6. Deriveringsregler för exponentialfunktioner
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 3
6.
Deriveringsregler för exponentialfunktioner
Innehållet handlar om deriveringsregler för exponentialfunktioner. Den förklarar hur man kan derivera olika former av exponentialfunktioner, inklusive de med basen e. Det framhävs att derivatan av en exponentialfunktion på formen e^x är densamma som funktionen själv. Detta illustreras med grafer som visar att funktionen och dess derivata sammanfaller när basen är e. Sidan förklarar också hur man kan använda derivatans definition för att visa varför detta är fallet. Dessutom beskrivs hur man kan derivera funktioner på formen a^x, där a är något annat än e, genom att skriva om basen a enligt ett visst samband och sedan använda deriveringsreglerna för exponentialfunktioner med basen e.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 7 sidor teori |
| | 14 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Deriveringsregler för exponentialfunktioner
Sida av 7
En exponentialfunktion som står på formen
f(x)=ax
har i de flesta fall en derivata som inte är lika med funktionen själv. Det finns dock ett undantag och det är när funktionens bas är lika med talet e, dvs. ungefär 2.72. Då är derivatan och funktionen samma för alla x. Den blå grafen visar funktionen f(x)=ax medan den röda visar derivatan f′(x). Väljer man basen a till e ser man att funktionens och derivatans graf sammanfaller. Regel
Derivatan av ex
Exponentialfunktionen f(x)=ex är sin egen derivata.
Härledning
D(ex)=exFör att visa varför derivatan till ex är ex kan man använda derivatans definition.
Eftersom ex inte påverkas av att h går mot 0 kan man placera ex utanför gränsvärdet:
f′(x)=h→0limhf(x+h)−f(x)
SubstituteII
f(x+h)=ex+h och f(x)=ex
f′(x)=h→0limhex+h−ex
SumInExponent
ab+c=ab⋅ac
f′(x)=h→0limhex⋅eh−ex
SplitIntoFactors
Dela upp i faktorer
f′(x)=h→0limhex⋅eh−ex⋅1
FactorOut
Bryt ut ex
f′(x)=h→0limhex(eh−1)
MovePartNumLeft
ca⋅b=a⋅cb
f′(x)=h→0lim(ex⋅heh−1)
f′(x)=ex⋅h→0limheh−1.
Man kan visa att gränsvärdet h→0limheh−1 är lika med 1 (detta är ett så kallat standardgränsvärde). Det medför att f′(x)=ex⋅1=ex.
Regel
Derivatan av ekx
Derivatan av en exponentialfunktion på formen f(x)=ekx är lika med funktionsuttrycket multiplicerat med koefficienten framför x.
Härledning
D(ekx)=kekxMan kan visa denna derivata med hjälp av derivatans definition:
Eftersom ekx inte innehåller något h påverkas inte denna faktor av att h går mot 0. Man kan därför lyfta ut det från gränsvärdet, vilket ger
f′(x)=h→0limhf(x+h)−f(x).
Uttrycket f(x+h) får vi genom att ersätta x med x+h i funktionsuttrycket.
f′(x)=h→0limhf(x+h)−f(x)
SubstituteII
f(x+h)=ek(x+h) och f(x)=ekx
f′(x)=h→0limhek(x+h)−ekx
Distr
Multiplicera in k
f′(x)=h→0limhekx+kh−ekx
SumInExponent
ab+c=ab⋅ac
f′(x)=h→0limhekx⋅ekh−ekx
SplitIntoFactors
Dela upp i faktorer
f′(x)=h→0limhekx⋅ekh−ekx⋅1
FactorOut
Bryt ut ekx
f′(x)=h→0limhekx(ekh−1)
MovePartNumLeft
ca⋅b=a⋅cb
f′(x)=h→0lim(ekx⋅hekh−1)
f′(x)=ekx⋅h→0limhekh−1.
Man kan visa att gränsvärdet h→0limhekh−1 är lika med k (detta är ett så kallat standardgränsvärde). Det medför att f′(x)=ekx⋅k=kekx.
Exempel
Derivera exponentialfunktioner med bas e
Derivera f(x)=ex och g(x)=e6x.
Visa Lösning expand_more
Eftersom derivatan av ex alltid är sin egen derivata är alltså
f′(x)=ex.
Funktionen g(x)=e6x är på formen ekx och eftersom D(ekx)=kekx multiplicerar vi funktionen med koefficienten 6 för att få derivatan:
g′(x)=6e6x.
Regel
Derivatan av ax
Derivatan till exponentialfunktioner på formen f(x)=ax, dvs. när a är något annat än talet e, är funktionsuttrycket multiplicerat med ln(a).
Härledning
D(ax)=ax⋅ln(a)För att visa varför regeln gäller kan man skriva om basen a i exponentialfunktionen f(x)=ax enligt sambandet a=eln(a). Sedan använder man deriveringsreglerna för exponentialfunktioner med basen e.
Uttrycken ax och eln(a)⋅x är alltså ekvivalenta och man kan nu använda deriveringsregeln D(ekx)=kekx för att derivera ax. Därefter skrivs eln(a) om till a igen.f(x)=eln(a)⋅x
Derive
Derivera funktion
f′(x)=D(eln(a)⋅x)
DeriveECo
D(ekx)=kekx
f′(x)=ln(a)⋅eln(a)⋅x
ProdInExponent
ab⋅c=(ab)c
f′(x)=ln(a)⋅(eln(a))x
LnIdII
eln(a)=a
f′(x)=ln(a)⋅ax
Regel
Derivatan av akx
Funktioner på formen f(x)=akx deriveras på nästan samma sätt som f(x)=ax. Men utöver att multiplicera funktionsuttrycket med ln(a) multipliceras det även med koefficienten k.
Härledning
D(akx)=akx⋅k⋅ln(a)För att visa varför regeln gäller kan man skriva om basen a i exponentialfunktionen f(x)=akx enligt a=eln(a). Sedan använder man deriveringsreglerna för exponentialfunktioner med basen e.
Uttrycken akx och eln(a)⋅k⋅x är alltså ekvivalenta och man kan nu använda regeln D(ekx)=kekx.
f(x)=eln(a)⋅k⋅x
Derive
Derivera funktion
f′(x)=D(eln(a)⋅k⋅x)
DeriveECo
D(ekx)=kekx
f′(x)=ln(a)⋅k⋅eln(a)⋅k⋅x
ProdInExponent
ab⋅c=(ab)c
f′(x)=ln(a)⋅k⋅(eln(a))kx
LnIdII
eln(a)=a
f′(x)=ln(a)⋅k⋅akx
RearrangeFac
Omarrangera faktorer
f′(x)=akx⋅k⋅ln(a)
Exempel
Derivera exponentialfunktioner med generell bas
Derivera f(x)=5x och g(x)=52x.
Visa Lösning expand_more
Vi börjar med att derivera f(x)=5x, och använder då regeln D(ax)=ax⋅ln(a). Vi multiplicerar alltså funktionen med naturliga logaritmen av basen 5. Derivatan blir då
f′(x)=5x⋅ln(5).
Funktionen g(x)=52x skiljer sig från f(x) genom att x har koefficienten 2. Vi använder därför deriveringsregeln D(akx)=akx⋅k⋅ln(a) och multiplicerar funktionen med både 2 och ln(5):
g′(x)=52x⋅2⋅ln(5).
Deriveringsregler för exponentialfunktioner
Övningar
Måna-Liza har deriverat de tre funktionerna
f(x)g(x)h(x)=e5x=5ex=xe5
och fått följande svar:
f′(x)g′(x)h′(x)=5e5x=5ex=5xe5.
Gudrun-Olle är skeptisk och frågar dig om professionell hjälp. Har Måna-Liza gjort rätt? Motivera!
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
security
report
code
security
report
code
Vi deriverar funktionerna för att se om vi får samma svar som Måna-Liza, och börjar med f(x).
Vi får samma svar och kan anta att det är korrekt. Vi fortsätter nu med g(x).
Även nu får vi samma svar som Måna-Liza. Till sist deriverar vi h(x). När vi gör det är det viktigt att komma ihåg att e bara är ett vanligt tal, så vi kan sätta e^5 som en koefficient framför x.
Här har Måna-Liza gjort fel, hon fick h'(x)=5xe^5. Hon verkar ha använt deriveringsregeln D(e^(kx))=ke^(kx). Denna gäller dock bara när e är en funktion, dvs. då den är upphöjd till något med x. Men e^5 är en konstant. Sammanfattningsvis deriverade alltså Måna-Liza h(x) på fel sätt och rätt svar är h'(x)=e^5.
security
report
code
Den blå grafen visar funktionen f(x)=2⋅e2x. Avgör vilken av de röda graferna som visar f′(x).
{"type":"choice","form":{"alts":["<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.68333em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">A<\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.68333em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.05017em;\">B<\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.68333em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.07153em;\">C<\/span><\/span><\/span><\/span>"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att derivera funktionen.
Även derivatan är en exponentialfunktion men koefficienten framför potensen är 4: f'(x)=4* e^(2x) Detta betyder att derivatan skär y-axeln i (0,4), så B måste vara derivatans graf.
security
report
code
Bestäm derivatan till y=3ex med deriveringsregeln D(ex)=ex.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.946332em;vertical-align:-0.19444em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.03588em;\">y<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.751892em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mord mtight\">\u2032<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["3e^x"]}}
security
report
code
security
report
code
Multiplikation är upprepad addition så 3e^x kan skrivas om som summan e^x+e^x+e^x. Vi har alltså tre stycken e^x-termer som adderas och när vi deriverar så görs det term för term.
Nu ser vi att derivatan till y=3e^x är lika med y'=3e^x.
security
report
code
För en exponentialfunktion på formen f(x)=ax vet man att f′(0)=3. Bestäm basen a exakt.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">a<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["e^3"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi vet att f'(0)=3 vilket betyder att derivatans värde är 3 när x=0. Vi deriverar funktionen för att kunna använda denna information.
Nu kan vi bestämma a genom att sätta x=0 och f'(0)=3.
Vi ser nu att a=e^3.
security
report
code
Derivera.
f(x)=3x4+6x+10
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:1.001892em;vertical-align:-0.25em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.10764em;\">f<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.751892em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mord mtight\">\u2032<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["12x^3+6"]}}
f(x)=ex+ex
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:1.001892em;vertical-align:-0.25em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.10764em;\">f<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.751892em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mord mtight\">\u2032<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["e^x+e"]}}
f(x)=3x2+23x
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:1.001892em;vertical-align:-0.25em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.10764em;\">f<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.751892em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mord mtight\">\u2032<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-\\dfrac{2}{3x^2}+\\dfrac{3}{2}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi deriverar varje term för sig. Kom ihåg att derivatan av konstanter är 0.
Funktionens derivata är f'(x)=12x^3+6.
Exponentialfunktionen f(x)=e^x är sin egen derivata. Kom ihåg att talet e är en konstant så när man deriverar ex så är det samma sak som att derivera ax.
Funktionens derivata är f'(x)=e^x+e.
För att derivera funktionen gör vi först omskrivningen
f(x)=2/3* x^(- 1)+3/2* x.
Nu kan vi derivera funktionen som vanligt.
Om man vill kan man stanna här. Alternativt kan vi skriva om det på en snyggare form.
Funktionens derivata är f'(x)=- 23x^2+ 32.
security
report
code
Deriveringsregler för exponentialfunktioner
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll