Logga in
| 7 sidor teori |
| 14 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Exponentialfunktionen f(x)=ex är sin egen derivata.
f(x+h)=ex+h och f(x)=ex
ab+c=ab⋅ac
Dela upp i faktorer
Bryt ut ex
ca⋅b=a⋅cb
f(x+h)=ek(x+h) och f(x)=ekx
Multiplicera in k
ab+c=ab⋅ac
Dela upp i faktorer
Bryt ut ekx
ca⋅b=a⋅cb
Derivera f(x)=ex och g(x)=e6x.
Derivatan till exponentialfunktioner på formen f(x)=ax, dvs. när a är något annat än talet e, är funktionsuttrycket multiplicerat med ln(a).
För att visa varför regeln gäller kan man skriva om basen a i exponentialfunktionen f(x)=ax enligt sambandet a=eln(a). Sedan använder man deriveringsreglerna för exponentialfunktioner med basen e.
Uttrycken ax och eln(a)⋅x är alltså ekvivalenta och man kan nu använda deriveringsregeln D(ekx)=kekx för att derivera ax. Därefter skrivs eln(a) om till a igen.Derivera funktion
D(ekx)=kekx
ab⋅c=(ab)c
eln(a)=a
Funktioner på formen f(x)=akx deriveras på nästan samma sätt som f(x)=ax. Men utöver att multiplicera funktionsuttrycket med ln(a) multipliceras det även med koefficienten k.
Derivera funktion
D(ekx)=kekx
ab⋅c=(ab)c
eln(a)=a
Omarrangera faktorer
Derivera f(x)=5x och g(x)=52x.
Derivera exponentialfunktionen.
Deriverar vi en exponentialfunktion på formen y=e^x blir derivatan samma som funktionen. Alltså blir y'(x)=e^x.
När funktionsuttrycket är e^(kx) måste vi multiplicera funktionen med koefficienten till x, här 2, för att beräkna derivatan. Exponenten ändras inte efter deriveringen.
Även här deriverar vi enligt D( e^(kx)) = ke^(kx). Koefficienten 5 hänger bara med och multipliceras med derivatan 3e^(3x).
Vi skriver om bråket som en multiplikation mellan en koefficient och en potens och deriverar på samma sätt.
Derivera funktionen.
e^x är sin egen derivata och 7x^2 deriveras med reglerna för att derivera en potensfunktion.
e^(4x) deriveras genom att multiplicera e^(4x) med koefficienten till x, dvs. 4. För att derivera 2x skriver vi först om bråket.
Om man vill kan man stanna här. Alternativt kan vi skriva om den sista termen som ett bråk.
Vi skriver om bråket och kan därefter derivera enligt regeln D( ae^x) = a* e^x. Kom ihåg att e är en konstant, så derivatan av den är 0.
Derivera exponentialfunktionen. Svara exakt.
När man deriverar exponentialfunktioner på formen y=a^x så ska potensen multipliceras med naturliga logaritmen av potensens bas, här 3.
Vi skulle kunna slå in ln(3) på räknaren, men eftersom vi ska svara exakt behåller vi uttrycket som det ser ut. Alltså är y'=3^x * ln(3).
Nu har x i exponenten en koefficient, dvs. funktionen står på formen a^(kx). När vi deriverar måste vi multiplicera potensen med både naturliga logaritmen av basen, dvs. ln(5), och med koefficienten till x som är 2.
Högerledet går inte att förenkla mer, så det exakta svaret är att y'=5^(2x) * 2 * ln(5).
Funktionen deriveras på samma sätt som funktioner på formen y=a^(kx). Potensen har visserligen en koefficient framför sig men enligt en av de generella deriveringsreglerna "hänger den bara med".
Derivera funktionen.
Vi deriverar term för term, och tänker på att en term på formen a^(kx) deriveras genom att vi multiplicerar a^(kx) med både ln(a) och koefficienten k.
Vi deriverar term för term igen. Tänk på att bara första termen har variabeln i exponenten. Den andra deriveras med deriveringsregeln för potensfunktioner.
Även här deriverar vi term för term. Kom ihåg att en term på formen e^(kx) deriveras genom att vi multiplicerar e^(kx) med koefficienten k.
Beräkna g′(1) för funktionen. Ange svaret med två decimaler.
Vi ska beräkna derivatans värde för x=1, så vi börjar med att derivera funktionen. Det gör vi term för term med deriveringsreglerna för exponentialfunktioner.
Nu sätter vi in x=1 i derivatan.
Vi börjar med att derivera term för term även nu.
Vi sätter nu in x=1 i derivatan.
Vi gör på samma sätt igen.
Till sist sätter vi in x=1 och beräknar.