Deriveringsregler för exponentialfunktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

En exponentialfunktion som står på formen f(x)=ax f(x)=a^x har i de flesta fall en derivata som inte är lika med funktionen själv. Det finns dock ett undantag och det är när funktionens bas är lika med talet ee, dvs. ungefär 2.72.2.72. Då är derivatan och funktionen samma för alla x.x. Den blå grafen visar funktionen f(x)=axf(x)=a^x medan den röda visar derivatan f(x).f'(x). Väljer man basen aa till ee ser man att funktionens och derivatans graf sammanfaller.

Regel

Derivatan av exe^x

Exponentialfunktionen f(x)=exf(x)=e^x är sin egen derivata.

Härledning

D(ex)=exD(e^x) = e^x
För att visa varför derivatan till exe^x är exe^x kan man använda derivatans definition.
f(x)=limh0f(x+h)f(x)hf'(x) =\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}
f(x)=limh0ex+hexhf'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{{\color{#0000FF}{e^{x+h}}} - {\color{#009600}{e^x}}}{h}
f(x)=limh0exehexhf'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{e^x \cdot e^h - e^x}{h}
f(x)=limh0exehex1hf'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{e^x \cdot e^h- e^x\cdot 1}{h}
f(x)=limh0ex(eh1)hf'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{e^x\left(e^h - 1\right)}{h}
f(x)=limh0(exeh1h)f'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \left(e^x \cdot \dfrac{e^h - 1}{h}\right)
Eftersom exe^x inte påverkas av att hh går mot 00 kan man placera exe^x utanför gränsvärdet: f(x)=exlimh0eh1h. f'(x) = e^x \cdot \, \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{e^h - 1}{h}. Man kan visa att gränsvärdet limh0eh1h\lim \limits_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} är lika med 11 (detta är ett så kallat standardgränsvärde). Det medför att f(x)=ex1=ex. f'(x)=e^x\cdot 1=e^x.
Regel

Derivatan av ekxe^{kx}

Derivatan av en exponentialfunktion på formen f(x)=ekxf(x)=e^{kx} är lika med funktionsuttrycket multiplicerat med koefficienten framför x.x.

Härledning

D(ekx)=kekxD\left(e^{kx}\right) = ke^{kx}
Man kan visa denna derivata med hjälp av derivatans definition: f(x)=limh0f(x+h)f(x)h. f'(x)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}. Uttrycket f(x+h)f(x+h) får vi genom att ersätta xx med x+hx+h i funktionsuttrycket.
f(x)=limh0f(x+h)f(x)hf'(x) =\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}
f(x)=limh0ek(x+h)ekxhf'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{{\color{#0000FF}{e^{k(x+h)}}} - {\color{#009600}{e^{kx}}}}{h}
f(x)=limh0ekx+khekxhf'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{e^{kx+kh} - e^{kx}}{h}
f(x)=limh0ekxekhekxhf'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{e^{kx} \cdot e^{kh} - e^{kx}}{h}
f(x)=limh0ekxekhekx1hf'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{e^{kx} \cdot e^{kh} - e^{kx}\cdot 1}{h}
f(x)=limh0ekx(ekh1)hf'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{e^{kx}\left(e^{kh} - 1\right)}{h}
f(x)=limh0(ekxekh1h)f'(x) = \lim \limits_{h \to 0}\left( e^{kx} \cdot \dfrac{e^{kh} - 1}{h}\right)
Eftersom ekxe^{kx} inte innehåller något hh påverkas inte denna faktor av att hh går mot 0.0. Man kan därför lyfta ut det från gränsvärdet, vilket ger f(x)=ekxlimh0ekh1h. f'(x) = e^{kx} \cdot \, \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{e^{kh} - 1}{h}. Man kan visa att gränsvärdet limh0ekh1h\lim \limits_{h \to 0} \frac{e^{kh} - 1}{h} är lika med kk (detta är ett så kallat standardgränsvärde). Det medför att f(x)=ekxk=kekx. f'(x)=e^{kx}\cdot k=ke^{kx}.
Uppgift

Derivera f(x)=exf(x)=e^x och g(x)=e6x.g(x)=e^{6x}.

Lösning

Eftersom derivatan av exe^x alltid är sin egen derivata är alltså f(x)=ex. f'(x)=e^x. Funktionen g(x)=e6xg(x)=e^{6x} är på formen ekxe^{kx} och eftersom D(ekx)=kekxD\left(e^{kx}\right)=ke^{kx} multiplicerar vi funktionen med koefficienten 66 för att få derivatan: g(x)=6e6x. g'(x)=6e^{6x}.


Visa lösning Visa lösning
Regel

Derivatan av axa^x

Derivatan till exponentialfunktioner på formen f(x)=ax,f(x)=a^x, dvs. när aa är något annat än talet ee, är funktionsuttrycket multiplicerat med ln(a).\ln(a).

Härledning

D(ax)=axln(a)D\left(a^x \right) = a^x \cdot \ln(a)

För att visa varför regeln gäller kan man skriva om basen aa i exponentialfunktionen f(x)=axf(x)=a^x enligt sambandet a=eln(a)a=e^{\ln(a)}. Sedan använder man deriveringsreglerna för exponentialfunktioner med basen e.e.

f(x)=axf(x)=a^x
f(x)=(eln(a))xf(x)=\left(e^{\ln(a)}\right)^x
f(x)=eln(a)xf(x)=e^{\ln(a)\cdot x}
Uttrycken axa^x och eln(a)xe^{\ln(a)\cdot x} är alltså ekvivalenta och man kan nu använda deriveringsregeln D(ekx)=kekxD\left(e^{kx}\right)=ke^{kx} för att derivera axa^x. Därefter skrivs eln(a)e^{\ln(a)} om till aa igen.
f(x)=eln(a)xf(x)= e^{\ln(a)\cdot x}
f(x)=D(eln(a)x)f'(x) =D\left(e^{\ln(a)\cdot x}\right)
f(x)=ln(a)eln(a)xf'(x) =\ln(a)\cdot e^{\ln(a)\cdot x}
f(x)=ln(a)(eln(a))xf'(x) =\ln(a)\cdot \left(e^{\ln(a)}\right)^x
f(x)=ln(a)axf'(x) =\ln(a)\cdot a^x
Regel

Derivatan av akxa^{kx}

Funktioner på formen f(x)=akxf(x)=a^{kx} deriveras på nästan samma sätt som f(x)=ax.f(x)=a^x. Men utöver att multiplicera funktionsuttrycket med ln(a)\ln(a) multipliceras det även med koefficienten k.k.

Härledning

D(akx)=akxkln(a)D\left(a^{kx}\right) = a^{kx}\cdot k \cdot \ln(a)
För att visa varför regeln gäller kan man skriva om basen aa i exponentialfunktionen f(x)=akxf(x)=a^{kx} enligt a=eln(a)a=e^{\ln(a)}. Sedan använder man deriveringsreglerna för exponentialfunktioner med basen e.e.
f(x)=akxf(x)=a^{kx}
f(x)=(eln(a))kxf(x)=\left(e^{\ln(a)}\right)^{kx}
f(x)=eln(a)kxf(x)=e^{\ln(a)\cdot k\cdot x}
Uttrycken akxa^{kx} och eln(a)kxe^{\ln(a)\cdot k \cdot x} är alltså ekvivalenta och man kan nu använda regeln D(ekx)=kekxD\left( e^{kx}\right) = ke^{kx}.
f(x)=eln(a)kxf(x)= e^{\ln(a)\cdot k \cdot x}
f(x)=D(eln(a)kx)f'(x) =D\left(e^{\ln(a)\cdot k \cdot x}\right)
f(x)=ln(a)keln(a)kxf'(x) =\ln(a) \cdot k \cdot e^{\ln(a)\cdot k \cdot x}
f(x)=ln(a)k(eln(a))kxf'(x) =\ln(a)\cdot k\cdot \left(e^{\ln(a)}\right)^{kx}
f(x)=ln(a)kakxf'(x) =\ln(a)\cdot k\cdot a^{kx}
f(x)=akxkln(a)f'(x) = a^{kx} \cdot k \cdot \ln(a)
Uppgift

Derivera f(x)=5xf(x)=5^x och g(x)=52x.g(x)=5^{2x}.

Lösning

Vi börjar med att derivera f(x)=5x,f(x)=5^x, och använder då regeln D(ax)=axln(a)D\left(a^x\right)=a^x\cdot \ln(a). Vi multiplicerar alltså funktionen med naturliga logaritmen av basen 5.5. Derivatan blir då f(x)=5xln(5). f'(x)=5^x\cdot \ln(5). Funktionen g(x)=52xg(x)=5^{2x} skiljer sig från f(x)f(x) genom att xx har koefficienten 2.2. Vi använder därför deriveringsregeln D(akx)=akxkln(a)D\left(a^{kx}\right)=a^{kx}\cdot k \cdot \ln(a) och multiplicerar funktionen med både 22 och ln(5)\ln(5): g(x)=52x2ln(5). g'(x)=5^{2x} \cdot 2 \cdot \ln(5).

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}