Globala extremvärden

Vi använder den vanliga metoden för att bestämma största och minsta värdet för en funktion på ett slutet intervall. Vi börjar med att bestämma ändpunkternas y-värden. De är f(a) när x = a och f(b) när x = b. Vi tittar sedan på själva intervallet för att se om det finns några max- eller minpunkter där. Det gör man genom att söka efter derivatans nollställen, men i det här fallet känner vi inte till själva funktionen f(x) och kan därför inte derivera den. Men vi kan ändå säga något om funktionens derivata eftersom vi vet att f'(x) < 0 på hela intervallet, och då är derivatan aldrig 0. Då kan det inte heller finnas några max- eller minpunkter på intervallet. Till sist jämför vi y-värdena för punkterna, vilket alltså bara är ändpunkterna. Bara genom att titta på dem kan man inte avgöra om f(a) är större än f(b) eller vice versa, men vi vet att derivatan i intervallet mellan dem är negativ. Det innebär att grafen för funktionen avtar mellan punkterna, och då måste y-värdet till vänster, alltså f(a), vara större än det till vänster, alltså f(b). f(a) > f(b) I enklaste fallet är funktionen bara en rät linje mellan de två punkterna som nedan.

Vi har alltså två punkter, (a, f(a)), och (b, f(b)), som kan vara maxima eller minima. Eftersom vi vet att f(b) < f(a) måste punkten (a, f(a)) vara maximum på intervallet och (b, f(b)) är minimum. Det största värdet på intervallet är då f(a) och det minsta f(b).

Olikheten stämmer om funktionsvärdet till f(x)=30-x-54/sqrt(x) inte överstiger 3 för positiva x. Om funktionsvärdet är 3 någonstans så måste detta alltså inträffa i ett globalt maximum. I en maximipunkt är derivatans värde 0 så genom att bestämma derivatans nollställen kan vi ange var funktionen har stationära punkter. Innan vi deriverar skriver vi om funktionsuttrycket.

Nu kan vi derivera.

När vi deriverat funktionen likställer vi derivatan med 0 och löser ut x. Vi behöver då lösa en potensekvation genom att upphöja båda led till inversen för att få 1 i exponenten.

När x=9 når funktionen alltså en stationär punkt. Men är det ett maximum och är funktionsvärdet där max 3? Vi bestämmer punktens karaktär vilket vi kan göra med en teckentabell. Innan vi ställer upp den beräknar vi derivatans tecken i lämpligt x-värde till vänster och höger om derivatans nollställe.

Eftersom derivatan är positiv till vänster om den stationära punkten och negativ till höger om den så måste det vara en maximipunkt. Detta är också funktionens enda stationära punkt vilket betyder att det är ett globalt maximum.

Till sist sätter vi in x=9 i funktionen för att visa att funktionsvärdet där är maximalt 3.

Funktionen når alltså en maximipunkt i koordinaterna (9,3) vilket innebär att olikheten 30-x-54/sqrt(x)≤ 3 stämmer. Svaret på frågan är alltså ja.

En funktions största och minsta värde kommer att vara i stationära punkter eller ändpunkter. Vi känner inte till ändpunkterna så vi bestämmer de stationära punkterna. Funktionen är en andragradsfunktion så den har bara en stationär punkt och eftersom koefficienten framför x^2 är 2, dvs. positiv, så måste det vara en minimipunkt.

I stationära punkter är derivatan 0 så vi löser ekvationen f'(x)=0.

Funktionens minimipunkt har x-värdet 2. Vi beräknar dess y-värde för att bestämma om det är det globala minimivärdet.

Funktionsvärdet i minimipunkten är 1 och eftersom detta är det globala minimivärdet måste (2,1) vara den globala minimipunkten. Den globala maximipunkten måste därför vara någon av ändpunkterna. Eftersom funktionens maximivärde är 19 löser vi ekvationen f(x)=19 för att hitta punktens x-värde.

Det finns två x-värden där funktionen antar värdet 19.

Det globala maximivärdet antas alltså i antingen x=-1 eller x=5, eller båda. Det ger oss två fall.

Globala maxvärdet antas i x=-1

Om det största värdet antas i x=-1 måste detta vara vänstra gränsen eftersom alla x mindre än -1 ger ett större värde än 19, vilket skulle betyda att 19 inte längre är det globala maximivärdet. Det betyder att a=-1. Vad gäller då för b? Det globala minivärdet är 1. Det antas bara i en enda punkt: där x=2. Det betyder att x=2 måste ingå i intervallet. Finns det någon övre gräns? Ja, den högra gränsen får inte vara större än 5 eftersom det skulle ge y-värden större än 19. Konstanten b måste alltså vara mellan 2 och 5, dvs. 2≤ b≤ 5.

Globala maxvärdet antas i x=5

Om det största värdet antas i x=5 måste b=5, eftersom x större än detta ger funktionsvärden större än 19: b=5. På samma sätt som i det första fallet måste minimipunkten (2,1) ingå i intervallet för att det globala minimumet ska bli 1. Intervallets undre gräns får därför inte vara större än 2. Den får heller inte vara mindre än -1 eftersom det globala maximivärdet då skulle bli större än 19. Det ger oss -1 ≤ a≤ 2.

Sammanfattning

För att få maximivärdet 19 och minimivärdet 1 är &a=-1 och 2≤ b≤ 5 eller [0.5em] &b=5 och -1≤ a≤ 2.