Exponentialekvationer

Mängden pengar på bankkontot växer med en procentsats varje år och kan därmed beskrivas med en exponentialekvation: y=C* a^x. Startvärdet C anger hur mycket pengar som fanns på bankkontot från början, dvs. 3000 och förändringsfaktorn a visar hur mycket bankkontot växer varje år. 3 % kan skrivas som förändringsfaktorn 1.03 så funktionen blir y=3000 * 1.03^x.

Genom att sätta in x=4, alltså fyra år, i funktionen kan vi beräkna hur mycket pengar Putte har efter denna tid.

Efter 4 år har Putte 3377 kr på kontot.

y beskriver mängden pengar på kontot efter x år, så genom att likställa y med 4000 och lösa ut x kan vi bestämma när Puttes bankkonto har vuxit till 4000 kr.

Efter ca 10 år har bankkontot vuxit till 4000 kr.

När något växer exponentiellt kan det beskrivas med en exponentialfunktion med formen y=C* a^x. C anger startvärdet och a tillväxten i procent uttryckt som en förändringsfaktor. Vi vet att startvärdet är 1.23 miljoner och ska ta reda på den förändringsfaktor a som behövs för att det ska växa till 2.49 miljoner efter sju år. Sätter vi in ett visst år x i funktionen ska vi få ut priset i miljoner kr för det året som värdet y. Vi känner till punkten (7,2.49), så vi kan sätta in den i funktionen och lösa ut a.

Förändringsfaktorn är alltså 1.11, vilket kan tolkas som att priset ökar med 11 % per år.

Eftersom lägenhetens värde växer med en procentsats kan beloppet beskrivas med en exponentialfunktion, dvs. en funktion på formen y = C * a^x, där C är startvärdet och a är förändringsfaktorn. Om lägenhetens startvärde är C så kommer värdet efter en fördubbling vara 2C. Detta ger oss ekvationen 2C=C* 1.09^x som vi löser ut x ur.

Det tar ca 8 år innan värdet har fördubblats.

Vi ska beräkna en procentuell förändring vilket innebär att vi måste bestämma en förändringsfaktor. Vi gör det genom att ställa upp en exponentialfunktion på formen y=C * a^x, där y är priset i dollar och x är antal år efter 2012. Startvärdet C är priset år 2012, dvs. 27$/oz, vilket ger oss ekvationen y=27* a^x.

Vi vet även att priset 4 år senare är 14$/oz, dvs. då x=4 är y=14. Vi sätter in det i funktionen och löser ut förändringsfaktorn a.

Den negativa lösningen kan förkastas, eftersom en förändringsfaktor måste vara större än 0. Förändringsfaktorn är alltså 0.85 vilket betyder att priset i genomsnitt har sjunkit med 15 % varje år.

Från tabellen läser vi av att när jordtemperaturen är 5 ^(∘) C är halveringstiden 20 dygn. Då ämnet minskar exponentiellt kan mängden uttryckas med en exponentialfunktion, dvs. en funktion på formen y=C* a^x, där C är startvärdet 8 och a den procentuella förändringen uttryckt som en förändringsfaktor så funktionen beskrivs av y=8* a^x. Enligt tabellen halveras mängden av ämnet när x=20, dvs. mängden minskar från 8 kg till 4 kg. Vi sätter in x=20 och y=4 i funktionen och löser ut a.

Då ser vi att a=0.5^(120). Vi sätter in det i funktionen och förenklar med potenslagen (a^b)^c=a^(b* c): y = 8 * (0.5^(120))^x ⇔ y = 8 * 0.5^(x20). Vi ska beräkna hur stor andel som finns kvar efter 10 dygn så vi ska beräkna den totala förändringsfaktorn när x är 10. Startvärdet 8 spelar alltså ingen roll utan vi fokuserar enbart på 0.5^(x20).

Den totala förändringsfaktorn 0.71 innebär att det finns 71 % kvar efter 10 dagar.

Ett tal y som minskar (eller ökar) med en procentsats kan beskrivas med en exponentialfunktion, dvs. en funktion på formen y=C* a^x. C anger startvärdet och a den procentuella förändringen uttryckt som en förändringsfaktor. Vi vet att startvärdet var 20 000 sälar år 1960 och ska nu bestämma vilken förändringsfaktor a som behövs för att detta ska minska till 2000 efter 20 år. Vi sätter alltså in punkten (20,2000) i funktionen och löser ut a.

Förändringsfaktorn är alltså ~0.89 vilket motsvarar en minskning med 11 % per år.

2002 är sälstammen 12 000 och spås öka med 6.5 % per år. En ökning med 6.5% motsvaras av förändringsfaktorn 1.065 vilket betyder att sälbeståndet kan uttryckas med funktionen y=12 000 * 1.065^x Vi likställer funktionen med 20 000 och löser ut x.

Ungefär 8 år efter 2002, dvs. någon gång år 2010 beräknas antalet sälar vara 20 000 igen.

Vi utgår från definitionen av en exponentialfunktion, alltså y = C * a^x där C är startvärdet och a är förändringsfaktorn. Vi börjar med 200 mg torium-234, så startvärdet C är 200. Sedan vet vi att b är förändringsfaktorn, och att variabeln är t. Det ger oss y = 200 * b^t.

Det fanns från början 200 mg torium-234. Efter en halveringstid bör hälften av detta finnas kvar, alltså 100 mg. Sätter vi in t=24 i vår funktion från förra uppgiften ska vi alltså få ut y=100. Det ger oss en potensekvation vi kan lösa för att få värdet på b.

Vi kom fram till att b ≈ 0.972, vilket kan tolkas som att 97.2 % av atomerna finns kvar efter ett dygn, eller att 2.8 % sönderfaller per dygn.

Vi sätter in värdet på b i funktionen, och får då y = 200 * 0.972^t. Genom att sätta in t = 80 kan vi beräkna mängden torium-234 efter 80 dygn.

Det finns ungefär 21 gram kvar av provet efter 80 dygn.

Vi vet att antalet blåvalar minskar med en konstant procentsats, dvs. funktionen som beskriver minskningen är en exponentialfunktion på formen y=C* a^x, där C är startvärdet och a är en förändringsfaktor. C anger var funktionen skär y-axeln och från uppgiften vet vi att detta sker i punkten (0, 239 000) så C=239 000. För att hitta förändringsfaktorn a sätter vi in punkten (100,2300) i funktionen och löser ut a.

Förändringsfaktorn kan inte vara negativ så vi bortser från den negativa lösningen. Genom att likställa funktionen med 200 kan vi beräkna året x då antalet blåvalar är 200 stycken. Vi använder det exakta värdet på a för att undvika avrundningsfel.

Antalet blåvalar år 200 stycken ca 153 efter år 1900 dvs. år 2053.

Eftersom x sitter i exponenten har vi en exponentialekvation. Vi börjar med att multiplicera upp 10^x.

Alltså löser x= lg(3)2 ekvationen.

Om den procentuella ökningen är lika stor varje år kan priset beskrivas av en exponentialfunktion, alltså en funktion på formen y=C* a^x, där C visar startvärdet och a är en förändringsfaktor. Från uppgiften vet vi att priset år 2013 var 1000 gånger större än år 1976, så om priset år 1976 är C kommer priset år 2013 vara 1000C. Då utgår vi från att 1976 är startåret, vilket innebär att x-värdet för år 2003 är 2013 - 1976 = 37. Man får alltså att x = 37 ger y = 1000C. Detta kan vi sätta in i funktionen och lösa ut förändringsfaktorn a, som ger oss den årliga procentuella förändringen. Vi känner inte till startvärdet C, men det gör inget eftersom vi kan förkorta bort det.

Förändringsfaktorn är ca 1.21 vilket betyder att priset ökar med 1 - 1.21 = 0.21 = 21 % per år.

När x står i exponenten kallar man det för en exponentialekvation. Vi kan lösa sådana genom att logaritmera båda led och eftersom potensens bas är 10 kan vi använda regeln lg(10^a)=a.

x=lg(8) löser ekvationen vilket är ett exakt svar. Man skulle även kunna ange ett närmevärde genom att slå in lg(8) på räknaren.

Detta är också en exponentialekvation så vi behöver återigen använda logaritmer för att lösa ut x. Potensen 3^(x+1) har dock inte basen 10 så vi kan inte använda samma regeln för att lösa ut exponenten. Istället flyttar vi ner den med en annan logaritmlag.

x= lg(4)lg(3)-1 löser ekvationen.