Deriveringsregler för exponentialfunktioner

För att derivera f(x) skriver vi först om potensen med potenslagen a^(b+c)=a^b*a^c.

Nu kan vi derivera funktionen.

Vi skriver om g(x) med potenslagen a^(b-c)= a^ba^c och förbereder den för derivering.

Nu kan vi derivera funktionen.

Vi kan använda enpunktsform för att ange en tangents ekvation. Detta kräver att vi känner till en punkt på tangenten (exempelvis tangeringspunkten) samt tangentens k-värde. Vi börjar med att bestämma tangeringspunkten. x-koordinaten är x=4 och y-koordinaten får vi genom att sätta in x=4 i funktionen.

Tangeringspunkten har de ungefärliga koordinaterna (4,3.8). Nu bestämmer vi tangentens k-värde, dvs. lutningen, genom att derivera funktionen och sätta in tangeringspunktens x-värde.

Vi sätter nu in x=4 i derivatan för att beräkna funktionens lutning i detta x-värde.

k-värdet är ca 0.7. Avslutningsvis bestämmer vi den räta linjens ekvation genom att sätta in tangeringspunkten och lutningen i enpunktsformen och löser ut y.

Tangenten har ekvationen y =0.7x+1.

Parallella linjer har samma lutning, så tangenten till g(x) ska ha samma lutning som t(x), alltså 0.7. Derivata visar en funktions lutning så genom att derivera g(x) och likställa med 0.7 kan vi lösa ut det x där funktionen har lutningen 0.7. Vi börjar alltså med att derivera g(x).

Nu likställer vi derivatan med 0.7 och löser ut x genom att logaritmera båda led och därefter lyfta ner exponenten enligt logaritmregeln för potenser.

I ungefär x=7.3 skär tangenten g(x). Vi ritar denna tangent och ser att den är parallell med t(x).

För att bestämma tangentens skärningspunkt med x-axeln måste vi känna till tangentens ekvation. Det kan vi göra med enpunktsformen och för att använda den måste vi känna till en punkt på tangenten, t.ex. tangeringspunkten (1,125), samt tangentens k-värde. Vi bestämmer k-värdet genom att derivera h(x) och sätter in x=1 i derivatan.

k-värdet är 375ln(5). Vi sätter in k-värdet och tangeringspunkten (1,125) i enpunktsformen.

Tangentens ekvation är y =375ln(5)x - 375ln(5)+125. När en linje skär x-axeln är y=0. Genom att sätta tangentens ekvation lika med 0 kan vi lösa ut motsvarande x-värde, dvs. nollstället.

Skärningspunkten är alltså ( 375ln(5)-125375ln(5),0). Vi måste dock förenkla uttrycket för x-koordinaten något, vilket ändå är att föredra.

Svaret blir alltså (1-1/3ln(5),0).

Uttrycket f(x)=f'(x) innebär att funktionen f(x) är lika med sin egen derivata f'(x). Om vi ritar funktionen och derivatan i samma koordinatsystem ska de alltså överlappa varandra. Vi minns följande deriveringsregel för exponentialfunktioner: D(e^x)=e^x. Eftersom e^x är sin egen derivata är funktionens och derivatans grafer likadana.

Men, vi kan även multiplicera e^x med en godtycklig koefficient a eftersom koefficienter "hänger med" i deriveringen: D(ae^x)=ae^x. Vi visar även en exponentialfunktion med den godtyckliga koefficienten a tillsammans med sin derivata i ett koordinatsystem.

Även här överlappar derivatan och funktionen. Samtliga funktioner som uppfyller kriteriet f(x)=f'(x) är f(x)=ae^x.