Deriveringsregler för exponentialfunktioner

En exponentialfunktion som står på formen $f (x) = a^{x}$ har i de flesta fall en derivata som inte är lika med funktionen själv. Det finns dock ett undantag och det är när funktionens bas är lika med talet $e$ , dvs. ungefär $2.72 .$ Då är derivatan och funktionen samma för alla $x .$ Den blå grafen visar funktionen $f (x) = a^{x}$ medan den röda visar derivatan $f^{'} (x) .$ Väljer man basen $a$ till $e$ ser man att funktionens och derivatans graf sammanfaller.

Regel

Derivatan av $e^{x}$

Exponentialfunktionen $f (x) = e^{x}$ är sin egen derivata.

Härledning

D (e^{x}) = e^{x}

För att visa varför derivatan till

e^{x}

är

e^{x}

kan man använda derivatans definition.

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

SubstituteII

$f (x + h) = e^{x + h}$ , $f (x) = e^{x}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{x + h} - e ^{x}}{h}

SumInExponent

$a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{x} \cdot e ^{h} - e ^{x}}{h}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{x} \cdot e ^{h} - e ^{x} \cdot 1}{h}

FactorOut

Bryt ut $e^{x}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{x} ( e ^{h} - 1 )}{h}

MovePartNumLeft

$\frac{a \cdot b}{c} = a \cdot \frac{b}{c}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim (e^{x} \cdot \frac{e ^{h} - 1}{h})

Eftersom

e^{x}

inte påverkas av att

h

går mot

0

kan man placera

e^{x}

utanför gränsvärdet:

f^{'} (x) = e^{x} \cdot h \to 0 lim \frac{e ^{h} - 1}{h} .

Man kan visa att gränsvärdet

h \to 0 lim \frac{e ^{h} - 1}{h}

är lika med

1

(detta är ett så kallat standardgränsvärde). Det medför att

f^{'} (x) = e^{x} \cdot 1 = e^{x} .

Regel

Derivatan av $e^{k x}$

Derivatan av en exponentialfunktion på formen

f (x) = e^{k x}

är lika med funktionsuttrycket multiplicerat med koefficienten framför

x .

Härledning

D (e^{k x}) = k e^{k x}

Man kan visa denna derivata med hjälp av derivatans definition:

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} .

Uttrycket

f (x + h)

får vi genom att ersätta

x

med

x + h

i funktionsuttrycket.

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

SubstituteII

$f (x + h) = e^{k (x + h)}$ , $f (x) = e^{k x}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{k (x + h)} - e ^{k x}}{h}

Distr

Multiplicera in $k$

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{k x + k h} - e ^{k x}}{h}

SumInExponent

$a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{k x} \cdot e ^{k h} - e ^{k x}}{h}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{k x} \cdot e ^{k h} - e ^{k x} \cdot 1}{h}

FactorOut

Bryt ut $e^{k x}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{k x} ( e ^{k h} - 1 )}{h}

MovePartNumLeft

$\frac{a \cdot b}{c} = a \cdot \frac{b}{c}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim (e^{k x} \cdot \frac{e ^{k h} - 1}{h})

Eftersom

e^{k x}

inte innehåller något

h

påverkas inte denna faktor av att

h

går mot

0 .

Man kan därför lyfta ut det från gränsvärdet, vilket ger

f^{'} (x) = e^{k x} \cdot h \to 0 lim \frac{e ^{k h} - 1}{h} .

Man kan visa att gränsvärdet

h \to 0 lim \frac{e ^{k h} - 1}{h}

är lika med

k

(detta är ett så kallat standardgränsvärde). Det medför att

f^{'} (x) = e^{k x} \cdot k = k e^{k x} .

Derivera exponentialfunktioner med bas $e$

fullscreen

Uppgift

Derivera $f (x) = e^{x}$ och $g (x) = e^{6 x} .$

Visa Lösning

Lösning

Eftersom derivatan av $e^{x}$ alltid är sin egen derivata är alltså $f^{'} (x) = e^{x} .$ Funktionen $g (x) = e^{6 x}$ är på formen $e^{k x}$ och eftersom $D (e^{k x}) = k e^{k x}$ multiplicerar vi funktionen med koefficienten $6$ för att få derivatan: $g^{'} (x) = 6 e^{6 x} .$

Regel

Derivatan av $a^{x}$

Derivatan till exponentialfunktioner på formen $f (x) = a^{x},$ dvs. när $a$ är något annat än talet $e$ , är funktionsuttrycket multiplicerat med $ln (a) .$

Härledning

D (a^{x}) = a^{x} \cdot ln (a)

För att visa varför regeln gäller kan man skriva om basen $a$ i exponentialfunktionen $f (x) = a^{x}$ enligt sambandet $a = e^{l n (a)}$ . Sedan använder man deriveringsreglerna för exponentialfunktioner med basen $e .$

f (x) = a^{x}

NumberToBaseE

$a = e^{l n (a)}$

f (x) = (e^{l n (a)})^{x}

PowPow

$(a^{b})^{c} = a^{b \cdot c}$

f (x) = e^{l n (a) \cdot x}

Uttrycken

a^{x}

och

e^{l n (a) \cdot x}

är alltså ekvivalenta och man kan nu använda deriveringsregeln

D (e^{k x}) = k e^{k x}

för att derivera

a^{x}

. Därefter skrivs

e^{l n (a)}

om till

a

igen.

f (x) = e^{l n (a) \cdot x}

Derive

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (e^{l n (a) \cdot x})

DeriveECo

$D (e^{k x}) = k e^{k x}$

f^{'} (x) = ln (a) \cdot e^{l n (a) \cdot x}

ProdInExponent

$a^{b \cdot c} = (a^{b})^{c}$

f^{'} (x) = ln (a) \cdot (e^{l n (a)})^{x}

LnIdII

$e^{l n (a)} = a$

f^{'} (x) = ln (a) \cdot a^{x}

Regel

Derivatan av $a^{k x}$

Funktioner på formen $f (x) = a^{k x}$ deriveras på nästan samma sätt som $f (x) = a^{x} .$ Men utöver att multiplicera funktionsuttrycket med $ln (a)$ multipliceras det även med koefficienten $k .$

Härledning

D (a^{k x}) = a^{k x} \cdot k \cdot ln (a)

För att visa varför regeln gäller kan man skriva om basen

a

i exponentialfunktionen

f (x) = a^{k x}

enligt

a = e^{l n (a)}

. Sedan använder man deriveringsreglerna för exponentialfunktioner med basen

e .

f (x) = a^{k x}

NumberToBaseE

$a = e^{l n (a)}$

f (x) = (e^{l n (a)})^{k x}

PowPow

$(a^{b})^{c} = a^{b \cdot c}$

f (x) = e^{l n (a) \cdot k \cdot x}

Uttrycken

a^{k x}

och

e^{l n (a) \cdot k \cdot x}

är alltså ekvivalenta och man kan nu använda regeln

D (e^{k x}) = k e^{k x}

.

f (x) = e^{l n (a) \cdot k \cdot x}

Derive

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (e^{l n (a) \cdot k \cdot x})

DeriveECo

$D (e^{k x}) = k e^{k x}$

f^{'} (x) = ln (a) \cdot k \cdot e^{l n (a) \cdot k \cdot x}

ProdInExponent

$a^{b \cdot c} = (a^{b})^{c}$

f^{'} (x) = ln (a) \cdot k \cdot (e^{l n (a)})^{k x}

LnIdII

$e^{l n (a)} = a$

f^{'} (x) = ln (a) \cdot k \cdot a^{k x}

RearrangeFac

Omarrangera faktorer

f^{'} (x) = a^{k x} \cdot k \cdot ln (a)

Derivera exponentialfunktioner med generell bas

fullscreen

Uppgift

Derivera $f (x) = 5^{x}$ och $g (x) = 5^{2 x} .$

Visa Lösning

Lösning

Vi börjar med att derivera $f (x) = 5^{x},$ och använder då regeln $D (a^{x}) = a^{x} \cdot ln (a)$ . Vi multiplicerar alltså funktionen med naturliga logaritmen av basen $5 .$ Derivatan blir då $f^{'} (x) = 5^{x} \cdot ln (5) .$ Funktionen $g (x) = 5^{2 x}$ skiljer sig från $f (x)$ genom att $x$ har koefficienten $2 .$ Vi använder därför deriveringsregeln $D (a^{k x}) = a^{k x} \cdot k \cdot ln (a)$ och multiplicerar funktionen med både $2$ och $ln (5)$ : $g^{'} (x) = 5^{2 x} \cdot 2 \cdot ln (5) .$

Deriveringsregler för exponentialfunktioner

Regel

Derivatan av $e^{x}$

Härledning

Regel

Derivatan av $e^{k x}$

Härledning

Exempel

Derivera exponentialfunktioner med bas $e$

Regel

Derivatan av $a^{x}$

Härledning

Regel

Derivatan av $a^{k x}$

Härledning

Exempel

Derivera exponentialfunktioner med generell bas

Härledning

Härledning

Exempel

Derivera exponentialfunktioner med bas e

Härledning

Härledning

Exempel

Derivera exponentialfunktioner med generell bas

Derivera exponentialfunktioner med bas $e$