| {{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount }} |
| {{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount }} |
| {{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }} |
Funktioner är ibland definierade på intervall, dvs. endast för vissa x-värden. Det kan t.ex. bero på att
Funktionens ändpunkter avgörs av de yttre gränserna på intervallet där den är definierad. Eftersom intervallet är -1≤x≤3 sätter vi in x-värdena -1 respektive 3 i funktionen och beräknar motsvarande funktionsvärden.
x=-1
Beräkna potens & produkt
a−(-b)=a+b
Addera termer
x=3
Beräkna potens & produkt
Subtrahera term
Med största och minsta värde för en funktion menar man y-värdena i funktionens globala extrempunkter (om det finns några), vilka även kallas för funktionens globala extremvärden. För en funktion med sammanhängande graf på ett slutet intervall antas största och minsta värde antingen i
Funktionen har sina ändpunkter i början och slutet av intervallet, i detta fall där x=-3 och x=3. Man bestämmer ändpunkternas y-värden genom att sätta in dessa x-värden i funktionsuttrycket.
x=-3
Beräkna potens
Multiplicera faktorer
Addera termer
Den vänstra ändpunkten har y-värdet 9.
x=3
Beräkna potens
Multiplicera faktorer
Addera och subtrahera termer
Den högra ändpunkten har y-värdet 45.
Funktionens stationära punkter kan man hitta med derivata och teckentabell eller med andraderivata. Om det inte efterfrågas behöver man dock inte bestämma deras karaktär och utesluta eventuella terrasspunkter, eftersom en terrasspunkt ändå aldrig antar något av funktionens extremvärden.
Nu har man undersökt alla relevanta punkter. I det här fallet fick man
Översiktligt kan arbetsgången för att hitta en funktions största och minsta värde, dvs. funktionens globala extremvärden, beskrivas av följande flödesschema.
Här är vi intresserade av att bestämma koordinaterna för funktionens globala extrempunkter på intervallet, inte bara av funktionens största och minsta värde. Det innebär att vi ska svara med både x- och y-värdena.
Ändpunkterna har x-koordinaterna 2 och -5. Vi sätter in dem i funktionsuttrycket f(x)=4x4+x3+9, en i taget.
x=2
Beräkna potens
Beräkna kvot
Addera termer
Den högra ändpunkten har alltså koordinaterna (2,21). Nu sätter vi in x=-5.
De två ändpunkternas koordinater är (2,21) och (-5,40.25).
Vi börjar med att derivera funktionen.
Derivera funktion
D(axn)=anxn−1
D(xn)=nxn−1
D(a)=0
Förenkla kvot
Derivatan är alltså f′(x)=x3+3x2. Nu sätter vi den till 0 för att hitta derivatans nollställen. Vi får då en ekvation som vi löser med nollproduktmetoden.
f′(x)=0
Omarrangera ekvation
Dela upp i faktorer
Bryt ut x2
Använd nollproduktmetoden
(I): VL=HL
(I): Förenkla rot & termer
(II): VL−3=HL−3
Funktionen f(x) har alltså stationära punkter i (-3,2.25) och (0,9).
Nu har vi undersökt alla lokala extrempunkter och hittat
Den globala minimipunkten för funktionen på det givna intervallet är (-3,2.25) eftersom 2.25 är det minsta y-värdet. Den globala maximipunkten är (-5,40.25). Vi kan kontrollera detta genom att rita upp funktionen.