Exponentialekvationer: Med belysande grafiska exempel

Lös ekvationen. Svara exakt.

3^{x} \cdot 9^{x} = 61

2^{3 x} \cdot 7^{2 x} = 512

För att lösa ekvationen skriver vi 9 som en potens med bas 3. Skriva om vänsterledet som en enda potens med potenslagarna.

För att lösa ut x logaritmerar vi båda led och kan då plocka ner exponenten enligt lg(a^b)=alg(b).

Även här vill vi skriva om vänsterledet till en enda potens. Det går eftersom x finns i båda exponenterna.

Nu är det bara att logaritmera båda led, plocka ner exponenten och lösa ut x.

Lös ekvationen

5^{x + 1} + 5^{x + 2} = 900 .

Svara exakt.

Vi börjar med att förenkla ekvationen något. Eftersom vi har summor i exponenterna kan vi skriva om potenserna som produkter varpå det blir enklare att lägga ihop dem.

Nu har vi förenklat ekvationen så att vi har en potens med x i exponenten. För att lösa ut x logaritmerar vi båda led och kan då flytta ner x från potensen.

En varg har blivit skjuten av en tjuvskytt. Du, som är känd under smeknamnet Skärlock Holm, är ombedd att utreda fallet. De tre misstänkta till dådet, Darth Vadar, Jokern och Al Capone har alla alibi för dagen utom under följande tider.

Darth har inget alibi för tiden kl $8 - 11$ den aktuella dagen.
Jokern har inget alibi för tiden kl $11 - 15$ den aktuella dagen.
Al har inget alibi för tiden kl $15 - 21$ den aktuella dagen.

De misstänkta kan endast ha begått brottet under den tidsperiod de inte har alibi. Ditt uppdrag, som du väljer att acceptera, är att fastställa tidpunkten för dådet och besvara frågan vem av de misstänkta som kan ha begått brottet.

För att bestämma tidpunkten för vargens död mäter du dess kroppstemperatur vid två tillfällen. Den första mätningen gör du kl $21, 00$ den dag vargen blev skjuten och vargens temperatur är då $28, 0^{\circ} C .$ Tre timmar senare mäter du vargens temperatur till $25, 6^{\circ} C$ Du antar att kroppstemperaturen efter vargens död avtar exponentiellt med tiden och att en levande vargs kroppstemperatur är $36, 9^{\circ} C .$

Vem av de misstänkta kan ha begått brottet? På grund av situationens allvar är det naturligtvis viktigt att du visar dina beräkningar och motiverar ditt svar.

Nationella provet HT96 Ma C

Genom att bestämma tidpunkten när vargen sköts kan vi avgöra vem som är skyldig. Vargens temperatur avtar exponentiellt, vilket innebär att temperaturen kan beskrivas med en exponentialfunktion, dvs. en funktion på formen y = C * a^t där y är vargens temperatur, beroende av tiden t i timmar. Vi vill bestämma denna funktion för att kunna räkna ut när temperaturen var 36,9 ^(∘) C. Vårt mål är alltså att bestämma startvärdet C och förändringsfaktorn a .

Startvärdet

Den första mätningen gjordes klockan 21:00 så vi låter temperaturen vid detta klockslag vara startvärdet. Detta innebär alltså att vi har funktionen y=28* a^t.

Förändringsfaktorn

Efter 3 timmar har vargens temperatur minskat till 25,6 ^(∘) C. För att lösa ut a sätter vi in dessa kända värden, x=3 och y=25,6, i funktionen och löser ut a.

Funktionen som beskriver vargens temperatur är y=28* 0,97^t. Vi likställer denna med 36,9, dvs. vargens temperatur när den sköts, och löser ut t för att hitta tiden då vargen avled.

Vargen sköts alltså nio timmar innan klockan 21:00, dvs. klockans 12:00 samma dag. Jokern saknade alibi denna dag så han är den skyldige.

Richterskalan används för att mäta styrkan hos jordbävningar. Den är logaritmisk, så om en jordbävning ligger ett steg högre på Richterskalan jämfört med en annan betyder det att den var

10

gånger så stark. Den mest kraftfulla jordbävning som uppmätts i Sverige skedde

1904

och mätte

5, 4

på Richterskalan. Den starkaste uppmätta jordbävningen i världen inträffade

1960

i Chile och var

12600

gånger så kraftfull som den i Sverige. Vad mätte jordbävningen i Chile på Richterskalan? Svara med en decimal.

Vi vet att Richterskalan är logaritmisk, dvs. att man tar logaritmen av skalvets styrka för att få ett mått på Richterskalan. Om s är styrkan vet vi alltså att följande ska gälla för skalvet i Sverige. lg(s) = 5,4 Vi löser ut s genom att sätta båda led som exponenter till basen tio, vilket ger s = 10^(5,4). Om jordbävningen i Chile mätte x på Richterskalan kan vi på samma sätt komma fram till att det hade styrkan 10^x. Vi vet att den chilenska jordbävningen var 12 600 gånger starkare än den i Sverige, vilket ger 10^x/10^(5,4) = 12 600. Vi löser ut x ur detta för att få styrkan på den chilenska jordbävningen mätt med Richterskalan.

Den starkaste uppmätta jordbävningen var alltså 9,5 på Richterskalan.

ISO

216

är en internationell standard för pappersstorlekar och definierar bland annat A-storlekarna. Definitionen utgår från

A 0 -

storleken, vars dimensioner är utritade i figuren nedan. För att sedan få ett

A 1 -

papper delas

A 0 -

pappret på mitten, längs med kortsidan, och för att få ett

A 2 -

papper gör man samma sak igen osv. För att få den vanligaste pappersstorleken,

A 4,

görs

4

sådana halveringar.

Ett A0-papper indelat i mindre A-storlekar

Ställ upp en generell formel som beskriver arean

y

för ett ark med formatet

A n,

där

n

anger formatets siffra.

Röstsedlar har formatet

A 6 .

Bestäm hur många sådana som får plats på ett

A 0 -

ark.

Vilket är det första formatet där papprets area är

10 cm^{2}

eller mindre?

Vi kallar arean i cm^2 för y och antalet indelningar för n. Varje gång arket klipps delas det i två lika stora halvor, dvs. nästa formats area är 50 % av det föregående formatet. Multipliceras arean med förändringsfaktorn 0,5 får vi nästa pappers area. Vi kan alltså beskriva formatens area genom att multiplicera startvärdet 119* 84≈ 10 000cm^2 med 0,5^n där n är antalet indelningar. Vi får funktionen y=10 000* 0,5^n.

Vi sätter in n=6 i formeln och förenklar.

Ett A6-papper har arean 156,25cm^2. Delas arean av ett A0-papper med arean av ett A6-papper kan vi bestämma hur många sådana som får plats på ett A0-ark: 10 000/156,25=64. Vi kan dela in ett A0-papper i 640 A6-papper.

Värdet y beskriver arean av pappret för ett visst n. Ställer vi upp olikheten y ≤ 10 kan vi lösa ut de n som gör att pappret har en area mindre än 1cm^2.

Allt vi behöver göra nu för att lösa ut n är att dela med lg(0,5), men det är viktigt att vara försiktig i det steget. Logaritmen av ett tal mindre 1 är negativ, vilket innebär att när vi delar med lg(0,5) dividerar vi med ett negativt tal. Gör man det i en olikhet måste man vända på olikhetstecknet.

n ska vara ett heltal. Vilket är det minsta heltalet som uppfyller olikheten? Det är 10, så A10-papper är de första arken som är mindre än 10cm^2.

I början av år $2011$ köpte Matilda en dator för $10000 kr .$ Datorns värde kan beskrivas med $V (t) = 10000 \cdot 0, 6 0^{t}$ där $V$ är datorns värde i kr och $t$ är tiden i år efter inköpet.

Med hur många procent minskar datorns värde per år?

Nationella provet VT12 2b/2c

Teckna en ny funktion som anger datorns värde $W$ i kr som funktion av tiden $t,$ där tiden nu istället ska räknas i månader efter inköpet.

Nationella provet VT12 2b/2c

För att bestämma med hur många procent datorns värde minskar varje år kan vi använda förändringsfaktorn. Den allmänna formen för en exponentialfunktion är y=C* a^x, där x är variabeln, C är startvärdet och a är förändringsfaktorn. För V(t)=10 000* 0,60^t är förändringsfaktorn 0,6. Det betyder att datorn ett år efter inköpet är värd 60 % av det ursprungliga priset, vilket motsvarar en värdeminskning med 40 %. Datorns värde minskar alltså med 40 % per år.

Vi kan kalla den nya funktionen W(t) och den nya förändringsfaktorn b. Det ger oss att W(t)=C* b^t, där t är tiden i månader. Startvärdet, dvs. datorns inköpspris, är fortfarande samma: C=10 000kr. För att bestämma förändringsfaktorn måste vi ta reda på något mer om datorns värde, t.ex. vad den är värd efter ett år. Det gör vi med hjälp av funktionen V(t) från föregående deluppgift.

Värdet efter ett år är alltså 6 000kr. Och eftersom ett år motsvarar 12 månader betyder det att W(12)=6 000. Vi använder detta för att bestämma förändringsfaktorn b.

Till sist sätter vi in detta värde på b i W(t).

Funktionen för datorns värde är alltså W(t)=10 000* 0,6^(t12), där t är antalet månader efter inköpet.

Exponentialekvationer

Förkunskaper