Innehållsförteckning
+ Anpassa lektionen
0
0
Logga in
Lektionen fokuserar på kvotregeln, en viktig del av derivata. Den tar upp hur två funktioner kan skapa en ny funktion genom division, vilket resulterar i en kvot av de ursprungliga funktionerna. Ett praktiskt exempel presenteras där ett företags korvproduktion över tid beskrivs av en funktion. För att hitta den maximala produktionshastigheten används kvotregeln för att derivera funktionen och hitta dess stationära punkter. Detta illustrerar hur kvotregeln kan tillämpas i praktiska sammanhang för att lösa problem och analysera situationer.
Visa mindre Visa mer expand_more| | 3 sidor teori |
| | 11 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Om två funktioner f(x) och g(x) divideras med varandra skapas en ny funktion, f(x)g(x), som är en kvot av de båda funktionerna. Exempelvis är y=\dfrac {\sqrt{x}}{\cos(x)}
en kvot av funktionerna f(x)=sqrt(x) och g(x)=cos(x).För att derivera funktioner som är kvoter av andra funktioner kan man använda kvotregeln.
D( f(x)/g(x) ) = f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)/( g(x) )^2
Den säger att varje funktion ska multipliceras med derivatan av den andra funktionen, att man tar nämnaren gånger täljarens derivata minus täljaren gånger nämnarens derivata, och att resultatet ska delas med nämnaren i kvadrat.
Derivera funktion
D( f * g ) = D(f) * g + f * D(g)
Nu kan man använda kedjeregeln på den sista derivatan, där man ser u^(-1) som den yttre funktionen och u = g(x) som den inre.
D(u^n) = n u^(n-1)* D(u)
Multiplicera faktorer
D(y) = y'
För att få derivatan på en mer lättläst form skriver man sedan om de negativa exponenterna som bråk och sätter dem på gemensam nämnare.
a^(- b)=1/a^b
Multiplicera faktorer
Förläng med g(x)
Subtrahera bråk
Nu står kvotregeln på den form man brukar presentera den: D( f(x)/g(x) ) = f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)/( g(x) )^2.
Eftersom funktionen beskriver just produktionshastighet kan vi bestämma den maximala hastigheten genom att hitta funktionens största värde. Detta finns i någon av funktionens stationära punkter eller ändpunkter. Men vi behöver inte undersöka ändpunkterna eftersom vi vet att korvproduktionen nådde sitt maximum någon gång mellan företagets start och konkurs. Vi börjar därför med att derivera funktionen för att hitta stationära punkter.
Vi använder kvotregeln för att derivera xx-27.
D(f/g) = D(f)* g - f* D(g)/g^2
Derivera term för term
D(a) = 0
D(x) = 1
Multiplicera faktorer
Ta bort parentes
Förenkla termerna
Skriv 1 som (x-27)^2/(x-27)^2
Addera bråk
Nu sätter vi derivatan lika med 0 och löser ekvationen för att bestämma x-värdena där derivatan är 0.
VL * (x-27)^2=HL* (x-27)^2
VL+27=HL+27
sqrt(VL)=sqrt(HL)
VL+27=HL+27
Eftersom företaget bara fanns i ca 26 år är x-värdet som är större än 27 ointressant. Därför måste x=27-sqrt(27) vara det x som ger funktionens största värde.
x= 27-sqrt(27)
Subtrahera term
Slå in på räknare
Vid tidpunkten då företaget producerade som mest korv var produktionshastigheten alltså ca 17.6 ton/år.
Kan man visa att produktregeln, dvs. D(f* g)=f'* g+f* g', gäller genom att skriva om produkten f* g som kvoten f/g^(- 1) och använda kvotregeln? Motivera genom att utföra beräkningen.
Vi börjar med att derivera funktionen h=f/g^(- 1) med hjälp av kvotregeln.
Låt oss nu skriva om funktionen från ett bråk till en produkt.
Vi har nu visat produktregeln med hjälp av kvotregeln.
Funktionerna p(x)=f(x)g(x) och q(x)=f(x)/g(x) har båda en stationär punkt för x = a. Betyder detta att f(x) då också måste ha en stationär punkt i x=a? Motivera.
Att båda funktioner har en stationär punkt för x=a innebär att deras derivator är 0 för x = a. Detta måste vi använda oss av för att kunna lösa den här uppgiften. Vi deriverar därför funktionerna. Först ut är p(x), som vi använder produktregeln för.
Vi använder sedan kvotregeln för q(x).
Låt oss nu sätta in x=a i de uttryck för derivatorna vi tagit fram. Vi vet att båda funktionernas derivator då är 0. Det här ger oss ett ekvationssystem: f'(a)g(a) + f(a)g'(a) =0 f'(a)g(a) - f(a)g'(a)/(g(a))^2 =0. Eftersom division med 0 är förbjudet vet vi från det nedre sambandet att g(a)≠ 0. Låt oss multiplicera båda sidorna i det nedre sambandet med (g(a))^2. Vi får då f'(a)g(a) + f(a)g'(a) =0 f'(a)g(a) - f(a)g'(a) =0. Det som ska visas är att f(x) har en stationär punkt i x = a, alltså att f'(a) = 0. Ur detta ekvationssystem vill vi därför få f'(a) ensamt. Om ekvationerna adderas led för led kommer termerna f(a)g'(a) ta ut varandra, låt oss göra detta. Vi får då 2f'(a)g(a) = 0. Vi vet ju sen tidigare att g(a) ≠ 0. Vi kan därför dividera båda led i ekvationen med 2g(a) och får då f'(a) ensamt: f'(a) = 0. Funktionen f(x) har alltså en stationär punkt i x = a.