body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

2b

Kurs 2b Visa detaljer

8. Exponentialekvationer

Fortsätt till nästa lektion

( Ma 2b , Ma 2c ) /

Kapitel 2

6.

Exponentialekvationer

Denna lektion fokuserar på att förklara och lösa exponentialekvationer, där variabeln finns i exponenten i en potens. Den beskriver hur man kan använda logaritmer för att lösa dessa ekvationer, både med basen 10 och med godtycklig bas. Dessutom förklaras hur exponentialfunktioner kan användas för att beskriva procentuella förändringar i olika sammanhang, som mängden av ett ämne som sönderfaller eller antalet utrotningshotade djur. Exempel ges på hur man kan ställa upp en exponentialfunktion för att beskriva en specifik situation, som antalet tofspingviner på en ö nära Nya Zeeland. Lektionenen är användbar för studenter som vill förstå och tillämpa dessa matematiska koncept.

Inställningar & verktyg för lektion

	5 sidor teori
	32 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Exponentialekvationer

Sida av 5

Videolektion

Mathleaks

Mathleaks

Minispelare aktiv

Begrepp

Exponentialekvation

En ekvation där variabeln sitter i exponenten i en potens, t.ex.

4^{x} = 9,

kallas för exponentialekvation. För att lösa exponentialekvationer algebraiskt använder man logaritmer.

Metod

Lösa exponentialekvationer med logaritmer

För att lösa exponentialekvationer algebraiskt använder man sig av logaritmer.

Metod

Exponentialekvationer med basen 10

Följande metod används för att lösa exponentialekvationer där potensen har basen 10, exempelvis

2 \cdot 1 0^{x} = 62 .

1

Lös ut tiopotensen

Lös ut potensen med den okända variabeln så att den står ensam i antingen höger- eller vänsterledet.

2 \cdot 1 0^{x} = 62

$VL / 2 = HL / 2$

1 0^{x} = 31

2

Logaritmera båda led

Genom att ta logaritmen av båda led och förenkla får man variabeln ensam i ett led.

1 0^{x} = 31

$l g (VL) = l g (HL)$

l g (1 0^{x}) = l g (31)

$l g (1 0^{a}) = a$

x = l g (31)

Detta är den exakta lösningen för ekvationen, men om inte det efterfrågas kan man få ett ungefärligt värde genom att slå in

l g (31)

på räknare:

l g (31) \approx 1.49 .

Metod

Generella exponentialekvationer

Exponentialekvationer med godtycklig bas, t.ex.

2^{x} - 1 = 98,

kan lösas med logaritmlagen för potenser.

1

Lös ut potensen med den okända variabeln

Lös ut potensen med den okända variabeln så att den står ensam i något led.

2^{x} - 1 = 98

$VL + 1 = HL + 1$

2^{x} = 99

2

Logaritmera båda led

Ta logaritmen av vänster- och högerledet.

2^{x} = 99

$l g (VL) = l g (HL)$

l g (2^{x}) = l g (99)

3

Flytta ner exponenten

Flytta ner exponenten framför logaritmen.

l g (2^{x}) = l g (99)

$l g (a^{b}) = b \cdot l g (a)$

x \cdot l g (2) = l g (99)

4

Lös ut variabeln

Lös ut variabeln genom att dividera med logaritmen som finns i det ledet.

x \cdot l g (2) = l g (99)

$VL / l g (2) = HL / l g (2)$

x = \frac{l g ( 9 9 )}{l g ( 2 )}

Detta är svaret på exakt form, och om det slås in på en räknare får man det ungefärliga svaret

x \approx 6.63 .

Lös exponentialekvationen med logaritmer

fullscreen

Lös ekvationen $250 \cdot 1 . 2^{x} = 500 .$

Visa Lösning

För att lösa exponentialekvationer använder vi logaritmer. Men för att kunna göra det måste vi först lösa ut $1 . 2^{x} .$

250 \cdot 1 . 2^{x} = 500

$VL / 250 = HL / 250$

1 . 2^{x} = 2

Nu när potensen står ensam i vänsterledet kan vi lösa ut

x

genom att logaritmera båda leden och sedan använda logaritmlagen för potenser.

1 . 2^{x} = 2

$l g (VL) = l g (HL)$

l g (1 . 2^{x}) = l g (2)

$l g (a^{b}) = b \cdot l g (a)$

x \cdot l g (1.2) = l g (2)

$VL / l g (1.2) = HL / l g (1.2)$

x = \frac{l g ( 2 )}{l g ( 1 . 2 )}

Slå in på räknare

x = 3.80178 \dots

Avrunda till $1$ decimal(er)

x \approx 3.8

Ekvationens lösning är alltså $x \approx 3.8 .$

Begrepp

Exponentialfunktioner som modeller

Exponentialfunktioner kan användas för att beskriva procentuella förändringar. Då tolkas koefficienten $C$ som startvärdet och basen $a$ som en förändringsfaktor. Grafiskt kan $C$ tolkas som funktionsvärdet där grafen skär $y$ -axeln.

Allmän exponentialfunktion

Genom att tolka och identifiera startvärde och förändringsfaktor kan många processer i naturen och vardagslivet beskrivas med exponentialfunktioner, t.ex. mängden av ett ämne som sönderfaller, pengar på banken och temperaturen hos något som svalnar. Om dessa fenomen beskrivs med exponentialfunktioner kan man göra förutsägelser om hur de kommer se ut i framtiden, men också hur de kan ha sett ut tidigare.

Ställ upp en exponentialfunktion

fullscreen

På en ö nära Nya Zeeland bor idag 1250 tofspingviner. Tofspingvinen är utrotningshotad, och man beräknar att antalet på ön kommer att minska med 11.5 % varje år. Ställ upp en exponentialfunktion som beskriver hur antalet tofspingviner, $y,$ kommer att minska, och låt $x$ vara antal år efter idag.

Visa Lösning

En exponentialfunktion kan skrivas på formen

y = C \cdot a^{x},

där

C

är startvärdet och

a

är förändringsfaktorn. Vårt startvärde är antalet tofspingviner idag, dvs.

C = 1250 .

Detta ger

y = 1250 \cdot a^{x} .

En minskning på

11.5 %

innebär att det varje år finns kvar

100 - 11.5 = 88.5 %

av pingvinerna från föregående år. Förändringsfaktorn är alltså

a = 0.885

vilket ger oss funktionen

y = 1250 \cdot 0.88 5^{x},

där

y

är antal tofspingviner

x

år efter idag.

Exponentialekvationer

Övningar

En exponentialfunktion har värdet

1000

då

x = 5

och värdet

2000

då

x = 10 .

Vad är

x

då den har värdet

3000

? Avrunda till en decimal.

För att lösa uppgiften måste vi först ta reda på funktionsuttrycket. Därefter kan vi bilda en exponentialekvation genom att in y=3000 som vi sedan löser. En exponentialfunktion skrivs på formen y=C * a^x. För att ta reda på värdet då x=5 måste vi bestämma kontanterna C (startvärdet) och a (förändringsfaktorn). Vi har fått två punkter givna på kurvan, nämligen (5,1000) och (10,2000). Genom att sätta in dem i det generella uttrycket för en exponentialfunktion får vi två ekvationer, med de okända C och a. Vi bestämmer C och a med ett ekvationssystem.

Nu löser vi ekvationssystemet med substitutionsmetoden. Vi löser t.ex. ut C ur den första ekvationen och sätter in i den andra.

Vi ser att vi har a^5 i båda ekvationerna, så vi kan sätta in a^5=2 direkt i den första ekvationen för att få ut C. Därefter löser vi även ut a. Eftersom vi ska räkna vidare med a så väljer vi att behålla det exakta värdet.

Den sökta exponentialfunktionen är alltså y=500 * (2^(1/5))^x ⇔ y=500 * 2^(x/5). Genom att sätta in det kända y-värdet, y=3000, kan vi skapa en exponentialekvation som vi löser med logaritmer.

Så y har vuxit till 3000 när x är ungefär lika med 12.9.

Exponentialekvationer

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Laddar innehåll