Innehållsförteckning
+ Anpassa lektionen
0
0
Logga in
Lektionen fokuserar på kvotregeln, en viktig del av derivata. Den tar upp hur två funktioner kan skapa en ny funktion genom division, vilket resulterar i en kvot av de ursprungliga funktionerna. Ett praktiskt exempel presenteras där ett företags korvproduktion över tid beskrivs av en funktion. För att hitta den maximala produktionshastigheten används kvotregeln för att derivera funktionen och hitta dess stationära punkter. Detta illustrerar hur kvotregeln kan tillämpas i praktiska sammanhang för att lösa problem och analysera situationer.
Visa mindre Visa mer expand_more| | 3 sidor teori |
| | 11 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Om två funktioner f(x) och g(x) divideras med varandra skapas en ny funktion, f(x)g(x), som är en kvot av de båda funktionerna. Exempelvis är y=\dfrac {\sqrt{x}}{\cos(x)}
en kvot av funktionerna f(x)=sqrt(x) och g(x)=cos(x).För att derivera funktioner som är kvoter av andra funktioner kan man använda kvotregeln.
D( f(x)/g(x) ) = f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)/( g(x) )^2
Den säger att varje funktion ska multipliceras med derivatan av den andra funktionen, att man tar nämnaren gånger täljarens derivata minus täljaren gånger nämnarens derivata, och att resultatet ska delas med nämnaren i kvadrat.
Derivera funktion
D( f * g ) = D(f) * g + f * D(g)
Nu kan man använda kedjeregeln på den sista derivatan, där man ser u^(-1) som den yttre funktionen och u = g(x) som den inre.
D(u^n) = n u^(n-1)* D(u)
Multiplicera faktorer
D(y) = y'
För att få derivatan på en mer lättläst form skriver man sedan om de negativa exponenterna som bråk och sätter dem på gemensam nämnare.
a^(- b)=1/a^b
Multiplicera faktorer
Förläng med g(x)
Subtrahera bråk
Nu står kvotregeln på den form man brukar presentera den: D( f(x)/g(x) ) = f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)/( g(x) )^2.
Eftersom funktionen beskriver just produktionshastighet kan vi bestämma den maximala hastigheten genom att hitta funktionens största värde. Detta finns i någon av funktionens stationära punkter eller ändpunkter. Men vi behöver inte undersöka ändpunkterna eftersom vi vet att korvproduktionen nådde sitt maximum någon gång mellan företagets start och konkurs. Vi börjar därför med att derivera funktionen för att hitta stationära punkter.
Vi använder kvotregeln för att derivera xx-27.
D(f/g) = D(f)* g - f* D(g)/g^2
Derivera term för term
D(a) = 0
D(x) = 1
Multiplicera faktorer
Ta bort parentes
Förenkla termerna
Skriv 1 som (x-27)^2/(x-27)^2
Addera bråk
Nu sätter vi derivatan lika med 0 och löser ekvationen för att bestämma x-värdena där derivatan är 0.
VL * (x-27)^2=HL* (x-27)^2
VL+27=HL+27
sqrt(VL)=sqrt(HL)
VL+27=HL+27
Eftersom företaget bara fanns i ca 26 år är x-värdet som är större än 27 ointressant. Därför måste x=27-sqrt(27) vara det x som ger funktionens största värde.
x= 27-sqrt(27)
Subtrahera term
Slå in på räknare
Vid tidpunkten då företaget producerade som mest korv var produktionshastigheten alltså ca 17.6 ton/år.
Vi deriverar a(x) med kvotregeln.
Deriveringen är nu klar, men vi kan förenkla uttrycket en hel del.
Vi nöjer oss här och svarar med a'(x) = 5 - sqrt(x)/x^2.
Vi skriver a(x) som en produkt för att kunna använda produktregeln:
a(x) = 2 sqrt(x) -5/x = (2 sqrt(x) -5 ) * 1/x.
Den här deriveringen sker som vanligt, och vi kan förvänta oss ett svar som är ekvivalent med det i föregående deluppgift.
Själva deriveringen är nu färdig, men vi kan även hör förenkla uttrycket så det blir mer lättläsligt.
Det här uttrycket är alltså ekvivalent med det vi fick i föregående deluppgift.
Om vi varken får använda kvotregeln eller produktregeln kan vi dela upp a(x) i två termer:
a(x) = 2sqrt(x) -5/x = 2sqrt(x)/x - 5/x.
Innan vi deriverar skriver vi om funktionen med hjälp av potenser.
Nu kan vi derivera a(x) term för term med den vanliga deriveringsregeln för potensfunktioner.
Nu har vi deriverat vår funktion a(x) på tre olika sätt.
För funktionen f(x) = cxx+3 gäller att f'(1) = 1. Bestäm konstanten c.
För att ta reda på c behöver vi en ekvation där c ingår. Vi vet att c ingår i f(x) och att f'(1)=1. Vi kan då få en ekvation för att hitta c genom att derivera f(x) med kvotregeln och sedan sätta in x=1.
Om vi nu sätter in x=1 och f'(1) = 1 i derivatan får vi en ekvation med endast en okänd, nämligen c som vi söker.
Vi har nu bestämt att c= 16/3.
Funktionen f(x) kan skrivas som en kvot enligt f(x)= 1g(x). Blir derivatan f'(x) densamma om man deriverar med kvotregeln gentemot med kedjeregeln genom att skriva om den som den sammansatta funktionen ( g(x) )^(-1)? Motivera genom att beräkna derivatorna.
Vi beräknar derivatan med de två olika metoderna separat.
Om vi tänker oss täljaren i bråket som en konstant funktion kan vi använda kvotregeln för att derivera.
Derivatan till funktionen f(x) kan alltså skrivas som f'(x)=- g'(x)/(g(x))^2.
Vi börjar med att skriva om funktionen så att det inte längre är något bråk. f(x) = (g(x))^(- 1) Nu har vi den yttre funktionen u^(-1) och den inre funktionen g(x), vilket innebär att vi kan derivera med hjälp av kedjeregeln.
Vi skulle kunna avsluta här och ange detta som vårt svar, men genom att skriva om detta som ett bråk igen kan vi visa att det blir precis samma derivata som i första deluppgiften.
Vi får alltså samma derivata om vi använder kedjeregeln: f'(x)=- g'(x)/(g(x))^2.
Derivatan är densamma, så svaret på frågan är ja. Notera att detta är viktigt. Tänk om vi hade fått olika? Derivatan ska bli densamma oavsett vilken metod man använder.
Företaget Humboldts Pingvinstatyer AB tillverkar i sin fabrik statyer föreställande pingviner för export framförallt till Sydamerika. Statyerna är mycket populära och de skulle kunna sälja betydligt fler än de hinner tillverka. Statistikavdelningen på företaget har funnit att företagets vinst kan approximeras med funktionen V(t)=- 10 + 0,8t^4+t^3/0,5e^(0,4(t+3)) 0 < t < 15 där V är vinsten i tusental kronor/dag och t är antalet timmar som produktionsanläggningen är i drift under dagen. Hur stor vinst kan företaget göra som mest per dag? Avrunda till hela tusental kronor.
Vår uppgift är att hitta största värdet för funktionen V(t)=- 10 + 0,8t^4+t^3/0,5e^(0,4(t+3)). Vi startar med att bestämma funktionens derivata.
Vi skall nu hitta var derivatan är 0. När man som nu har komplicerade uttryck är det viktigt att förkorta och förenkla när det är möjligt. Om vi tittar på den ekvation vi skall lösa kan vi oss det komplicerade uttrycket som uppbyggt av tre delar: täljaren, nämnaren och faktorn 0,8. 0=0,8* ( 4t^3+3t^2 ) * 0,5e^(0,4(t+3)) - ( t^4+t^3 ) * 0,2* e^(0,4(t+3))/( 0,5e^(0,4(t+3)) )^2 För att uttrycket skall bli 0 måste täljaren vara 0. Varken nämnaren eller faktorn 0,8 kan användas för att hitta lösningar. Vi ser också att faktorn e^(0,4(t+3)) finns både i täljaren och nämnaren. Dessutom är den faktorn större än 0 för alla värden på t, vilket gör att vi får lov att dividera och multiplicera med den utan bekymmer. Vi väljer att först göra oss av med den faktorn.
Vi kan nu lösa denna ekvation med hjälp av nollproduktmetoden. En av lösningarna är t=0. Den lösningen ligger dock utanför det givna intervallet för t. Vi behöver därför endast undersöka lösningarna till ekvationen - 0,2t^2 + 1,8t + 1,5=0.
Av dessa lösningar ligger endast den andra inom det tillåtna intervallet för t. Funktionen har alltså endast en stationär punkt inom intervallet. Låt oss nu skapa en teckentabell och med den undersöka dess karaktär.
| t | 9,76782... | ||
|---|---|---|---|
| f'(x) | + | 0 | - |
| f(x) | ↗ | 87,19483... | ↘ |
Den stationära punkten är alltså en maximipunkt. Vi kan även verifiera att denna punkt är en maximipunkt genom att rita upp funktionens graf med ett digitalt hjälpmedel.
Vi ser då att den stationära punkten i närheten av x = 10 är en maximipunkt. Funktionsvärdet är där ~ 87. Företaget kan alltså på en dag som mest göra en vinst på cirka 87 000 kronor.