10. Exponentialekvationer
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 2
10.
Exponentialekvationer
Denna lektion fokuserar på att förklara och lösa exponentialekvationer, där variabeln finns i exponenten i en potens. Den beskriver hur man kan använda logaritmer för att lösa dessa ekvationer, både med basen 10 och med godtycklig bas. Dessutom förklaras hur exponentialfunktioner kan användas för att beskriva procentuella förändringar i olika sammanhang, som mängden av ett ämne som sönderfaller eller antalet utrotningshotade djur. Exempel ges på hur man kan ställa upp en exponentialfunktion för att beskriva en specifik situation, som antalet tofspingviner på en ö nära Nya Zeeland. Lektionenen är användbar för studenter som vill förstå och tillämpa dessa matematiska koncept.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 6 sidor teori |
| | 39 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Exponentialekvationer
Sida av 6
Koncept
Dela
Rapportera fel
Exponentialekvation
Exponentialekvationer är ekvationer på formen
a^x=b.
Metod
Dela
Rapportera fel
Lösa exponentialekvationer med logaritmer
För att lösa exponentialekvationer algebraiskt använder man sig av logaritmer.
Exponentialekvationer med basen 10
Följande metod används för att lösa exponentialekvationer där potensen har basen 10, exempelvis 2*10^x = 62.
1
Lös ut tiopotensen
expand_more Lös ut potensen med den okända variabeln så att den står ensam i antingen höger- eller vänsterledet.
2
Logaritmera båda led
expand_more Genom att ta logaritmen av båda led och förenkla får man variabeln ensam i ett led.
Detta är den exakta lösningen för ekvationen, men om inte det efterfrågas kan man få ett ungefärligt värde genom att slå in lg(31) på räknare:
lg(31) ≈ 1,49.
Generella exponentialekvationer
Exponentialekvationer med godtycklig bas, t.ex. 2^x-1=98, kan lösas med logaritmlagen för potenser.
1
Lös ut potensen med den okända variabeln
expand_more Lös ut potensen med den okända variabeln så att den står ensam i något led.
2
Logaritmera båda led
expand_more Ta logaritmen av vänster- och högerledet.
3
Flytta ner exponenten
expand_more Flytta ner exponenten framför logaritmen.
4
Lös ut variabeln
expand_more Lös ut variabeln genom att dividera med logaritmen som finns i det ledet.
Detta är svaret på exakt form, och om det slås in på en räknare får man det ungefärliga svaret x ≈ 6,63.
Exempel
Dela
Rapportera fel
Lös exponentialekvationen med logaritmer
Lös ekvationen 250* 1,2^x=500. Avrunda svaret till närmaste tiondel.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"x\u2248","formTextAfter":null,"answer":{"text":["3,8"]}}
Ledtråd
Isolera potensen. Ta sedan logaritmer av båda sidor.
Lösning
För att lösa exponentialekvationer använder vi logaritmer. Men för att kunna göra det måste vi först lösa ut 1,2^x.
Nu när potensen står ensam i vänsterledet kan vi lösa ut x genom att logaritmera båda leden och sedan använda logaritmlagen för potenser.
Ekvationens lösning är alltså x≈3,8.
1,2^x=2
LgEqn
lg(VL)=lg(HL)
lg(1,2^x)=lg(2)
LgPow
lg(a^b)= b*lg(a)
x*lg(1,2)=lg(2)
DivEqn
.VL /lg(1.2).=.HL /lg(1.2).
x=lg(2)/lg(1,2)
UseCalc
Slå in på räknare
x=3,80178...
RoundDec
Avrunda till 11tiondelar 12hundradelar 13tusendelar 14tiotusendelar 15hundratusendelar 16miljontedelar 17hundramiljontedelar 18miljardtedelar
x≈3,8
Koncept
Dela
Rapportera fel
Exponentialfunktioner som modeller
Exponentialfunktioner kan användas för att beskriva procentuella förändringar. Då tolkas koefficienten C som startvärdet och basen a som en förändringsfaktor. Grafiskt kan C tolkas som funktionsvärdet där grafen skär y-axeln.
Exempel
Dela
Rapportera fel
Ställ upp en exponentialfunktion
På en ö nära Nya Zeeland bor idag 1 250 tofspingviner. Tofspingvinen är utrotningshotad, och man beräknar att antalet på ön kommer att minska med 11,5 % varje år. Ställ upp en exponentialfunktion som beskriver hur antalet tofspingviner, y, kommer att minska, och låt x vara antal år efter idag.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"y=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["1250 \\times 0,885^x"]}}
Ledtråd
Hitta startvärdet och förändringsfaktorn. Sätt sedan in dem i den exponentiella modellen.
Lösning
En exponentialfunktion kan skrivas på formen y=C * a^x, där C är startvärdet och a är förändringsfaktorn. Vårt startvärde är antalet tofspingviner idag, dvs. C=1 250. Detta ger y=1 250 * a^x. En minskning på 11,5 % innebär att det varje år finns kvar 100-11,5=88,5 % av pingvinerna från föregående år. Förändringsfaktorn är alltså a=0,885 vilket ger oss funktionen y=1 250 * 0,885^x, där y är antal tofspingviner x år efter idag.
Exponentialekvationer
Uppgift 4.1
En exponentialfunktion har värdet 1 000 då x=5 och värdet 2 000 då x=10. Vad är x då den har värdet 3 000? Avrunda till en decimal.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"x\u2248","formTextAfter":null,"answer":{"text":["12,9"]}}
security
report
code
security
report
code
För att lösa uppgiften måste vi först ta reda på funktionsuttrycket. Därefter kan vi bilda en exponentialekvation genom att in y=3 000 som vi sedan löser. En exponentialfunktion skrivs på formen y=C * a^x. För att ta reda på värdet då x=5 måste vi bestämma kontanterna C (startvärdet) och a (förändringsfaktorn). Vi har fått två punkter givna på kurvan, nämligen (5,1 000) och (10,2 000). Genom att sätta in dem i det generella uttrycket för en exponentialfunktion får vi två ekvationer, med de okända C och a. Vi bestämmer C och a med ett ekvationssystem.
Nu löser vi ekvationssystemet med substitutionsmetoden. Vi löser t.ex. ut C ur den första ekvationen och sätter in i den andra.
Vi ser att vi har a^5 i båda ekvationerna, så vi kan sätta in a^5=2 direkt i den första ekvationen för att få ut C. Därefter löser vi även ut a. Eftersom vi ska räkna vidare med a så väljer vi att behålla det exakta värdet.
Den sökta exponentialfunktionen är alltså y=500 * (2^(.1 /5.))^x ⇔ y=500 * 2^(.x /5.). Genom att sätta in det kända y-värdet, y=3 000, kan vi skapa en exponentialekvation som vi löser med logaritmer.
Så y har vuxit till 3 000 när x är ungefär lika med 12,9.
security
report
code
Exponentialekvationer
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Page1
Add Page
Sida 1
Sida 1 Sida 2 Sida 3 Sida 4
AI
Cirkel
⧼ml-explanation-box-custom-polygon⧽ Cirkel Kvadrat Romb Parallellogram Rektangel Triangel ⧼ml-explanation-box-pyramid⧽ ⧼ml-explanation-box-box⧽ Pentagon Hexagon Oktagon Dekagon Dodekagon Trapezoid Trapezoid 2 Trapezoid 3
Linje
Linje Segment ⧼ml-explanation-box-dashed-segment⧽ Pil Vinkel ⧼ml-explanation-box-axis⧽
⧼ml-explanation-box-ruler-straight⧽
⧼ml-explanation-box-ruler-straight⧽ ⧼ml-explanation-box-ruler-angle⧽ ⧼ml-explanation-box-ruler-triangle⧽ ⧼ml-explanation-box-ruler-protractor⧽
⧼ml-explanation-box-ruler-angle⧽
⧼ml-explanation-box-ruler-angle⧽ ⧼ml-explanation-box-ruler-triangle⧽
⧼ml-explanation-box-ruler-angle⧽
⧼ml-explanation-box-ruler-angle⧽
⧼ml-explanation-box-ruler-angle⧽
⧼ml-explanation-box-ruler-angle⧽ ⧼ml-explanation-box-ruler-angle⧽
Vänligen rotera din enhet till liggande läge för att expandera ytan.
Svara här
TEST
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll