhängande i x = 3 eftersom den inte är definierad där, så den lodräta linjen vid x=3 ska egentligen inte ritas ut.

Vi tänker bort linjen när vi resonerar kring vänstergränsvärdet. Vi ser att om vi närmar oss x=3 från vänster så går grafen nedåt mot mindre och mindre y-värden. Den verkar närma sig negativa oändligheten, vilket inte är ett tal och därför existerar inte vänstergränsvärdet lim _(x → 3^-) 7/2x-6. Man säger ibland att funktionen har det oegentliga gränsvärdet- ∞.

Med motsvarande resonemang som i förra deluppgiften inser vi att högergränsvärdet lim _(x → 3^+) 7/2x-6 inte heller existerar eftersom grafen växer mot positiva oändligheten om vi närmar oss från höger, dvs. funktionen har det oegentliga gränsvärdet ∞.

Bestäm gränsvärdet.

h \to \infty lim (\frac{7}{h} + 8)

x \to \infty lim \frac{9 + x}{x}

När h→ ∞ blir nämnaren i kvoten 7h oändligt stor. Hela kvoten 7h kommer då att bli oändligt liten eftersom vi delar med ett mycket stort tal. Man kan motivera detta resonemang ännu tydligare genom att beräkna kvoten för några olika stora värden på h.

h	7/h	=
100	7/100	0.07
1000	7/1000	0.007
10 000	7/10 000	0.0007
100 000	7/100 000	0.00007

Ju större nämnaren är, desto mindre blir alltså kvoten: den närmar sig 0. I samband med att vi låter h → ∞ approximerar vi därför 7h med 0. Talet 8 påverkas inte då det inte innehåller h.

Gränsvärdet är alltså 8 när h går mot oändligheten.

Här börjar vi med att förenkla uttrycket genom att dela upp bråket.

När x går mot oändligheten blir kvoten 9x oändligt liten, enligt samma resonemang som ovan. Den blir så pass liten att den kan approximeras med 0.

Gränsvärdet blir1.

Gränsvärden

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Laddar innehåll