Exponentialekvationer

Vi börjar med att förenkla ekvationen något. Eftersom vi har summor i exponenterna kan vi skriva om potenserna som produkter varpå det blir enklare att lägga ihop dem.

Nu har vi förenklat ekvationen så att vi har en potens med x i exponenten. För att lösa ut x logaritmerar vi båda led och kan då flytta ner x från potensen.

Genom att bestämma tidpunkten när vargen sköts kan vi avgöra vem som är skyldig. Vargens temperatur avtar exponentiellt, vilket innebär att temperaturen kan beskrivas med en exponentialfunktion, dvs. en funktion på formen y = C * a^t där y är vargens temperatur, beroende av tiden t i timmar. Vi vill bestämma denna funktion för att kunna räkna ut när temperaturen var 36,9 ^(∘) C. Vårt mål är alltså att bestämma startvärdet C och förändringsfaktorn a .

Startvärdet

Den första mätningen gjordes klockan 21:00 så vi låter temperaturen vid detta klockslag vara startvärdet. Detta innebär alltså att vi har funktionen y=28* a^t.

Förändringsfaktorn

Efter 3 timmar har vargens temperatur minskat till 25,6 ^(∘) C. För att lösa ut a sätter vi in dessa kända värden, x=3 och y=25,6, i funktionen och löser ut a.

Funktionen som beskriver vargens temperatur är y=28* 0,97^t. Vi likställer denna med 36,9, dvs. vargens temperatur när den sköts, och löser ut t för att hitta tiden då vargen avled.

Vargen sköts alltså nio timmar innan klockan 21:00, dvs. klockans 12:00 samma dag. Jokern saknade alibi denna dag så han är den skyldige.

Vi vet att Richterskalan är logaritmisk, dvs. att man tar logaritmen av skalvets styrka för att få ett mått på Richterskalan. Om s är styrkan vet vi alltså att följande ska gälla för skalvet i Sverige. lg(s) = 5,4 Vi löser ut s genom att sätta båda led som exponenter till basen tio, vilket ger s = 10^(5,4). Om jordbävningen i Chile mätte x på Richterskalan kan vi på samma sätt komma fram till att det hade styrkan 10^x. Vi vet att den chilenska jordbävningen var 12 600 gånger starkare än den i Sverige, vilket ger 10^x/10^(5,4) = 12 600. Vi löser ut x ur detta för att få styrkan på den chilenska jordbävningen mätt med Richterskalan.

Den starkaste uppmätta jordbävningen var alltså 9,5 på Richterskalan.

Vi kallar arean i cm^2 för y och antalet indelningar för n. Varje gång arket klipps delas det i två lika stora halvor, dvs. nästa formats area är 50 % av det föregående formatet. Multipliceras arean med förändringsfaktorn 0,5 får vi nästa pappers area. Vi kan alltså beskriva formatens area genom att multiplicera startvärdet 119* 84≈ 10 000cm^2 med 0,5^n där n är antalet indelningar. Vi får funktionen y=10 000* 0,5^n.

Vi sätter in n=6 i formeln och förenklar.

Ett A6-papper har arean 156,25cm^2. Delas arean av ett A0-papper med arean av ett A6-papper kan vi bestämma hur många sådana som får plats på ett A0-ark: 10 000/156,25=64. Vi kan dela in ett A0-papper i 640 A6-papper.

Värdet y beskriver arean av pappret för ett visst n. Ställer vi upp olikheten y ≤ 10 kan vi lösa ut de n som gör att pappret har en area mindre än 1cm^2.

Allt vi behöver göra nu för att lösa ut n är att dela med lg(0,5), men det är viktigt att vara försiktig i det steget. Logaritmen av ett tal mindre 1 är negativ, vilket innebär att när vi delar med lg(0,5) dividerar vi med ett negativt tal. Gör man det i en olikhet måste man vända på olikhetstecknet.

n ska vara ett heltal. Vilket är det minsta heltalet som uppfyller olikheten? Det är 10, så A10-papper är de första arken som är mindre än 10cm^2.

För att bestämma med hur många procent datorns värde minskar varje år kan vi använda förändringsfaktorn. Den allmänna formen för en exponentialfunktion är y=C* a^x, där x är variabeln, C är startvärdet och a är förändringsfaktorn. För V(t)=10 000* 0,60^t är förändringsfaktorn 0,6. Det betyder att datorn ett år efter inköpet är värd 60 % av det ursprungliga priset, vilket motsvarar en värdeminskning med 40 %. Datorns värde minskar alltså med 40 % per år.

Vi kan kalla den nya funktionen W(t) och den nya förändringsfaktorn b. Det ger oss att W(t)=C* b^t, där t är tiden i månader. Startvärdet, dvs. datorns inköpspris, är fortfarande samma: C=10 000kr. För att bestämma förändringsfaktorn måste vi ta reda på något mer om datorns värde, t.ex. vad den är värd efter ett år. Det gör vi med hjälp av funktionen V(t) från föregående deluppgift.

Värdet efter ett år är alltså 6 000kr. Och eftersom ett år motsvarar 12 månader betyder det att W(12)=6 000. Vi använder detta för att bestämma förändringsfaktorn b.

Till sist sätter vi in detta värde på b i W(t).

Funktionen för datorns värde är alltså W(t)=10 000* 0,6^(t12), där t är antalet månader efter inköpet.