Globala extremvärden

Lokala extrempunkter är punkter på grafen som är antingen maximi- eller minimipunkter. Detta gäller för alla punkter utom F, som är en terrasspunkt.

Globala extrempunkter är maximi- eller minimipunkter som markerar antingen det största eller minsta värdet för hela intervallet. Eftersom B ligger högre än alla andra punkter och H ligger lägre än alla andra är dessa två globala extrempunkter.

Ändpunkterna sitter i början och slutet av grafen.

Genom att läsa av punkternas x- och y-värden kommer vi fram till att ändpunkterna har koordinaterna (-4,3) och (4,-2).

Funktionens globala maximum är den punkt som ligger högre än alla andra punkter på grafen. I det här fallet är det (3,4).

På motsvarande sätt är funktionens globala minimum den punkt som ligger lägre än alla andra punkter på grafen. Den här funktionen antar samma minsta värden i två olika punkter, så då räknas båda som globala minima.

Funktionens globala minima är därför (-2,5;-2) och (4,-2).

Vi börjar med att trycka på Y= och skriva in funktionsuttrycket, sedan trycker vi på GRAPH för att rita upp grafen. Man kan behöva testa sig fram tills man hittar bra inställningar för koordinatsystemet. Det kan vara bra att ställa in x-axeln så att man ser lite utanför det givna intervallet, t.ex. från -10 till 10. Man kan t.ex. välja att ställa in y-axeln från -80 till 50.

Nu ska vi hitta det största och minsta värdet. Vi kan börja med att bestämma y-värdena för ändpunkterna. För att hitta funktionens y-värden för dessa xvärden, x=-8 och x=7, kan man trycka på TRACE och sedan t.ex. -8 följt av ENTER.

I den vänstra ändpunkten är y-värdet alltså -63,62. Vi gör samma sak för den högra ändpunkten.

Än så länge vet vi alltså att ändpunkternas y-värden är y=-63,62 och y=0,73. Vi skissar upp kurvan och skriver in det vi vet. Vi ser då att funktionens minsta värde måste antas i den vänstra ändpunkten, eftersom den ligger lägre än alla andra punkter på grafen på intervallet. Det största värdet måste antas i den första maximipunkten eftersom vi ser att den ligger högre än alla andra punkter.

Slutligen bestämmer vi alltså maximipunktens koordinater med räknarens verktyg för detta.

Vi skriver in denna information i skissen.

Funktionens minsta värde är alltså ca -64 och det största ca 24.

En funktion på ett slutet intervall kommer att ha sitt största och minsta värde i en av ändpunkterna eller i en stationär punkt mellan dem. Den ena stationära punkten (x=8) ligger utanför intervallet så den behöver vi inte bry oss om. Istället beräknar vi funktionsvärdena i ändpunkterna, x=-3 och x=2, och de andra stationära punkterna.

Nu sätter vi in x-värdet för den andra ändpunkten.

De två ändpunkterna är alltså (-3,-104) och (2,-19). Nu beräknar vi y-värdena för de stationära punkterna på intervallet, dvs. för de i x=-2 och x=1.

Den ena stationära punkten är alltså (-2,-339). Vi beräknar den andra genom att sätta in x=1.

Till sist jämför vi alla extrempunkter. Ändpunkter:&(-4,-104) och (2,-19) Stationära punkter:&(-2,-339) och (1,120) Nu ser vi att det största värdet är 120 och det minsta är -339.

Att hitta de globala extremvärdena till funktionen innebär att man hittar funktionens största och minsta värde, dvs. jämför y-värdena i ändpunkterna och de stationära punkter som ingår i intervallet. Vi börjar med att bestämma y-värdena i ändpunkterna genom att sätta in deras x-värden i p(x). Vi startar med x=-2.

Nu beräknar vi den andra.

Största och minsta värdet kan också finnas i en stationär punkt, dvs. där derivatan är 0, så vi deriverar funktionen.

Nu sätter vi derivatan lika med 0 och löser ekvationen.

Funktionen har alltså stationära punkter i x=-1 och x=1. Vi beräknar motsvarande y-värden.

Den ena stationära punkten är (-1,8). Nu sätter vi in x=1.

Den andra stationära punkten är (1,4). Nu jämför vi y-värdena i de punkter vi tagit fram. Ändpunkter:& (-2,4) och (3,24) Stationära punkter:& (-1,8) och (1,4) Vi kan läsa av att det minsta värdet är 4 och att det största är 24.

Funktionens största och minsta värde kommer att finnas i någon av dess extrempunkter, och vi hittar dessa antingen i funktionens stationära punkter eller intervallets ändpunkter. Till att börja med bestämmer vi ändpunkternas y-värden.

Den ena ändpunkten är alltså (-5;2,5). Nu beräknar vi den andra.

Den andra ändpunkten är (1;20,5). För att hitta funktionens stationära punkter, dvs. där derivatan är 0, måste vi derivera funktionen.

Eftersom derivatan är 0 i de stationära punkterna löser vi ekvationen f'(x)=0. Det ger en andragradsekvation som vi löser med pq-formeln.

Funktionen har alltså stationära punkter i x=-4 och x=-1. Vi bestämmer motsvarande y-värden genom att sätta in x-värdena i f(x).

Den ena stationära punkten är (-4,8). Nu beräknar vi den andra.

Den andra stationära punkten är (-1,-5,5). Eftersom -5≤ x≤ 1 är ett slutet intervall kommer det största och minsta värdet att finnas i en stationär punkt eller ändpunkt, så vi behöver inte avgöra vilken typ av extrempunkter vi har hittat. Det räcker med att jämföra deras y-koordinater. Ändpunkter:& (-5;2,5) och (1;20,5) Stationära punkter:& (-4,8) och (-1;-5,5) Det största värdet är 20,5 och det minsta är -5,5. Nu är vi klara, men om man har tillgång till en grafritare kan man rita upp grafen till funktionen för att se om ens resultat verkar rimligt.

Vi gör på samma sätt och börjar med att bestämma y-värdena för ändpunkterna.

Vi beräknar nu det andra y-värdet.

Nu vill vi bestämma i vilka x-värden det finns stationära punkter, så vi deriverar funktionen och löser ekvationen g'(x)=0.

Derivatans ena nollställe är alltså x=0. Vi hittar de andra genom att lösa den andra ekvationen med pq-formeln.

Derivatans två nollställen är alltså x=0 och x=3, så här finns funktionens stationära punkter. Nu beräknar vi y-koordinaterna för dessa punkter.

Den andra stationära punktens x-värde är 3 så vi sätter in det i funktionen.

På samma sätt som tidigare behöver vi inte bestämma karaktären på de stationära punkterna eftersom intervallet är slutet. Ändpunkter:& (-1,43) och (4,53) Stationära punkter:& (0,-11) och (3,43) Vi jämför y-koordinaterna och ser då att det minsta värdet är -11 och att det största är 53.

På samma sätt som tidigare börjar vi med att beräkna funktionsvärdena i ändpunkterna genom att sätta in deras x-värden i funktionsuttrycket.

Nu beräknar vi det andra.

Nu när vi har hittat ändpunkterna tar vi reda på derivatans nollställen för att bestämma de stationära punkterna.

Derivatan är 0 i de stationära punkterna så vi löser ekvationen h'(x)=0.

Nu har vi x-värdena för de stationära punkterna, så vi sätter in dem i funktionsuttrycket för att bestämma deras y-koordinater.

Nu beräknar vi den andra.

Det sista vi gör är att jämföra de fyra punkternas y-värden. Ändpunkter:& (-6,1) och (3,-80) Stationära punkter:& (-4,67) och (2,-95) Vi ser att det minsta värdet är -95 och att det största är 67.

Vi försöker tolka Klaras beskrivning. Att grafen börjar i -6 och slutar i 4 borde innebära att den är definierad på intervallet -6 ≤ x ≤ 4. Vi vet också att grafen ska röra sig mellan y-värdena -4 och 10. Vi ritar ett koordinatsystem som passar för ändamålet och placerar in ändpunkterna någonstans längs x=-6 och x=4.

Då ritar vi in en kurva mellan punkterna. Grafen måste anta värdena -4 och 10 vid minst ett tillfälle. Från beskrivningen finns det oändligt många giltiga grafer som Klara skulle kunna skissa, men den skulle t.ex. kunna se ut så här.