Exponentialekvationer

Vi logaritmerar båda led för att lösa ut x. Potensen vi logaritmerar är en tiopotens vilket innebär att vi kan använda lg(10^a)=a.

Lösningsmetoden är samma som tidigare. Vi tar tiologaritmen av båda led för att lösa ut x.

Samma sak igen. Vi logaritmerar led och och löser ut x.

Vi logaritmerar båda led för att lösa ut x. Eftersom vi logaritmerar en tiopotens använder vi lg(10^a)=a.

Svaret på exakt form är x=lg(24), och avrundat x ≈ 1.38.

Först måste vi få 10^x ensamt i VL. Det gör vi genom att dela båda led med 2. Därefter kan vi logaritmera ekvationen på samma sätt som i förra uppgiften.

Svaret är alltså x=lg(2) eller x ≈ 0.30 om man avrundar till två decimaler.

Återigen måste vi få 10^x ensamt i VL. Eftersom vi har 10^x delat med 4 måste vi multiplicera båda led med 4. Därefter kan vi logaritmera ekvationen på samma sätt som i tidigare uppgifter.

Svaret är x=lg(32) ≈ 1.51.

Eftersom x sitter i exponten på en potens måste vi använda logaritmer för att lösa ut x. Vi kan använda tiologaritmer trots att potensens bas är 2. Vi behöver alltså ingen tvålogaritm för att lösa ut x utan lg() fungerar utmärkt.

Vi slår nu in uttrycket i högerledet ovan på räknaren.

x=5 löser alltså ekvationen. Den som är duktig på tvåpotenser kanske vet att 32 kan skrivas om som 2^5. I så fall hade exponentialekvationen kunnat lösas med inspektionsmetoden: 2^x=2^5 ⇔ x=5.

Samma sak här. Vi logaritmerar båda led och kan därmed flytta ner exponenten.

Liksom i föregående deluppgift beräknar vi nu uttrycket med räknare.

Vi ser att x=3 löser ekvationen. Detta måste innebära att 216 kan skrivas som 6^3. Vi hade alltså även kunnat lösa ekvationen på samma sätt som i förra uppgiften, dvs. genom att skriva om högerledet som en potens och likställa exponenterna: 6^x=6^3 ⇔ x=3.

Innan vi logaritmerar löser vi ut 11^x i VL genom att subtrahera 1 från båda sidor.

Vi slår ännu en gång in uttrycket på räknare.

Vi avrundar till heltal och anger lösningen till ca 2.

Vi löser ekvationen med metoden för att lösa exponentialekvationer med logaritmer. Vi börjar med att lösa ut potensen för att sedan logaritmera båda led, flytta ner exponenten och lösa ut x.

På samma sätt som tidigare löser vi ut potensen, logaritmerar och löser ut x.

Även denna uppgift löses på samma sätt.

För att lösa ekvationen grafiskt hanterar vi uttrycken i vänster- respektive högerled som separata funktioner i samma koordinatsystem, dvs. y=2^x och y=7.

Skriv in funktioner i räknaren

För att göra en grafisk lösning med räknaren börjar vi med att trycka på knappen Y= och skriver sedan in funktionerna vid Y_1 och Y_2. För att skriva x trycker vi på knappen X,T,θ,n och för att skriva upphöjt till trycker vi på ∧.

Rita funktionerna

Funktionerna ritas när vi trycker på knappen GRAPH. Eventuellt måste vi justera inställningarna för koordinatsystemet.

Hitta skärningspunkten

Vi kan nu använda räknaren för att hitta skärningspunkten mellan de två graferna. Verktyget som gör detta hittas genom att först trycka på CALC (2nd + TRACE) och sedan välja intersect i listan.

När vi har valt intersect visas graferna igen och genom att trycka på ENTER tre gånger väljer vi graferna som vi ska bestämma skärningspunkten mellan.

Nu ser vi att x ≈ 2.8 löser ekvationen.

Vi har en potens i vänsterledet med x i exponenten. För att lösa ut x behöver vi alltså logaritmera båda led och kan därefter flytta ner exponenten enligt lg(a^b)=b* lg(a).

Samma sak här. Vi tar logaritmen av båda led och kan därefter flytta ner exponenten.

Innan vi logaritmerar ekvationen förenklar vi den så mycket som möjligt, dvs. genom att beräkna potensen och summan i högerledet och subtraherar bort 2:an från vänsterledet.

Vi börjar med att lösa ut 1.05^x och logaritmerar sedan båda led. Det gör att vi kan flytta ner x med hjälp av logaritmlagen för potenser. Slutligen löser vi ut x.

Vi gör på samma sätt och löser ut potensen, logaritmerar, flyttar ner och löser ut x.

Vi gör på samma sätt igen. Var noga med hur du sätter parenteserna när du slår in på räknaren.

Vi logaritmerar båda leden i ekvationen vilket gör att vi kan använda logaritmlagen lg(10^a)=a.

Vi löser ekvationen på samma sätt som i den föregående deluppgiften.

Vi skriver om högerledet som en potens och gör sedan på samma sätt som tidigare.

Om Lucas förlorar 9000 kr när han säljer högtalarna innebär det att han sålde dem för 15 000 - 9 000 = 6 000 kr. I den generella exponentialekvationen y = C * a^x innebär detta att startvärdet C är 15 000 och slutvärdet är 6 000. Den årliga procentuella sänkningen är 20 %, vilket betyder att det finns 80 % kvar av värdet för varje år som går. Förändringsfaktorn a är alltså 0.8 om x representerar antalet år efter att Lucas köpte högtalarna. Detta ger funktionen y=15 000*0.8^x. Vi ska ta reda på när värdet på högtalarna är 6000 kr så vi låter y vara 6000 och löser ekvationen.

Det tog alltså 4 år för högtalarna att sjunka så mycket i värde. En inte alltför bra affär för Lucas alltså.

Man kan läsa av bilens kostnad som startvärdet C i en exponentialfunktion y=C* a^x,

alltså 300 000 kr. Men man kan även beräkna det genom att sätta in x=0 i funktionen, då får vi bilens värde efter 0 år dvs. startvärdet.

Funktionen har förändringsfaktorn 0.9. Multipliceras ett tal med denna innebär det en minskning med 10 %. Efter ett år har startvärdet 300 000 multiplicerats med 0.9 en gång, efter två år multipliceras det med 0.9 igen osv. Bilens värde sjunker alltså med 10 % varje år.

Vi börjar med att ställa upp en ekvation. Att värdet sjunkit till 150 000 kr innebär att y=150 000. Sätter vi in det i funktionen får vi ekvationen 150 000 = 300 000 * 0.9^x. Lösningen är antal år x som det tar för y att minska till 150 000. Nu ska vi lösa ekvationen. Vi börjar med att lösa ut det som har med x att göra, nämligen 0.9^x. Därefter använder vi logaritmer för att flytta ner x och lösa exponentialekvationen.

Efter ungefär 6.6 år har bilens värde sjunkit till 150 000 kr.

Om Marcus ställer in steken i ugnen klockan 14.30 och vill att den ska vara klar klockan 18.00 innebär det att han har 3.5 timmar på sig, dvs. 3.5* 60 = 210 minuter. Vi ska alltså ta reda på om det tar mer eller mindre än 210 minuter för steken att nå temperaturen 77 ^(∘)C. Vi vet att temperaturen beror av tiden enligt funktionen T(t)=16.5*1.0085^t, där t är tiden i minuter. Eftersom T(t) är temperaturen i ^(∘)C sätter vi denna lika med 77 och löser ut t.

Det tar ca 182 minuter för steken att bli klar vilket är mindre än 210 min. Det betyder att den hinner bli klar innan middagen.

Vi kan också vända på problemet och ställa oss frågan: vilken temperatur har steken klockan 18.00? Om temperaturen är över 77 ^(∘)C hinner den bli klar, annars inte. När klockan är 18.00 har det gått 3.5 timmar, dvs. 3.5* 60 = 210 minuter. Vi vet att temperaturen beror av tiden enligt T(t)=16.5*1.0085^t, där t är tiden i minuter. Temperaturen efter 210 minuter får vi därför genom att sätta in t=210.

Klockan sex är steken ca 98 ^(∘)C, dvs. en bra bit över vad den behöver vara. Steken blir alltså klar i tid.

För att lösa denna exponentialekvation börjar vi med att logaritmera båda led. Då kan vi sedan flytta ner exponenten och lösa ut x.

Ekvationen har alltså lösningen x= lg(3)lg(5).

För att lösa potensekvationen kan vi börja med att upphöja båda led med 3. Sedan förenklar vi vänsterledet med hjälp av potenslagar.

Lösningen på ekvationen är alltså x=2^3=8.

För att lösa denna exponentialekvation börjar vi med att logaritmera båda led. Då kan vi sedan flytta ner exponenten och lösa ut x.

Ekvationen har alltså lösningen x= lg(3)lg(5).

Genom att kvadrera båda led blir vi av med kvadratroten och kan lösa ut x. Vi måste dock vara uppmärksamma på att kvadrering av en ekvation kan ge upphov till falska rötter. När vi löst ekvationen måste vi därför testa rötterna i ursprungsekvationen.

Vi får alltså x=24. Nu måste vi pröva detta för att undersöka om det faktiskt är en lösning eller en falsk rot.

x=24 löser alltså ekvationen.