Deriveringsregler för exponentialfunktioner

En exponentialfunktion som står på formen

har i de flesta fall en derivata som inte är lika med funktionen själv. Det finns dock ett undantag och det är när funktionens bas är lika med talet e, dvs. ungefär 2.72. Då är derivatan och funktionen samma för alla x. Den blå grafen visar funktionen

f (x) = a^{x}

medan den röda visar derivatan

f^{'} (x) .

Väljer man basen a till e ser man att funktionens och derivatans graf sammanfaller.

Regel

Derivatan av $e^{x}$

Exponentialfunktionen $f (x) = e^{x}$ är sin egen derivata.

Härledning

D (e^{x}) = e^{x}

För att visa varför derivatan till

e^{x}

är

e^{x}

kan man använda derivatans definition.

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

SubstituteII

$f (x + h) = e^{x + h}$ , $f (x) = e^{x}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{x + h} - e ^{x}}{h}

SumInExponent

$a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{x} \cdot e ^{h} - e ^{x}}{h}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{x} \cdot e ^{h} - e ^{x} \cdot 1}{h}

FactorOut

Bryt ut $e^{x}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{x} ( e ^{h} - 1 )}{h}

MovePartNumLeft

$\frac{a \cdot b}{c} = a \cdot \frac{b}{c}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim (e^{x} \cdot \frac{e ^{h} - 1}{h})

Eftersom

e^{x}

inte påverkas av att h går mot 0 kan man placera

e^{x}

utanför gränsvärdet:

Man kan visa att gränsvärdet

h \to 0 lim \frac{e ^{h} - 1}{h}

är lika med 1 (detta är ett så kallat standardgränsvärde). Det medför att

Regel

Derivatan av $e^{k x}$

Derivatan av en exponentialfunktion på formen

f (x) = e^{k x}

är lika med funktionsuttrycket multiplicerat med koefficienten framför x.

Härledning

D (e^{k x}) = k e^{k x}

Man kan visa denna derivata med hjälp av derivatans definition:

Uttrycket f(x+h) får vi genom att ersätta x med x+h i funktionsuttrycket.

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

SubstituteII

$f (x + h) = e^{k (x + h)}$ , $f (x) = e^{k x}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{k (x + h)} - e ^{k x}}{h}

Distr

Multiplicera in k

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{k x + k h} - e ^{k x}}{h}

SumInExponent

$a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{k x} \cdot e ^{k h} - e ^{k x}}{h}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{k x} \cdot e ^{k h} - e ^{k x} \cdot 1}{h}

FactorOut

Bryt ut $e^{k x}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{k x} ( e ^{k h} - 1 )}{h}

MovePartNumLeft

$\frac{a \cdot b}{c} = a \cdot \frac{b}{c}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim (e^{k x} \cdot \frac{e ^{k h} - 1}{h})

Eftersom

e^{k x}

inte innehåller något h påverkas inte denna faktor av att h går mot 0. Man kan därför lyfta ut det från gränsvärdet, vilket ger

Man kan visa att gränsvärdet

h \to 0 lim \frac{e ^{k h} - 1}{h}

är lika med k (detta är ett så kallat standardgränsvärde). Det medför att

Derivera exponentialfunktioner med bas e

fullscreen

Derivera $f (x) = e^{x}$ och $g (x) = e^{6 x} .$

Visa Lösning

Eftersom derivatan av

e^{x}

alltid är sin egen derivata är alltså

Funktionen

g (x) = e^{6 x}

är på formen

e^{k x}

och eftersom

D (e^{k x}) = k e^{k x}

multiplicerar vi funktionen med koefficienten 6 för att få derivatan:

Regel

Derivatan av $a^{x}$

Derivatan till exponentialfunktioner på formen $f (x) = a^{x},$ dvs. när a är något annat än talet e, är funktionsuttrycket multiplicerat med $ln (a) .$

Härledning

D (a^{x}) = a^{x} \cdot ln (a)

För att visa varför regeln gäller kan man skriva om basen a i exponentialfunktionen $f (x) = a^{x}$ enligt sambandet $a = e^{l n (a)}$ . Sedan använder man deriveringsreglerna för exponentialfunktioner med basen e.

f (x) = a^{x}

NumberToBaseE

$a = e^{l n (a)}$

f (x) = (e^{l n (a)})^{x}

PowPow

$(a^{b})^{c} = a^{b \cdot c}$

f (x) = e^{l n (a) \cdot x}

Uttrycken

a^{x}

och

e^{l n (a) \cdot x}

är alltså ekvivalenta och man kan nu använda deriveringsregeln

D (e^{k x}) = k e^{k x}

för att derivera

a^{x}

. Därefter skrivs

e^{l n (a)}

om till a igen.

f (x) = e^{l n (a) \cdot x}

Derive

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (e^{l n (a) \cdot x})

DeriveECo

$D (e^{k x}) = k e^{k x}$

f^{'} (x) = ln (a) \cdot e^{l n (a) \cdot x}

ProdInExponent

$a^{b \cdot c} = (a^{b})^{c}$

f^{'} (x) = ln (a) \cdot (e^{l n (a)})^{x}

LnIdII

$e^{l n (a)} = a$

f^{'} (x) = ln (a) \cdot a^{x}

Regel

Derivatan av $a^{k x}$

Funktioner på formen $f (x) = a^{k x}$ deriveras på nästan samma sätt som $f (x) = a^{x} .$ Men utöver att multiplicera funktionsuttrycket med $ln (a)$ multipliceras det även med koefficienten k.

Härledning

D (a^{k x}) = a^{k x} \cdot k \cdot ln (a)

För att visa varför regeln gäller kan man skriva om basen a i exponentialfunktionen

f (x) = a^{k x}

enligt

a = e^{l n (a)}

. Sedan använder man deriveringsreglerna för exponentialfunktioner med basen e.

f (x) = a^{k x}

NumberToBaseE

$a = e^{l n (a)}$

f (x) = (e^{l n (a)})^{k x}

PowPow

$(a^{b})^{c} = a^{b \cdot c}$

f (x) = e^{l n (a) \cdot k \cdot x}

Uttrycken

a^{k x}

och

e^{l n (a) \cdot k \cdot x}

är alltså ekvivalenta och man kan nu använda regeln

D (e^{k x}) = k e^{k x}

.

f (x) = e^{l n (a) \cdot k \cdot x}

Derive

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (e^{l n (a) \cdot k \cdot x})

DeriveECo

$D (e^{k x}) = k e^{k x}$

f^{'} (x) = ln (a) \cdot k \cdot e^{l n (a) \cdot k \cdot x}

ProdInExponent

$a^{b \cdot c} = (a^{b})^{c}$

f^{'} (x) = ln (a) \cdot k \cdot (e^{l n (a)})^{k x}

LnIdII

$e^{l n (a)} = a$

f^{'} (x) = ln (a) \cdot k \cdot a^{k x}

RearrangeFac

Omarrangera faktorer

f^{'} (x) = a^{k x} \cdot k \cdot ln (a)

Derivera exponentialfunktioner med generell bas

fullscreen

Derivera $f (x) = 5^{x}$ och $g (x) = 5^{2 x} .$

Visa Lösning

Vi börjar med att derivera

f (x) = 5^{x},

och använder då regeln

D (a^{x}) = a^{x} \cdot ln (a)

. Vi multiplicerar alltså funktionen med naturliga logaritmen av basen 5. Derivatan blir då

Funktionen

g (x) = 5^{2 x}

skiljer sig från f(x) genom att x har koefficienten 2. Vi använder därför deriveringsregeln

D (a^{k x}) = a^{k x} \cdot k \cdot ln (a)

och multiplicerar funktionen med både 2 och

ln (5)

:

Deriveringsregler för exponentialfunktioner

Regel

Derivatan av $e^{x}$

Härledning

Regel

Derivatan av $e^{k x}$

Härledning

Exempel

Derivera exponentialfunktioner med bas e

Regel

Derivatan av $a^{x}$

Härledning

Regel

Derivatan av $a^{k x}$

Härledning

Exempel

Derivera exponentialfunktioner med generell bas