Globala extremvärden

Funktionens största och minsta värde kommer att finnas i någon av extrempunkterna, dvs. i intervallets ändpunkter eller eventuella stationära punkter. Vi börjar med att bestämma ändpunkternas y-värden.

Den ena ändpunkten är alltså ( 13,4). Nu beräknar vi den andra.

Den andra ändpunkten är (3, 283). Eftersom extrempunkter finns även i stationära punkter dvs. där derivatan är 0, så deriverar vi funktionen och löser f'(x)=0. Innan vi deriverar skriver vi om bråket som en potens med exponenten -1, eftersom det underlättar deriveringen.

Det finns alltså två stationära punkter, en i x=- 1sqrt(3) och en i x= 1sqrt(3). Vi ser direkt att det negativa x-värdet inte ingår i det givna intervallet 1/3≤ x≤ 3. Vi behöver därför inte undersöka den. Ingår roten x= 1sqrt(3)? Slår vi in det på räknaren ser vi att detta x-värde motsvarar ca 0.577, så ja, roten ingår i intervallet. Funktionen har alltså en stationär punkt i x= 1sqrt(3). Vi beräknar dess y-värde.

Den stationära punkten har alltså koordinaterna ( 1sqrt(3),2sqrt(3)). Nu har vi bestämt alla extrempunkter och för att hitta det största och minsta värdet jämför vi y-värdena. Eftersom intervallet är slutet behöver vi inte bestämma karaktären på de stationära punkterna, utan kan vara säkra på att vi hittar största och minsta värdet bara genom att jämföra extrempunkternas y-värden.

Vi ser att det största värdet är 283 och det minsta är 2sqrt(3). Nu är vi klara, men om man har tillgång till en grafräknare kan man rita upp grafen till funktionen för att se att ens slutsats verkar rimlig.

Vi gör på samma sätt och börjar med att bestämma koordinaterna för ändpunkterna.

Nu beräknar vi den andra.

Vi bestämmer nu i vilka x-värden det finns stationära punkter genom att lösa g'(x)=0. Först skriver vi om sqrt(x) som x^(1/2) och deriverar funktionen.

Nu tar vi reda på var derivatan är 0. För att förstå hur vi ska lösa g'(x)=0 skriver vi om x^(-1/2) som 1sqrt(x).

Derivatans nollställe är alltså x= 169. Detta x motsvarar ungefär 1.8, så punkten ingår i intervallet 1≤ x≤9. Nu beräknar vi y-koordinaten för detta x-värde.

Vi kan nu jämföra punkternas y-värden. På samma sätt som tidigare behöver vi inte bestämma karaktären på de stationära punkterna eftersom intervallet är slutet.

Vi ser nu att det minsta värdet är -3 och att det största är 163.

Uppgiften handlar om att bestämma en funktions största och minsta värde på ett slutet intervall. Dessa finns antingen i ändpunkter eller stationära punkter, och vi undersöker dessa var för sig.

Ändpunkter

Ändpunkternas x-värden är -1 och 1, och deras y-värden hittar vi genom att sätta in x-värdena i funktionen. Vi börjar med x = -1.

Vi låter y-värdet stå på exakt form så länge. Nu tar vi andra ändpunkten.

Ändpunkterna är alltså (-1,e^(- 2) + e) och (1, e^2 - e).

Stationära punkter

I stationära punkter är lutningen noll, så vi hittar dessa genom att derivera funktionen och lösa ekvationen f'(x) = 0. Tänk på att e är ett tal och att vi därför använder samma deriveringsregel för uttrycket ex som man använder på t.ex. 3x.

Vi ser att det finns en stationär punkt i x= 1-ln(2)2. Det finns en risk att denna ligger utanför det givna intervallet. Vi använder räknaren för att kontrollera det: 1-ln(2)/2≈ 0.15. Den stationära punkten ingår alltså i intervallet -1 ≤ x ≤ 1. Vi beräknar punktens y-värde genom att sätta in x= 1-ln(2)2 i f(x).

Den stationära punkten finns alltså i ( 1-ln(2)2, eln(2)2 ).

Jämförelse

Vi har nu tre kandidater till största och minsta värde. Genom att knappa in dem på räknaren kan vi jämföra dem och se vilka värden som är störst och minst.

Funktionens största värde på intervallet är alltså e^2 - e, vilket nås i ändpunkten där x=1, och det minsta är eln(2)2, vilket nås i den stationära punkten där x = 1-ln(2)2. Om man vill kan man också rita upp grafen på räknare för att kontrollera att ens resultat är rimligt.

För att undersöka en funktions största värde bestäms funktionsvärdena i de stationära punkterna. Ragnar har även undersökt ändpunkterna. Men f(x) är en andragradasfunktion och en sådan har antingen en maximi- eller en minimipunkt. Eftersom x^2-termen är negativ är det en maximipunkt. Det betyder att alla andra punkter på kurvan ligger under (0,0).

Det spelar alltså ingen roll vad ändpunkterna är – den stationära punkten kommer att vara den globala maximipunkten så länge den ligger innanför intervallet, vilket den gör i det här fallet. Ragnar hade alltså inte behövt beräkna y-värdena i ändpunkterna utan bara fört detta resonemang, så Jonas hade rätt.

Vi vet att funktionen antar sitt största värde i någon av de två maximipunkterna. y-värdet i den ena vet vi redan: det är 32. Det vi behöver göra är alltså att ta reda på y-värdet i den andra maximipunkten och sedan jämföra det med den andra punktens y-värde. För att göra detta behöver vi först bestämma konstanterna a och b i y=ax^4+bx^2.

Detta gör vi genom att ställa upp två samband mellan a och b. Det ena kan vi få genom att sätta in punkten (-2, 32), som vi vet ligger på grafen, i funktionsuttrycket.

För att få ytterligare ett samband mellan konstanterna deriverar vi funktionen. Eftersom vi vet att funktionen har extrempunkter i x=-2 och x=2 måste y' vara lika med 0 för dessa x. Vi sätter alltså in t.ex. x=2 i derivatan och likställer den med 0.

Nu har vi två ekvationer som innehåller a och b som kan bilda ett ekvationssystem.

Nu vet vi vad a är och då kan vi även bestämma b genom att sätta in a=-2 i exempelvis ekvation II.

Nu när vi vet värdena på konstanterna kan vi ställa upp funktionsuttrycket: y=-2x^4+16x^2. Slutligen kan vi bestämma y-värdet i punkten där x=2 genom att sätta in detta i funktionen: y=-2*2^4+16*2^2=-32+64=32. Även den andra maximipunkten har alltså y-värdet 32. Det innebär att funktionens största värde antas i två olika punkter och är lika med 32.