Exponentialekvationer

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

En ekvation där variabeln sitter i exponenten i en potens, t.ex. 4x=9,4^x = 9, kallas för exponentialekvation. För att lösa exponentialekvationer algebraiskt använder man logaritmer.
Metod

Lösa exponentialekvationer med logaritmer

För att lösa exponentialekvationer algebraiskt använder man sig av logaritmer.

Metod

Exponentialekvationer med basen 10

Följande metod används för att lösa exponentialekvationer där potensen har basen 10, exempelvis 210x=62.2\cdot10^x = 62.

Lös ut potensen med den okända variabeln så att den står ensam i antingen höger- eller vänsterledet.
210x=622 \cdot 10^x = 62
10x=3110^x = 31
Genom att ta logaritmen av båda led och förenkla får man variabeln ensam i ett led.
10x=3110^x = 31
lg(10x)=lg(31)\lg \left( 10^x \right) = \lg(31)
lg(10a)=a \lg\left(10^a\right)=a
x=lg(31)x = \lg(31)

Detta är den exakta lösningen för ekvationen, men om inte det efterfrågas kan man få ett ungefärligt värde genom att slå in lg(31)\lg(31) på räknare: lg(31)1.49. \lg(31) \approx 1.49.

Metod

Generella exponentialekvationer

Exponentialekvationer med godtycklig bas, t.ex. 2x1=98,2^x-1=98, kan lösas med logaritmlagen för potenser.

Lös ut potensen med den okända variabeln så att den står ensam i något led.
2x1=982^x-1= 98
2x=992^x = 99

Ta logaritmen av vänster- och högerledet.

2x=992^x = 99
lg(2x)=lg(99)\lg \left( 2^x \right) = \lg (99)
Flytta ner exponenten framför logaritmen.
lg(2x)=lg(99)\lg \left( 2^x \right) = \lg (99)
xlg(2)=lg(99)x \cdot \lg (2) = \lg (99)
Lös ut variabeln genom att dividera med logaritmen som finns i det ledet.
xlg(2)=lg(99)x \cdot \lg (2) = \lg (99)
x=lg(99)lg(2)x = \dfrac{\lg (99)}{\lg (2)}

Detta är svaret på exakt form, och om det slås in på en räknare får man det ungefärliga svaret x6.63.x \approx 6.63.

Uppgift

Lös ekvationen 2501.2x=500.250\cdot 1.2^x=500.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Exponentialfunktioner som modeller

Exponentialfunktioner kan användas för att beskriva procentuella förändringar. Då tolkas koefficienten CC som startvärdet och basen aa som en förändringsfaktor. Grafiskt kan CC tolkas som funktionsvärdet där grafen skär yy-axeln.

Allmän exponentialfunktion
Genom att tolka och identifiera startvärde och förändringsfaktor kan många processer i naturen och vardagslivet beskrivas med exponentialfunktioner, t.ex. mängden av ett ämne som sönderfaller, pengar på banken och temperaturen hos något som svalnar. Om dessa fenomen beskrivs med exponentialfunktioner kan man göra förutsägelser om hur de kommer se ut i framtiden, men också hur de kan ha sett ut tidigare.
Uppgift

På en ö nära Nya Zeeland bor idag 1250 tofspingviner. Tofspingvinen är utrotningshotad, och man beräknar att antalet på ön kommer att minska med 11.5 % varje år. Ställ upp en exponentialfunktion som beskriver hur antalet tofspingviner, y,y, kommer att minska, och låt xx vara antal år efter idag.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna. Svara exakt och med två decimaler.

a

10x=15010^x=150

b

10x=110010^x=1100

c

10x=520010^x=5200

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna. Svara både i exakt form och med två decimaler.


a

10x=2410^x=24

b

210x=42\cdot 10^x=4

c

10x4=8\dfrac{10^x}{4}=8

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna. Svara exakt.


a

2x=322^x=32

b

6x=2166^x=216

c

11x+1=12011^{x}+1=120

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna. Svara med två decimaler.

a

4x+2=54^x + 2 = 5

b

69x=906 \cdot 9^x = 90

c

225x100000=02\cdot 25^x - 100\,000 = 0

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös exponentialekvationen 2x=72^x=7 grafiskt med din räknare. Avrunda svaret till 11 decimal.

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna. Svara exakt.


a

50x=10050^x=100

b

12x=1312^x=\dfrac{1}{3}

c

3x+2=32+33^{x}+2=3^2+3

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna. Svara med två decimaler.

a

200001.05x=4000020\,000 \cdot 1.05^x = 40\,000

b

500.96x=1050 \cdot 0.96^x = 10

c

15002.3x=255931500 \cdot 2.3^x = 25\,593

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös följande ekvationer. Avrunda till 33 decimaler.

a

103x=6.310^{3x} = 6.3

b

10x2=1210^{\frac{x}{2}} = 12

c

1012x=2.6710^{12-x}=2.67

1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lucas har köpt ett par högtalare för 1500015\,000 kr. Efter några år säljer han dem och gör en förlust på 90009\,000 kr. Lucas, som vill intala sig själv att inte har gjort en riktigt dålig affär, räknar ut den procentuella värdeminskningen för högtalarna och kommer fram till att den är 20%20\,\% per år. Hur många år ägde Lucas högtalarna?

1.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Olof har köpt en bil vars värde yy kr kan beskrivas med formeln y=3000000.9x,y = 300\,000 \cdot 0.9^x, där xx är antalet år efter inköpet.


a

Vad betalade Olof för bilen?

b

Vad betyder 0.90.9 i formeln?

c

Ställ upp en ekvation vars lösning ger hur många år det tar för bilens värde att sjunka till 150000150\,000 kr.

d

När är bilens värde 150000?150\,000?

1.11
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Marcus sätter in en stek i ugnen klockan 14.30.14.30. Då är temperaturen i steken 16.5C.16.5\, ^\circ\text{C}. Därefter ökar temperaturen TCT \, ^\circ\text{C} i steken enligt sambandet T(t)=16.51.0085t T(t)=16.5\cdot 1.0085^t där tt är tiden i minuter. När stektermometern visar 77C77\, ^\circ\text{C} är steken klar. Hinner steken bli klar till klockan 18.0018.00 då Marcus ska bjuda på middag?

NP-stek.svg
Nationella provet VT12 2b/2c
1.12
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna. Svara exakt.

a

5x=35^x=3

b

x13=2x^{\frac{1}{3}}=2

Nationella provet VT15 2b
1.13
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna. Svara exakt.

a

5x=35^x=3

b

x+1=5\sqrt{x+1}=5

Nationella provet VT15 2c
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna. Svara exakt.

a

10x7=-210^x-7=\text{-} 2

b

10x/3420=810^{x/3} \cdot 4-20=8

c

102x5+1=7\dfrac{10^{2x}}{5}+1=7

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Putte sätter in 30003000 kr på ett bankkonto med 3%3 \, \% ränta.


a

Ställ upp en funktion som beskriver hur mycket pengar Putte har på kontot efter xx år.

b

Hur mycket pengar finns på kontot efter 44 år?

c

När har pengarna på kontot vuxit till 40004000 kr?

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ett radhus i Umeå köptes år 20012001 för 1.231.23 miljoner kronor. Sju år senare såldes radhuset för 2.492.49 miljoner kronor. Antag att prisökningen har varit exponentiell. Beräkna den årliga procentuella prisökningen.

Nationella provet HT09 MaC
2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Värdet på en lägenhet beräknas stiga med 9%9 \, \% per år. Efter hur många år har värdet fördubblats?

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Mellan åren 20122012 och 20162016 sjönk priset på silver från 27$/oz.27\$ \text{/oz.} till 14$/oz. 14\$ \text{/oz.} Beräkna den genomsnittliga procentuella förändringen i silverpriset per år.

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

När ogräsmedlet Meklorprop används i naturen bryts det efter hand ned. Vid konstant jordtemperatur gäller att den kvarvarande mängden avtar exponentiellt med tiden. Den tid det tar tills hälften av ogräsmedlet är kvar (halveringstiden) beror på jordtemperaturen enligt nedanstående tabell.

Jordtemperatur ^\circC Halveringstid i dygn
5 20
10 12
20 3

En åker besprutades med 88 kg Meklorprop. Marktemperaturen var 55 \, ^\circC vid besprutningstillfället och antas vara konstant under de följande veckorna. Hur många procent av den ursprungliga mängden ogräsmedel finns kvar efter 1010 dygn?

Nationella provet VT98 MaC
2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

År 19601960 fanns det uppskattningsvis 2000020\,000 gråsälar i Östersjön. På grund av höga halter av miljögifter minskade sedan antalet sälar kraftigt. Minskningen var exponentiell och år 19801980 fanns endast 20002000 gråsälar kvar.


a

Vilken var den genomsnittliga årliga procentuella minskningen av antalet gråsälar mellan 19601960 och 1980?1980?

b

Efter 19801980 har sälstammen delvis återhämtat sig. Uppskattningsvis finns det i år^* 1200012\,000 gråsälar i Östersjön. Enligt en prognos från Naturvårdsverket kommer antalet gråsälar att öka exponentiellt med 6.5%6.5 \, \% per år under de närmaste åren. Vilket år kommer antalet gråsälar återigen att vara 2000020\,000 om prognosen håller?


Nationella provet VT02 MaC
2.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Sättet som atomerna i radioaktiva ämnen sönderfaller och sänder ut radioaktiv strålning kan beskrivas med en exponentialfunktion, där mängden radioaktivt material beror på tiden. Hur snabbt atomerna sönderfaller brukar mätas i halveringstid, λ,\lambda, som är tiden det tar för hälften av materialet att sönderfalla. Halveringstiden är konstant, det spelar ingen roll hur mycket man har av ämnet.


a

I en behållare finns 200200 mg torium-234.234. Ställ upp en funktion som beskriver hur många milligram torium, y,y, som återstår efter tt dygn om förändringsfaktorn är b.b.

b

Halveringstiden för torium-234234 är 2424 dagar. Med hjälp av detta, bestäm b.b. Svara med tre decimaler.

c

Hur många mg finns kvar av provet efter 8080 dygn?

2.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Det största djur som någonsin funnits på jorden är blåvalen. Under de senaste hundra åren har antalet blåvalar minskat kraftigt på grund av jakt.

ID2533.svg

År 19001900 fanns det ungefär 239000239\,000 blåvalar i världshaven och hundra år senare var antalet ungefär 2300.2\,300. Anta att antalet blåvalar minskar exponentiellt med tiden.

Bestäm vilket år det för första gången kommer att vara färre än 200200 blåvalar om minskningen fortsätter i samma takt.

Nationella provet VT15 2b
2.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen 310x=10x\dfrac{3}{10^x}=10^x med algebraisk metod.

Nationella provet VT15 2b
2.11
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ett exemplar av ett känt datorföretags första datormodell såldes under år 2013.2013. I samband med försäljningen kunde man läsa följande i en tidningsnotis:


Priset för datorn har därmed tusenfaldigats, sedan den ursprungligen såldes 1976.1976. Den tillverkades för hand av företagets båda grundare, ledaren Steve Jobs och programmeraren Steve Wozniak, hemma i Jobs garage.1^1
ID2548.svg

Enligt tidningsnotisen såldes datorn år 20132013 till ett pris som var tusen gånger så stort som priset år 1976.1976. Anta att den procentuella prisökningen varit lika stor varje år.


Beräkna den årliga procentuella prisökningen mellan år 19761976 och år 20132013 för datorn.

Nationella provet VT15 2c

1^1TT 26 maj 2013

2.12
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna.

a

10x=810^x=8

b

53x+1=205\cdot 3^{x+1}=20

Nationella provet bedömningsexempel 2b/2c
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna. Svara exakt.


a

3x9x=613^x\cdot 9^x=61

b

23x72x=5122^{3x}\cdot 7^{2x}=512

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen 5x+1+5x+2=900.5^{x+1}+5^{x+2}=900. Svara exakt.

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En varg har blivit skjuten av en tjuvskytt. Du, som är känd under smeknamnet Skärlock Holm, är ombedd att utreda fallet. De tre misstänkta till dådet, Darth Vadar, Jokern och Al Capone har alla alibi för dagen utom under följande tider.

  • Darth har inget alibi för tiden kl 88-1111 den aktuella dagen.
  • Jokern har inget alibi för tiden kl 1111-1515 den aktuella dagen.
  • Al har inget alibi för tiden kl 1515-2121 den aktuella dagen.

De misstänkta kan endast ha begått brottet under den tidsperiod de inte har alibi. Ditt uppdrag, som du väljer att acceptera, är att fastställa tidpunkten för dådet och besvara frågan vem av de misstänkta som kan ha begått brottet.

För att bestämma tidpunkten för vargens död mäter du dess kroppstemperatur vid två tillfällen. Den första mätningen gör du kl 21.0021.00 den dag vargen blev skjuten och vargens temperatur är då 28.0C28.0 \, ^\circ \text{C}. Tre timmar senare mäter du vargens temperatur till 25.6C25.6 \, ^\circ \text{C} Du antar att kroppstemperaturen efter vargens död avtar exponentiellt med tiden och att en levande vargs kroppstemperatur är 36.9C.36.9 \, ^\circ \text{C}.

Vem av de misstänkta kan ha begått brottet? På grund av situationens allvar är det naturligtvis viktigt att du visar dina beräkningar och motiverar ditt svar.

Nationella provet HT96 Ma C
3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Richterskalan används för att mäta styrkan hos jordbävningar. Den är logaritmisk, så om en jordbävning ligger ett steg högre på Richterskalan jämfört med en annan betyder det att den var 1010 gånger så stark. Den mest kraftfulla jordbävning som uppmätts i Sverige skedde 19041904 och mätte 5.45.4 på Richterskalan. Den starkaste uppmätta jordbävningen i världen inträffade 19601960 i Chile och var 1260012\,600 gånger så kraftfull som den i Sverige. Vad mätte jordbävningen i Chile på Richterskalan?

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

ISO 216216 är en internationell standard för pappersstorlekar och definierar bland annat A-storlekarna. Definitionen utgår från A0-storleken, vars dimensioner är utritade i figuren nedan. För att sedan få ett A1-papper delas A0-pappret på mitten, längs med kortsidan, och för att få ett A2-papper gör man samma sak igen osv. För att få den vanligaste pappersstorleken, A4, görs 44 sådana halveringar.

1107 1.svg


a

Ställ upp en generell formel som beskriver arean för ett ark med formatet An,An, där nn anger formatets siffra.

b

Röstsedlar har formatet A6.A6. Bestäm hur många sådana som får plats på ett A0A0-ark.

c

Vilket är det första formatet där papprets area är 10cm210 \, \text{cm}^2 eller mindre?

3.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I början av år 20112011 köpte Matilda en dator för 1000010\,000 kr. Datorns värde kan beskrivas med V(t)=100000.60tV(t)=10\,000\cdot0.60^t där VV är datorns värde i kr och tt är tiden i år efter inköpet.

a

Med hur många procent minskar datorns värde per år?

b

Teckna en ny funktion som anger datorns värde VV i kr som funktion av tiden t,t, där tiden nu istället ska räknas i månader efter inköpet.

Nationella provet VT12 2b/2c
Nivå 4
4.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En exponentialfunktion har värdet 10001000x=5x=5 och värdet 20002000x=10.x=10. Vad är xx då den har värdet 30003000?

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}