6. Deriveringsregler för exponentialfunktioner
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 3
6.
Deriveringsregler för exponentialfunktioner
Innehållet handlar om deriveringsregler för exponentialfunktioner. Den förklarar hur man kan derivera olika former av exponentialfunktioner, inklusive de med basen e. Det framhävs att derivatan av en exponentialfunktion på formen e^x är densamma som funktionen själv. Detta illustreras med grafer som visar att funktionen och dess derivata sammanfaller när basen är e. Sidan förklarar också hur man kan använda derivatans definition för att visa varför detta är fallet. Dessutom beskrivs hur man kan derivera funktioner på formen a^x, där a är något annat än e, genom att skriva om basen a enligt ett visst samband och sedan använda deriveringsreglerna för exponentialfunktioner med basen e.
Inställningar & verktyg för lektion
| | 8 sidor teori |
| | 14 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Deriveringsregler för exponentialfunktioner
Sida av 8
En exponentialfunktion som står på formen f(x)=a^x har i de flesta fall en derivata som inte är lika med funktionen själv. Det finns dock ett undantag och det är när funktionens bas är lika med talet e, dvs. ungefär 2,72. Då är derivatan och funktionen samma för alla x. Den blå grafen visar funktionen f(x)=a^x medan den röda visar derivatan f'(x). Väljer man basen a till e ser man att funktionens och derivatans graf sammanfaller.
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Derivatan av e^x
- Derivatan av e^(kx)
- Derivatan av a^x
- Derivatan av a^(kx)
Förkunskaper
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Derivatan av e^x
Exponentialfunktionen f(x)=e^x är sin egen derivata.
Härledning
D(e^x) = e^xFör att visa varför derivatan till e^x är e^x kan man använda derivatans definition.
f'(x) =lim _(h → 0)f(x+h) - f(x)/h
SubstituteII
f(x+h)= e^(x+h) och f(x)= e^x
f'(x) = lim _(h → 0) e^(x+h) - e^x/h
SumInExponent
a^(b+c)=a^b*a^c
f'(x) = lim _(h → 0) e^x * e^h - e^x/h
SplitIntoFactors
Dela upp i faktorer
f'(x) = lim _(h → 0) e^x * e^h- e^x* 1/h
FactorOut
Bryt ut e^x
f'(x) = lim _(h → 0) e^x(e^h - 1)/h
MovePartNumLeft
a* b/c=a*b/c
f'(x) = lim _(h → 0) (e^x * e^h - 1/h)
Eftersom e^x inte påverkas av att h går mot 0 kan man placera e^x utanför gränsvärdet: f'(x) = e^x * lim _(h → 0) e^h - 1/h. Man kan visa att gränsvärdet lim _(h → 0) e^h - 1h är lika med 1 (detta är ett så kallat standardgränsvärde). Det medför att f'(x)=e^x* 1=e^x.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Derivatan av e^(kx)
Derivatan av en exponentialfunktion på formen f(x)=e^(kx) är lika med funktionsuttrycket multiplicerat med koefficienten framför x.
Härledning
D(e^(kx)) = ke^(kx)Man kan visa denna derivata med hjälp av derivatans definition:
f'(x)=lim_(h→ 0)f(x+h)-f(x)/h.
Uttrycket f(x+h) får vi genom att ersätta x med x+h i funktionsuttrycket.
f'(x) =lim _(h → 0)f(x+h) - f(x)/h
SubstituteII
f(x+h)= e^(k(x+h)) och f(x)= e^(kx)
f'(x) = lim _(h → 0) e^(k(x+h)) - e^(kx)/h
Distr
Multiplicera in k
f'(x) = lim _(h → 0) e^(kx+kh) - e^(kx)/h
SumInExponent
a^(b+c)=a^b*a^c
f'(x) = lim _(h → 0) e^(kx) * e^(kh) - e^(kx)/h
SplitIntoFactors
Dela upp i faktorer
f'(x) = lim _(h → 0) e^(kx) * e^(kh) - e^(kx)* 1/h
FactorOut
Bryt ut e^(kx)
f'(x) = lim _(h → 0) e^(kx)(e^(kh) - 1)/h
MovePartNumLeft
a* b/c=a*b/c
f'(x) = lim _(h → 0)( e^(kx) * e^(kh) - 1/h)
Eftersom e^(kx) inte innehåller något h påverkas inte denna faktor av att h går mot 0. Man kan därför lyfta ut det från gränsvärdet, vilket ger f'(x) = e^(kx) * lim _(h → 0) e^(kh) - 1/h. Man kan visa att gränsvärdet lim _(h → 0) e^(kh) - 1h är lika med k (detta är ett så kallat standardgränsvärde). Det medför att f'(x)=e^(kx)* k=ke^(kx).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Derivera exponentialfunktioner med bas e
Derivera följande funktioner.
a f(x)=e^x
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["e"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"f'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["e^x"]}}
b g(x)=e^(6x)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["e"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"g'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["6e^{6x}"]}}
Lösning
a Eftersom derivatan av e^x alltid är sin egen derivata är alltså
f'(x)=e^x.
b Funktionen g(x)=e^(6x) är på formen e^(kx) och eftersom D(e^(kx))=ke^(kx) multiplicerar vi funktionen med koefficienten 6 för att få derivatan:
g'(x)=6e^(6x).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Derivatan av a^x
Derivatan till exponentialfunktioner på formen f(x)=a^x, dvs. när a är något annat än talet e, är funktionsuttrycket multiplicerat med ln(a).
Härledning
D(a^x ) = a^x * ln(a)För att visa varför regeln gäller kan man skriva om basen a i exponentialfunktionen f(x)=a^x enligt sambandet a=e^(ln(a)). Sedan använder man deriveringsreglerna för exponentialfunktioner med basen e.
Uttrycken a^x och e^(ln(a)* x) är alltså ekvivalenta och man kan nu använda deriveringsregeln D(e^(kx))=ke^(kx) för att derivera a^x. Därefter skrivs e^(ln(a)) om till a igen.
f(x)= e^(ln(a)* x)
Derive
Derivera funktion
f'(x) =D(e^(ln(a)* x))
DeriveECo
D( e^(kx)) = ke^(kx)
f'(x) =ln(a)* e^(ln(a)* x)
ProdInExponent
a^(b* c)=(a^b)^c
f'(x) =ln(a)* (e^(ln(a)))^x
LnIdII
e^(ln(a))= a
f'(x) =ln(a)* a^x
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Derivatan av a^(kx)
Funktioner på formen f(x)=a^(kx) deriveras på nästan samma sätt som f(x)=a^x. Men utöver att multiplicera funktionsuttrycket med ln(a) multipliceras det även med koefficienten k.
Härledning
D(a^(kx)) = a^(kx)* k * ln(a)För att visa varför regeln gäller kan man skriva om basen a i exponentialfunktionen f(x)=a^(kx) enligt a=e^(ln(a)). Sedan använder man deriveringsreglerna för exponentialfunktioner med basen e.
f(x)=a^(kx)
NumberToBaseE
a = e^(ln(a))
f(x)=(e^(ln(a)))^(kx)
PowPow
(a^b)^c=a^(b* c)
f(x)=e^(ln(a)* k* x)
Uttrycken a^(kx) och e^(ln(a)* k * x) är alltså ekvivalenta och man kan nu använda regeln D( e^(kx)) = ke^(kx).
f(x)= e^(ln(a)* k * x)
Derive
Derivera funktion
f'(x) =D(e^(ln(a)* k * x))
DeriveECo
D( e^(kx)) = ke^(kx)
f'(x) =ln(a) * k * e^(ln(a)* k * x)
ProdInExponent
a^(b* c)=(a^b)^c
f'(x) =ln(a)* k* (e^(ln(a)))^(kx)
LnIdII
e^(ln(a))= a
f'(x) =ln(a)* k* a^(kx)
RearrangeFac
Omarrangera faktorer
f'(x) = a^(kx) * k * ln(a)
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Derivera exponentialfunktioner med generell bas
Derivera följande funktioner.
a f(x)=5^x
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["e"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"f'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["5^x * \\ln {5}"]}}
b g(x)=5^(2x)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["e"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"g'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["5^{2x} *2* \\ln {5}"]}}
Lösning
a Vi kan derivera f(x) = 5^x med hjälp av regeln D(a^x)=a^x* ln(a). Vi multiplicerar alltså funktionen med den naturliga logaritmen av basen 5. Derivatan blir då
f'(x)=5^x* ln(5).
b Funktionen g(x)=5^(2x) skiljer sig från f(x) genom att x har koefficienten 2. Vi använder därför deriveringsregeln D(a^(kx))=a^(kx)* k * ln(a) och multiplicerar funktionen med både 2 och ln(5):
g'(x)=5^(2x) * 2 * ln(5).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Träna på derivator av exponentialfunktioner
Använd reglerna för derivering av exponentialfunktioner för att avgöra vilket alternativ som är derivatan av den givna funktionen.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Deriveringsregler för exponentialfunktioner
Uppgift 3.1
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"f'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["16\\ln(2)\\cdot 2^{2x}"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"g'(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-27\\ln(3) \\cdot 3^{-3x}"]}}
security
report
code
security
report
code
För att derivera f(x) skriver vi först om potensen med potenslagen a^(b+c)=a^b*a^c.
Nu kan vi derivera funktionen.
Vi skriver om g(x) med potenslagen a^(b-c)= a^ba^c och förbereder den för derivering.
Nu kan vi derivera funktionen.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"y=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["0,7x+1"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x\u2248","formTextAfter":null,"answer":{"text":["7,3"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi kan använda enpunktsform för att ange en tangents ekvation. Detta kräver att vi känner till en punkt på tangenten (exempelvis tangeringspunkten) samt tangentens k-värde. Vi börjar med att bestämma tangeringspunkten. x-koordinaten är x=4 och y-koordinaten får vi genom att sätta in x=4 i funktionen.
Tangeringspunkten har de ungefärliga koordinaterna (4;3,8). Nu bestämmer vi tangentens k-värde, dvs. lutningen, genom att derivera funktionen och sätta in tangeringspunktens x-värde.
Vi sätter nu in x=4 i derivatan för att beräkna funktionens lutning i detta x-värde.
k-värdet är ca 0,7. Avslutningsvis bestämmer vi den räta linjens ekvation genom att sätta in tangeringspunkten och lutningen i enpunktsformen och löser ut y.
Tangenten har ekvationen y =0,7x+1.
Parallella linjer har samma lutning, så tangenten till g(x) ska ha samma lutning som t(x), alltså 0,7. Derivata visar en funktions lutning så genom att derivera g(x) och likställa med 0,7 kan vi lösa ut det x där funktionen har lutningen 0,7. Vi börjar alltså med att derivera g(x).
Nu likställer vi derivatan med 0,7 och löser ut x genom att logaritmera båda led och därefter lyfta ner exponenten enligt logaritmregeln för potenser.
I ungefär x=7,3 skär tangenten g(x). Vi ritar denna tangent och ser att den är parallell med t(x).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
En tangent skär grafen till funktionen h(x)=5^(3x) i punkten (1,125). I vilken punkt skär tangenten x-axeln? Svara exakt och förenkla så långt som möjligt.
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"1-\\dfrac{1}{3\\ln(5)}","text2":"0"}}
security
report
code
security
report
code
För att bestämma tangentens skärningspunkt med x-axeln måste vi känna till tangentens ekvation. Det kan vi göra med enpunktsformen och för att använda den måste vi känna till en punkt på tangenten, t.ex. tangeringspunkten (1,125), samt tangentens k-värde. Vi bestämmer k-värdet genom att derivera h(x) och sätter in x=1 i derivatan.
k-värdet är 375ln(5). Vi sätter in k-värdet och tangeringspunkten (1,125) i enpunktsformen.
Tangentens ekvation är y =375ln(5)x - 375ln(5)+125. När en linje skär x-axeln är y=0. Genom att sätta tangentens ekvation lika med 0 kan vi lösa ut motsvarande x-värde, dvs. nollstället.
Skärningspunkten är alltså ( 375ln(5)-125375ln(5),0). Vi måste dock förenkla uttrycket för x-koordinaten något, vilket ändå är att föredra.
Svaret blir alltså (1-1/3ln(5),0).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Ange alla funktioner som har egenskapen att f(x)=f'(x) där f(x)≠ 0.
Nationella provet HT12 3b/3c
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["a"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"f(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["ae^x"]}}
security
report
code
security
report
code
Uttrycket f(x)=f'(x) innebär att funktionen f(x) är lika med sin egen derivata f'(x). Om vi ritar funktionen och derivatan i samma koordinatsystem ska de alltså överlappa varandra. Vi minns följande deriveringsregel för exponentialfunktioner: D(e^x)=e^x. Eftersom e^x är sin egen derivata är funktionens och derivatans grafer likadana.
Men, vi kan även multiplicera e^x med en godtycklig koefficient a eftersom koefficienter hänger med
i deriveringen:
D(ae^x)=ae^x.
Vi visar även en exponentialfunktion med den godtyckliga koefficienten a tillsammans med sin derivata i ett koordinatsystem.
Även här överlappar derivatan och funktionen. Samtliga funktioner som uppfyller kriteriet f(x)=f'(x) är f(x)=ae^x.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Deriveringsregler för exponentialfunktioner
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll