Utforska Deriveringsregler för Exponentialfunktioner såsom e^x

Måna-Liza har deriverat de tre funktionerna

f (x) g (x) h (x) = e^{5 x} = 5 e^{x} = x e^{5}

och fått följande svar:

f^{'} (x) g^{'} (x) h^{'} (x) = 5 e^{5 x} = 5 e^{x} = 5 x e^{5} .

Gudrun-Olle är skeptisk och frågar dig om professionell hjälp. Har Måna-Liza gjort rätt? Motivera!

Vi deriverar funktionerna för att se om vi får samma svar som Måna-Liza, och börjar med f(x).

Vi får samma svar och kan anta att det är korrekt. Vi fortsätter nu med g(x).

Även nu får vi samma svar som Måna-Liza. Till sist deriverar vi h(x). När vi gör det är det viktigt att komma ihåg att e bara är ett vanligt tal, så vi kan sätta e^5 som en koefficient framför x.

Här har Måna-Liza gjort fel, hon fick h'(x)=5xe^5. Hon verkar ha använt deriveringsregeln D(e^(kx))=ke^(kx). Denna gäller dock bara när e är en funktion, dvs. då den är upphöjd till något med x. Men e^5 är en konstant. Sammanfattningsvis deriverade alltså Måna-Liza h(x) på fel sätt och rätt svar är h'(x)=e^5.

Den blå grafen visar funktionen $f (x) = 2 \cdot e^{2 x} .$ Avgör vilken av de röda graferna som visar $f^{'} (x) .$

Fyra exponentialfunktioner som skär y-axeln i olika punkter.

Vi börjar med att derivera funktionen.

Även derivatan är en exponentialfunktion men koefficienten framför potensen är 4: f'(x)=4* e^(2x) Detta betyder att derivatan skär y-axeln i (0,4), så B måste vara derivatans graf.

Bestäm derivatan till

y = 3 e^{x}

med deriveringsregeln

D (e^{x}) = e^{x} .

Multiplikation är upprepad addition så 3e^x kan skrivas om som summan e^x+e^x+e^x. Vi har alltså tre stycken e^x-termer som adderas och när vi deriverar så görs det term för term.

Nu ser vi att derivatan till y=3e^x är lika med y'=3e^x.

För en exponentialfunktion på formen

f (x) = a^{x}

vet man att

f^{'} (0) = 3 .

Bestäm basen

a

exakt.

Vi vet att f'(0)=3 vilket betyder att derivatans värde är 3 när x=0. Vi deriverar funktionen för att kunna använda denna information.

Nu kan vi bestämma a genom att sätta x=0 och f'(0)=3.

Vi ser nu att a=e^3.

Derivera.

f (x) = 3 x^{4} + 6 x + 10

f (x) = e^{x} + e x

f (x) = \frac{2}{3 x} + \frac{3 x}{2}

Vi deriverar varje term för sig. Kom ihåg att derivatan av konstanter är 0.

Funktionens derivata är f'(x)=12x^3+6.

Exponentialfunktionen f(x)=e^x är sin egen derivata. Kom ihåg att talet e är en konstant så när man deriverar ex så är det samma sak som att derivera ax.

Funktionens derivata är f'(x)=e^x+e.

För att derivera funktionen gör vi först omskrivningen f(x)=2/3* x^(- 1)+3/2* x. Nu kan vi derivera funktionen som vanligt.

Om man vill kan man stanna här. Alternativt kan vi skriva om det på en snyggare form.

Funktionens derivata är f'(x)=- 23x^2+ 32.

Deriveringsregler för exponentialfunktioner

Förkunskaper

Derivatan av $e^{x}$

Härledning

Derivatan av $e^{k x}$

Härledning

Derivera exponentialfunktioner med bas $e$

Ledtråd

Lösning

Derivatan av $a^{x}$

Härledning

Derivatan av $a^{k x}$

Härledning

Derivera exponentialfunktioner med generell bas

Ledtråd

Lösning

Träna på derivator av exponentialfunktioner

Deriveringsregler för exponentialfunktioner

Rekommenderade uppgifter

	8 sidor teori
	14 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.