Derivatan av en kvot

Vi deriverar a(x) med kvotregeln.

Deriveringen är nu klar, men vi kan förenkla uttrycket en hel del.

Vi nöjer oss här och svarar med a'(x) = 5 - sqrt(x)/x^2.

Vi skriver a(x) som en produkt för att kunna använda produktregeln: a(x) = 2 sqrt(x) -5 x = (2 sqrt(x) -5 ) * 1x. Den här deriveringen sker som vanligt, och vi kan förvänta oss ett svar som är ekvivalent med det i föregående deluppgift.

Själva deriveringen är nu färdig, men vi kan även hör förenkla uttrycket så det blir mer lättläsligt.

Det här uttrycket är alltså ekvivalent med det vi fick i föregående deluppgift.

Om vi varken får använda kvotregeln eller produktregeln kan vi dela upp a(x) i två termer: a(x) = 2sqrt(x) -5x = 2sqrt(x)x - 5x. Innan vi deriverar skriver vi om funktionen med hjälp av potenser.

Nu kan vi derivera a(x) term för term med den vanliga deriveringsregeln för potensfunktioner.

Nu har vi deriverat vår funktion a(x) på tre olika sätt.

För att ta reda på c behöver vi en ekvation där c ingår. Vi vet att c ingår i f(x) och att f'(1)=1. Vi kan då få en ekvation för att hitta c genom att derivera f(x) med kvotregeln och sedan sätta in x=1.

Om vi nu sätter in x=1 och f'(1) = 1 i derivatan får vi en ekvation med endast en okänd, nämligen c som vi söker.

Vi har nu bestämt att c= 16/3.

Vi beräknar derivatan med de två olika metoderna separat.

Kvotregeln

Om vi tänker oss täljaren i bråket som en konstant funktion kan vi använda kvotregeln för att derivera.

Derivatan till funktionen f(x) kan alltså skrivas som f'(x)=- g'(x)/(g(x))^2.

Kedjeregeln

Vi börjar med att skriva om funktionen så att det inte längre är något bråk. f(x) = (g(x))^(- 1) Nu har vi den yttre funktionen u^(-1) och den inre funktionen g(x), vilket innebär att vi kan derivera med hjälp av kedjeregeln.

Vi skulle kunna avsluta här och ange detta som vårt svar, men genom att skriva om detta som ett bråk igen kan vi visa att det blir precis samma derivata som i första deluppgiften.

Vi får alltså samma derivata om vi använder kedjeregeln: f'(x)=- g'(x)/(g(x))^2.

Sammanfattning

Derivatan är densamma, så svaret på frågan är ja. Notera att detta är viktigt. Tänk om vi hade fått olika? Derivatan ska bli densamma oavsett vilken metod man använder.

Vår uppgift är att hitta största värdet för funktionen V(t)=- 10 + 0.8t^4+t^3/0.5e^(0.4(t+3)). Vi startar med att bestämma funktionens derivata.

Vi skall nu hitta var derivatan är 0. När man som nu har komplicerade uttryck är det viktigt att förkorta och förenkla när det är möjligt. Om vi tittar på den ekvation vi skall lösa kan vi oss det komplicerade uttrycket som uppbyggt av tre delar: täljaren, nämnaren och faktorn 0.8. 0=0.8* ( 4t^3+3t^2 ) * 0.5e^(0.4(t+3)) - ( t^4+t^3 ) * 0.2* e^(0.4(t+3))/( 0.5e^(0.4(t+3)) )^2 För att uttrycket skall bli 0 måste täljaren vara 0. Varken nämnaren eller faktorn 0.8 kan användas för att hitta lösningar. Vi ser också att faktorn e^(0.4(t+3)) finns både i täljaren och nämnaren. Dessutom är den faktorn större än 0 för alla värden på t, vilket gör att vi får lov att dividera och multiplicera med den utan bekymmer. Vi väljer att först göra oss av med den faktorn.

Vi kan nu lösa denna ekvation med hjälp av nollproduktmetoden. En av lösningarna är t=0. Den lösningen ligger dock utanför det givna intervallet för t. Vi behöver därför endast undersöka lösningarna till ekvationen - 0.2t^2 + 1.8t + 1.5=0.

Av dessa lösningar ligger endast den andra inom det tillåtna intervallet för t. Funktionen har alltså endast en stationär punkt inom intervallet. Låt oss nu skapa en teckentabell och med den undersöka dess karaktär.

Den stationära punkten är alltså en maximipunkt. Vi kan även verifiera att denna punkt är en maximipunkt genom att rita upp funktionens graf med ett digitalt hjälpmedel.

Vi ser då att den stationära punkten i närheten av x = 10 är en maximipunkt. Funktionsvärdet är där ~ 87. Företaget kan alltså på en dag som mest göra en vinst på cirka 87 000 kronor.