Exponentialekvationer

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

En ekvation där variabeln sitter i exponenten i en potens, t.ex. 4x=9,4^x = 9, kallas för exponentialekvation. För att lösa exponentialekvationer algebraiskt använder man logaritmer.
Metod

Lösa exponentialekvationer med logaritmer

För att lösa exponentialekvationer algebraiskt använder man sig av logaritmer.

Metod

Exponentialekvationer med basen 10

Följande metod används för att lösa exponentialekvationer där potensen har basen 10, exempelvis 210x=62.2\cdot10^x = 62.

1

Lös ut tiopotensen

Lös ut potensen med den okända variabeln så att den står ensam i antingen höger- eller vänsterledet.

210x=622 \cdot 10^x = 62
10x=3110^x = 31

2

Logaritmera båda led
Genom att ta logaritmen av båda led och förenkla får man variabeln ensam i ett led.
10x=3110^x = 31
lg(10x)=lg(31)\lg \left( 10^x \right) = \lg(31)
lg(10a)=a \lg\left(10^a\right)=a
x=lg(31)x = \lg(31)
Detta är den exakta lösningen för ekvationen, men om inte det efterfrågas kan man få ett ungefärligt värde genom att slå in lg(31)\lg(31) på räknare: lg(31)1.49. \lg(31) \approx 1.49.
Metod

Generella exponentialekvationer

Exponentialekvationer med godtycklig bas, t.ex. 2x1=98,2^x-1=98, kan lösas med logaritmlagen för potenser.

1

Lös ut potensen med den okända variabeln
Lös ut potensen med den okända variabeln så att den står ensam i något led.
2x1=982^x-1= 98
2x=992^x = 99

2

Logaritmera båda led
Ta logaritmen av vänster- och högerledet.
2x=992^x = 99
lg(2x)=lg(99)\lg \left( 2^x \right) = \lg (99)

3

Flytta ner exponenten
Flytta ner exponenten framför logaritmen.
lg(2x)=lg(99)\lg \left( 2^x \right) = \lg (99)
xlg(2)=lg(99)x \cdot \lg (2) = \lg (99)

4

Lös ut variabeln
Lös ut variabeln genom att dividera med logaritmen som finns i det ledet.
xlg(2)=lg(99)x \cdot \lg (2) = \lg (99)
x=lg(99)lg(2)x = \dfrac{\lg (99)}{\lg (2)}
Detta är svaret på exakt form, och om det slås in på en räknare får man det ungefärliga svaret x6.63.x \approx 6.63.
Uppgift

Lös ekvationen 2501.2x=500.250\cdot 1.2^x=500.

Lösning

För att lösa exponentialekvationer använder vi logaritmer. Men för att kunna göra det måste vi först lösa ut 1.2x.1.2^x.

2501.2x=500250\cdot 1.2^x=500
1.2x=21.2^x=2
Nu när potensen står ensam i vänsterledet kan vi lösa ut xx genom att logaritmera båda leden och sedan använda logaritmlagen för potenser.
1.2x=21.2^x=2
lg(1.2x)=lg(2)\lg\left(1.2^x\right)=\lg(2)
xlg(1.2)=lg(2)x\cdot\lg(1.2)=\lg(2)
x=lg(2)lg(1.2)x=\dfrac{\lg(2)}{\lg(1.2)}
x=3.80178x=3.80178\ldots
x3.8x\approx3.8

Ekvationens lösning är alltså x3.8.x\approx3.8.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Exponentialfunktioner som modeller

Exponentialfunktioner kan användas för att beskriva procentuella förändringar. Då tolkas koefficienten CC som startvärdet och basen aa som en förändringsfaktor. Grafiskt kan CC tolkas som funktionsvärdet där grafen skär yy-axeln.

Allmän exponentialfunktion
Genom att tolka och identifiera startvärde och förändringsfaktor kan många processer i naturen och vardagslivet beskrivas med exponentialfunktioner, t.ex. mängden av ett ämne som sönderfaller, pengar på banken och temperaturen hos något som svalnar. Om dessa fenomen beskrivs med exponentialfunktioner kan man göra förutsägelser om hur de kommer se ut i framtiden, men också hur de kan ha sett ut tidigare.
Uppgift

På en ö nära Nya Zeeland bor idag 1250 tofspingviner. Tofspingvinen är utrotningshotad, och man beräknar att antalet på ön kommer att minska med 11.5 % varje år. Ställ upp en exponentialfunktion som beskriver hur antalet tofspingviner, y,y, kommer att minska, och låt xx vara antal år efter idag.

Lösning

En exponentialfunktion kan skrivas på formen y=Cax, y=C \cdot a^x, där CC är startvärdet och aa är förändringsfaktorn. Vårt startvärde är antalet tofspingviner idag, dvs. C=1250.C=1250. Detta ger y=1250ax. y=1250 \cdot a^x. En minskning på 11.5%11.5 \, \% innebär att det varje år finns kvar 10011.5=88.5%100-11.5=88.5 \, \% av pingvinerna från föregående år. Förändringsfaktorn är alltså a=0.885a=0.885 vilket ger oss funktionen y=12500.885x, y=1250 \cdot 0.885^x, där yy är antal tofspingviner xx år efter idag.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}