Exponentialekvationer

Mängden pengar på bankkontot växer med en procentsats varje år och kan därmed beskrivas med en exponentialekvation: y=C* a^x. Startvärdet C anger hur mycket pengar som fanns på bankkontot från början, dvs. 3 000 och förändringsfaktorn a visar hur mycket bankkontot växer varje år. 3 % kan skrivas som förändringsfaktorn 1,03 så funktionen blir y=3 000 * 1,03^x.

Genom att sätta in x=4, alltså fyra år, i funktionen kan vi beräkna hur mycket pengar Putte har efter denna tid.

Efter 4 år har Putte 3 377kr på kontot.

y beskriver mängden pengar på kontot efter x år, så genom att likställa y med 4 000 och lösa ut x kan vi bestämma när Puttes bankkonto har vuxit till 4 000kr.

Efter ca 10 år har bankkontot vuxit till 4 000kr.

När något växer exponentiellt kan det beskrivas med en exponentialfunktion med formen y=C* a^x. C anger startvärdet och a tillväxten i procent uttryckt som en förändringsfaktor. Vi vet att startvärdet är 1,23 miljoner och ska ta reda på den förändringsfaktor a som behövs för att det ska växa till 2,49 miljoner efter sju år. Sätter vi in ett visst år x i funktionen ska vi få ut priset i miljoner kr för det året som värdet y. Vi känner till punkten (7,2,49), så vi kan sätta in den i funktionen och lösa ut a.

Förändringsfaktorn är alltså 1,11, vilket kan tolkas som att priset ökar med 11 % per år.

Eftersom lägenhetens värde växer med en procentsats kan beloppet beskrivas med en exponentialfunktion, dvs. en funktion på formen y = C * a^x, där C är startvärdet och a är förändringsfaktorn. Om lägenhetens startvärde är C så kommer värdet efter en fördubbling vara 2C . Detta ger oss ekvationen 2C=C* 1,09^x som vi löser ut x ur.

Det tar ca 8 år innan värdet har fördubblats.

Vi ska beräkna en procentuell förändring vilket innebär att vi måste bestämma en förändringsfaktor. Vi gör det genom att ställa upp en exponentialfunktion på formen y=C * a^x, där y är priset i dollar och x är antal år efter 2012. Startvärdet C är priset år 2012, dvs. .27$ /oz., vilket ger oss ekvationen y=27* a^x. Vi vet även att priset 4 år senare är .14$ /oz., dvs. då x=4 är y=14. Vi sätter in det i funktionen och löser ut förändringsfaktorn a.

Den negativa lösningen kan förkastas, eftersom en förändringsfaktor måste vara större än 0. Förändringsfaktorn är alltså 0,85 vilket betyder att priset i genomsnitt har sjunkit med 15 % varje år.

Från tabellen läser vi av att när jordtemperaturen är 5 ^(∘) C är halveringstiden 20 dygn. Då ämnet minskar exponentiellt kan mängden uttryckas med en exponentialfunktion, dvs. en funktion på formen y=C* a^x, där C är startvärdet 8 och a den procentuella förändringen uttryckt som en förändringsfaktor så funktionen beskrivs av y=8* a^x. Enligt tabellen halveras mängden av ämnet när x=20 , dvs. mängden minskar från 8kg till 4kg. Vi sätter in x=20 och y=4 i funktionen och löser ut a.

Då ser vi att a=0,5^(120). Vi sätter in det i funktionen och förenklar med potenslagen (a^b)^c=a^(b* c): y = 8 * (0,5^(120))^x ⇔ y = 8 * 0,5^(x20). Vi ska beräkna hur stor andel som finns kvar efter 10 dygn så vi ska beräkna den totala förändringsfaktorn när x är 10. Startvärdet 8 spelar alltså ingen roll utan vi fokuserar enbart på 0,5^(x20).

Den totala förändringsfaktorn 0,71 innebär att det finns 71 % kvar efter 10 dagar.

Ett tal y som minskar (eller ökar) med en procentsats kan beskrivas med en exponentialfunktion, dvs. en funktion på formen y=C* a^x. C anger startvärdet och a den procentuella förändringen uttryckt som en förändringsfaktor. Vi vet att startvärdet var 20 000 sälar år 1960 och ska nu bestämma vilken förändringsfaktor a som behövs för att detta ska minska till 2000 efter 20 år. Vi sätter alltså in punkten (20,2000) i funktionen och löser ut a.

Förändringsfaktorn är alltså ~0,89 vilket motsvarar en minskning med 11 % per år.

2002 är sälstammen 12 000 och spås öka med 6,5 % per år. En ökning med 6,5 % motsvaras av förändringsfaktorn 1,065 vilket betyder att sälbeståndet kan uttryckas med funktionen y=12 000 * 1,065^x Vi likställer funktionen med 20 000 och löser ut x.

Ungefär 8 år efter 2002, dvs. någon gång år 2010 beräknas antalet sälar vara 20 000 igen.

Vi utgår från definitionen av en exponentialfunktion, alltså y = C * a^x där C är startvärdet och a är förändringsfaktorn. Vi börjar med 200mg torium-234, så startvärdet C är 200. Sedan vet vi att b är förändringsfaktorn, och att variabeln är t. Det ger oss y = 200 * b^t.

Det fanns från början 200mg torium-234. Efter en halveringstid bör hälften av detta finnas kvar, alltså 100mg. Sätter vi in t=24 i vår funktion från förra uppgiften ska vi alltså få ut y=100. Det ger oss en potensekvation vi kan lösa för att få värdet på b.

Vi kom fram till att b ≈ 0,972, vilket kan tolkas som att 97,2 % av atomerna finns kvar efter ett dygn, eller att 2,8 % sönderfaller per dygn.

Vi sätter in värdet på b i funktionen, och får då y = 200 * 0,972^t. Genom att sätta in t = 80 kan vi beräkna mängden torium-234 efter 80 dygn.

Det finns ungefär 21 gram kvar av provet efter 80 dygn.

Vi vet att antalet blåvalar minskar med en konstant procentsats, dvs. funktionen som beskriver minskningen är en exponentialfunktion på formen y=C* a^x, där C är startvärdet och a är en förändringsfaktor. C anger var funktionen skär y-axeln och från uppgiften vet vi att detta sker i punkten (0, 239 000) så C=239 000. För att hitta förändringsfaktorn a sätter vi in punkten (100,2300) i funktionen och löser ut a.

Förändringsfaktorn kan inte vara negativ så vi bortser från den negativa lösningen. Genom att likställa funktionen med 200 kan vi beräkna året x då antalet blåvalar är 200 stycken. Vi använder det exakta värdet på a för att undvika avrundningsfel.

Antalet blåvalar år 200 stycken ca 153 efter år 1900 dvs. år 2053.

Eftersom x sitter i exponenten har vi en exponentialekvation. Vi börjar med att multiplicera upp 10^x.

Alltså löser x= lg(3)2 ekvationen.

Om den procentuella ökningen är lika stor varje år kan priset beskrivas av en exponentialfunktion, alltså en funktion på formen y=C* a^x, där C visar startvärdet och a är en förändringsfaktor. Från uppgiften vet vi att priset år 2013 var 1 000 gånger större än år 1976, så om priset år 1976 är C kommer priset år 2013 vara 1 000C. Då utgår vi från att 1976 är startåret, vilket innebär att x-värdet för år 2003 är 2013 - 1976 = 37. Man får alltså att x = 37 ger y = 1000C. Detta kan vi sätta in i funktionen och lösa ut förändringsfaktorn a, som ger oss den årliga procentuella förändringen. Vi känner inte till startvärdet C, men det gör inget eftersom vi kan förkorta bort det.

Förändringsfaktorn är ca 1,21 vilket betyder att priset ökar med 1 - 1,21 = 0,21 = 21 per per år.

När x står i exponenten kallar man det för en exponentialekvation. Vi kan lösa sådana genom att logaritmera båda led och eftersom potensens bas är 10 kan vi använda regeln lg(10^a)=a.

x=lg(8) löser ekvationen vilket är ett exakt svar. Man skulle även kunna ange ett närmevärde genom att slå in lg(8) på räknaren.

Detta är också en exponentialekvation så vi behöver återigen använda logaritmer för att lösa ut x. Potensen 3^(x+1) har dock inte basen 10 så vi kan inte använda samma regeln för att lösa ut exponenten. Istället flyttar vi ner den med en annan logaritmlag.

x= lg(4)lg(3)-1 löser ekvationen.

Vi kan lösa en exponentialekvation med olika baser genom att skriva om den med samma bas eller genom att rita en graf. Vi kommer att förklara båda tillvägagångssätten individuellt.

Skriva om ekvationen med samma bas

Ibland kan vi använda potenslagarna för att skriva om de ursprungliga ekvationerna så att båda sidor är potenser med en gemensam bas. Enligt Likhetsprincipen för exponentialekvationer kan vi sedan sätta exponenterna lika med varandra och lösa. Tänk till exempel på ekvationen som visas nedan. 1/2^x = 4 Vi kan använda definitionen av en negativ exponent för att skriva om vänsterledet som 2^(- x), och eftersom 4= 2^2 kan vi skriva båda sidor som en potens med en gemensam bas på 2. 1/2^x = 4 ⇔ 2^(- x) = 2^2 Eftersom båda potenserna är lika och har samma bas, måste deras exponenter också vara lika. Detta gör att vi kan lösa ut x. 2^(- x) = 2^2 ⇔ - x = 2 Från ekvationen ovan kan vi dra slutsatsen att lösningen för vår ursprungliga ekvation är x =- 2.

Lösa genom att rita en graf

Ibland är det inte möjligt att skriva om exponentialekvationen med en gemensam bas. I dessa fall kan vi fortfarande lösa ekvationen genom att rita en graf. För att göra detta måste vi rita graferna för båda sidor av ekvationen tillsammans. x-koordinaten för skärningspunkten är lösningen på ekvationen. Tänk på exemplet som visas nedan. 3(2)^x=3^x Observera först att det inte är möjligt att skriva om denna ekvation med två potenser med en gemensam bas. Låt oss rita graferna för exponentialfunktionerna från båda sidor tillsammans.

Från grafen ovan kan vi approximera lösningen, x ≈ 2,7.

Vi har fått ekvationen y=192(4^(x-3)), där y representerar mängden bakterier och x representerar timmar. Vi vill ta reda på vid vilken tidpunkt det finns 200 000 bakterier, så vi ersätter y med 200 000 och löser ut x. Nu kör vi! 200 000=192(4^(x-3)) Det kommer att vara svårt att hitta likadana baser för den här ekvationen, så vi löser den genom att rita en graf. Vi skriver vår ekvation som ett ekvationssystem i vår räknare genom att trycka på knappen Y= och skriva in funktionerna på raderna.

Ändra storlek på fönstret genom att trycka på WINDOW och ändra inställningarna.

För att hitta skärningspunkten trycker du på 2nd och CALC och väljer det femte alternativet, skärning. Välj den första och andra kurvan och välj en bästa gissning för skärningspunkten.

Som vi kan se längst ner i graffönstret har ekvationen en lösning när x är ungefär 8,01. Det kommer att finnas 200 000 bakterier efter 8,01 timmar.

Skriva ekvationen

Vår startinsättning är 500 kronor, och varje år får vi 6 % av det tidigare värdet. Låt oss skapa en ekvation där y representerar mängden pengar på kontot och t representerar år. Eftersom beloppet på kontot ökar med samma faktor varje år, kommer vi att använda den allmänna formen för en exponentiell tillväxtfunktion. y=a(1+r)^t Under det 0^e året ska det finnas 500 kronor på kontot. Detta säger oss att när t=0, y=500. 500=a(1+r)^0 ⇒ 500=a Låt oss ersätta detta med a-värdet i vår ekvation. y=500(1+r)^x Varje år får kontot 6 %. Detta kan skrivas om som 0,06. I vår exponentiella tillväxtfunktion representerar r tillväxttakten, så vi kommer att ersätta 0,06 med r. y=500(1+0,06)^x ⇒ y=500(1,06)^x

Hitta när $800 finns på kontot

Nu när vi har vår ekvation kan vi hitta när saldot kommer att vara 800 kronor. Vi kommer att ersätta 800 med y och lösa för x. 800=500(1,06)^x Det kommer att vara svårt att hitta liknande baser för denna ekvation, så vi kommer att lösa detta genom att rita. Vi kommer att skriva vår ekvation som ett ekvationssystem i vår räknare genom att trycka på Y= knappen och skriva in funktionerna i raderna.

Ändra storlek på fönstret genom att trycka på WINDOW och ändra inställningarna.

För att hitta skärningspunkten, tryck på 2nd och CALC och välj det femte alternativet, skärningspunkt. Välj den första och andra kurvan och välj en bästa gissning för skärningspunkten.

Som vi kan se längst ner i graffönstret har ekvationen en lösning när x är ungefär 8,09. Det kommer att finnas 800 kronor efter 8,09 år.

Lösningen till ekvationen är x-värdet där de två graferna skär varandra.

Från diagrammet ser vi att graferna skär varandra vid x≈ 3,5. Detta är vår bästa gissning. Om vi begränsar diagrammets x-axel runt skärningspunkten kan vi få en bättre approximation.

Låt oss återigen identifiera x-värdet för den punkt där graferna skär varandra.

Från diagrammet ser vi att graferna skär varandra vid x≈ 0,8. Detta är vår bästa gissning. Om vi begränsar diagrammets x-axel runt skärningspunkten kan vi få en bättre approximation.

Funktionen p modellerar tillväxten av en bakteriepopulation. p=300(2,7)^(0,02 t) Här är t antalet timmar. Eftersom t=0 motsvarar 9:00, är den förflutna tiden 2 timmar fram till 11:00. Därför måste vi sätta in 2 för t i funktionen.

Antalet bakterier är ungefär 312 klockan 11:00.

Låt oss se hur grafen ser ut i grafräknaren.

Vi ser att p-skärningen är 300. Det representerar antalet bakterier i kulturen vid t=0, eller 9 A.M. Eftersom t representerar tid, är en rimlig definitionsmängd alla icke-negativa reella tal. Vid t=0, är antalet bakterier 300, så en rimlig värdemängd är alla reella tal större än eller lika med 300. Definitionsmängd:& {t | t≥ 0 } Värdemängd:& {y | y ≥ 300 }

För att rita p=300(2,7)^(0,02* t), måste vi ändra variablerna. p=300(2,7)^(0,02 t) ⇔ y=300(2,7)^(0,02 x) Tryck på knappen Y= och ange ekvationen i den första raden.

Tryck på GRAPH och räknaren kommer att rita ekvationerna. För att denna funktion ska vara synlig på skärmen, ändra storlek på standardfönstret genom att trycka på knappen WINDOW. Ändra inställningarna till en mer lämplig storlek och tryck sedan på GRAPH.

För att hitta y-skärningen kan vi använda spårningsfunktionen för att hitta värdet på funktionen vid x=0. Detta kan göras genom att trycka på 2nd, TRACE, och välja alternativet värde. Slutligen, ange 0 och det ger dig y-skärningen.

Eftersom y och p representerar samma sak, är p-skärningen 300.

Vi kommer att rita graferna för funktionerna med hjälp av en grafräknare. Vi kan göra detta genom att trycka på knappen Y= och skriva in ekvationerna på de två första raderna.

Efter att ha skrivit funktionerna kan vi trycka på GRAPH för att rita dem.

Låt oss ändra fönsterinställningarna till ett mycket mindre fönster. Vi kan göra detta genom att trycka på WINDOW. Tryck sedan på GRAPH en gång till för att rita funktionerna med dessa nya inställningar.

Vi ser att exponentialfunktionen är större från 1 till 2, och den kvadratiska funktionen är större från 2 till 3. Funktionerna är lika vid x=2.

Vi kan kontrollera dessa med hjälp av räknaren. Genom att trycka på 2nd och sedan GRAPH får vi en tabell med värden för heltalen x.

Från tabellen ser vi att funktionerna har samma värde när x=2.

Grafen för funktionen y=8^x växer snabbare än de andra eftersom vi varje gång multiplicerar med 8. Vi multiplicerar dock med 2 varje gång för funktionen y=2^x, och vi multiplicerar ett tal med sig självt för den kvadratiska funktionen.

Vi kommer först att hitta funktionen som modellerar situationen. För att hitta svaret kommer vi att använda två metoder.

1. Använd en tabell
2. Använd en graf

Hitta funktionen

Vi vet att en investering på 100 kronor förväntas växa 8 % varje år. Investeringens tillväxt kan modelleras med en exponentiell tillväxtfunktion. I(t)= a* (1+ r)^t Här är a kapitalbeloppet och r är den procentuella förändringstakten. Med funktionen kan vi hitta värdet I(t) på vår investering efter t år. Eftersom kapitalbeloppet är $ 100 och den procentuella förändringstakten är 8 %, kan vi skriva funktionen. I(t)= 100* (1+ 0,08)^t ⇔ I(t)=100* (1,08)^t

Använda en tabell

Vi vill ta reda på när investeringen fördubblas. För att hitta det kommer vi att göra en tabell över funktionen I(t)=100* (1,08)^t. När vi hittar ett värde som är större än 200, två gånger kapitalbeloppet, kommer vi att sluta.

Vi ser att när t=9, är värdet på investeringen ungefär 200. Därför tar det ungefär 9 år för investeringen att fördubblas.

Använda en graf

Vi kan också hitta den ungefärliga tiden genom att använda grafen för funktionen. När investeringen fördubblas kommer den att vara 200 kronor. Därför måste vi rita linjen I(t)=200 samt grafen för funktionen.

Vi ser att graferna skär varandra vid ungefär t=9. Därför är den ungefärliga tiden 9 år.

Vi kan använda de punkter vi hittade i tabellen ovan. Låt oss plotta och ansluta punkterna ( 0;100), ( 3;126), ( 6;159), ( 9;200), och ( 12;252) med en jämn kurva.