body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

4

Kurs 4 Visa detaljer

5. Derivatan av en kvot

Fortsätt till nästa lektion

Kapitel 5

5.

Derivatan av en kvot

Lektionen fokuserar på kvotregeln, en viktig del av derivata. Den tar upp hur två funktioner kan skapa en ny funktion genom division, vilket resulterar i en kvot av de ursprungliga funktionerna. Ett praktiskt exempel presenteras där ett företags korvproduktion över tid beskrivs av en funktion. För att hitta den maximala produktionshastigheten används kvotregeln för att derivera funktionen och hitta dess stationära punkter. Detta illustrerar hur kvotregeln kan tillämpas i praktiska sammanhang för att lösa problem och analysera situationer.

Inställningar & verktyg för lektion

	3 sidor teori
	11 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Derivatan av en kvot

Sida av 3

Om två funktioner

f (x)

och

g (x)

divideras med varandra skapas en ny funktion,

\frac{f ( x )}{g ( x )},

som är en kvot av de båda funktionerna. Exempelvis är

y = \frac{x}{cos ( x )}

en kvot av funktionerna

f (x) = x

och

g (x) = cos (x) .

Bevis

Kvotregeln

För att derivera funktioner som är kvoter av andra funktioner kan man använda kvotregeln.

Bevis

D (\frac{f ( x )}{g ( x )}) = \frac{f ^{'} ( x ) \cdot g ( x ) - f ( x ) \cdot g ^{'} ( x )}{( g ( x ) ) ^{2}}

För att bevisa kvotregeln börjar man med att skriva om uttrycket så att det inte längre är en kvot.

\frac{f ( x )}{g ( x )} = f (x) \cdot \frac{1}{g ( x )} = f (x) (g (x))^{- 1}

Om man nu ser

(g (x))^{- 1}

som en ny funktion som multipliceras med

f (x)

kan man använda produktregeln för att börja derivera.

\frac{f ( x )}{g ( x )} = f (x) (g (x))^{- 1}

Derivera funktion

D (\frac{f ( x )}{g ( x )}) = D (f (x) (g (x))^{- 1})

$D (f \cdot g) = D (f) \cdot g + f \cdot D (g)$

D (\frac{f ( x )}{g ( x )}) = D (f (x)) \cdot (g (x))^{- 1} + f (x) \cdot D ((g (x))^{- 1})

Nu kan man använda kedjeregeln på den sista derivatan, där man ser

u^{- 1}

som den yttre funktionen och

u = g (x)

som den inre.

D (\frac{f ( x )}{g ( x )}) = D (f (x)) \cdot (g (x))^{- 1} + f (x) \cdot D ((g (x))^{- 1})

DeriveMonomChain

$D (u^{n}) = n u^{n - 1} \cdot D (u)$

D (\frac{f ( x )}{g ( x )}) = D (f (x)) \cdot (g (x))^{- 1} + f (x) \cdot (- 1 \cdot (g (x))^{- 2}) \cdot D (g (x))

Multiplicera faktorer

D (\frac{f ( x )}{g ( x )}) = D (f (x)) \cdot (g (x))^{- 1} - f (x) \cdot (g (x))^{- 2} \cdot D (g (x))

NotationDtoPrim

$D (y) = y^{'}$

D (\frac{f ( x )}{g ( x )}) = f^{'} (x) \cdot (g (x))^{- 1} - f (x) \cdot (g (x))^{- 2} \cdot g^{'} (x)

För att få derivatan på en mer lättläst form skriver man sedan om de negativa exponenterna som bråk och sätter dem på gemensam nämnare.

D (\frac{f ( x )}{g ( x )}) = f^{'} (x) \cdot (g (x))^{- 1} - f (x) \cdot (g (x))^{- 2} \cdot g^{'} (x)

NegExponentToFrac

$a^{- b} = \frac{1}{a ^{b}}$

D (\frac{f ( x )}{g ( x )}) = f^{'} (x) \cdot \frac{1}{g ( x )} - f (x) \cdot \frac{1}{( g ( x ) ) ^{2}} \cdot g^{'} (x)

Multiplicera faktorer

D (\frac{f ( x )}{g ( x )}) = \frac{f ^{'} ( x )}{g ( x )} - \frac{f ( x ) \cdot g ^{'} ( x )}{( g ( x ) ) ^{2}}

Förläng $\frac{f ^{'} ( x )}{g ( x )}$ med $g (x)$

D (\frac{f ( x )}{g ( x )}) = \frac{f ^{'} ( x ) \cdot g ( x )}{( g ( x ) ) ^{2}} - \frac{f ( x ) \cdot g ^{'} ( x )}{( g ( x ) ) ^{2}}

Subtrahera bråk

D (\frac{f ( x )}{g ( x )}) = \frac{f ^{'} ( x ) \cdot g ( x ) - f ( x ) \cdot g ^{'} ( x )}{( g ( x ) ) ^{2}}

Nu står kvotregeln på den form man brukar presentera den:

D (\frac{f ( x )}{g ( x )}) = \frac{f ^{'} ( x ) \cdot g ( x ) - f ( x ) \cdot g ^{'} ( x )}{( g ( x ) ) ^{2}} .

Derivera med kvotregeln

fullscreen

"Stora Fina Korvar AB" var under ca

26

år ledande inom kycklingkorvsindustrin innan korvkrisen

1987

ledde till att företaget gick i konkurs. Under denna period kunde antalet ton korv som producerades per år beskrivas av funktionen

f (x) = x + \frac{x}{x - 2 7},

där

x

är antalet år efter att företaget startade. Korvproduktionen nådde sin kulmen under dessa år. Vad var hastigheten för korvproduktionen vid den tidpunkt företaget producerade som mest?

Visa Lösning

Eftersom funktionen beskriver just produktionshastighet kan vi bestämma den maximala hastigheten genom att hitta funktionens största värde. Detta finns i någon av funktionens stationära punkter eller ändpunkter. Men vi behöver inte undersöka ändpunkterna eftersom vi vet att korvproduktionen nådde sitt maximum någon gång mellan företagets start och konkurs. Vi börjar därför med att derivera funktionen för att hitta stationära punkter.

f (x) = x + \frac{x}{x - 2 7}

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (x) + D (\frac{x}{x - 2 7})

$D (x) = 1$

f^{'} (x) = 1 + D (\frac{x}{x - 2 7})

Vi använder kvotregeln för att derivera

\frac{x}{x - 2 7} .

f^{'} (x) = 1 + D (\frac{x}{x - 2 7})

$D (\frac{f}{g}) = \frac{D ( f ) \cdot g - f \cdot D ( g )}{g ^{2}}$

f^{'} (x) = 1 + \frac{D ( x ) \cdot ( x - 2 7 ) - x \cdot D ( x - 2 7 )}{( x - 2 7 ) ^{2}}

Derivera term för term

f^{'} (x) = 1 + \frac{D ( x ) \cdot ( x - 2 7 ) - x \cdot ( D ( x ) - D ( 2 7 ) )}{( x - 2 7 ) ^{2}}

$D (a) = 0$

f^{'} (x) = 1 + \frac{D ( x ) \cdot ( x - 2 7 ) - x \cdot D ( x )}{( x - 2 7 ) ^{2}}

$D (x) = 1$

f^{'} (x) = 1 + \frac{1 \cdot ( x - 2 7 ) - x \cdot 1}{( x - 2 7 ) ^{2}}

Multiplicera faktorer

f^{'} (x) = 1 + \frac{( x - 2 7 ) - x}{( x - 2 7 ) ^{2}}

Ta bort parentes

f^{'} (x) = 1 + \frac{x - 2 7 - x}{( x - 2 7 ) ^{2}}

Förenkla termer

f^{'} (x) = 1 + \frac{- 2 7}{( x - 2 7 ) ^{2}}

Skriv $1$ som $\frac{( x - 2 7 ) ^{2}}{( x - 2 7 ) ^{2}}$

f^{'} (x) = \frac{( x - 2 7 ) ^{2}}{( x - 2 7 ) ^{2}} + \frac{- 2 7}{( x - 2 7 ) ^{2}}

Addera bråk

f^{'} (x) = \frac{( x - 2 7 ) ^{2} - 2 7}{( x - 2 7 ) ^{2}}

Nu sätter vi derivatan lika med

0

och löser ekvationen för att bestämma

x -

värdena där derivatan är

0 .

\frac{( x - 2 7 ) ^{2} - 2 7}{( x - 2 7 ) ^{2}} = 0

$VL \cdot (x - 27)^{2} = HL \cdot (x - 27)^{2}$

(x - 27)^{2} - 27 = 0

$VL + 27 = HL + 27$

(x - 27)^{2} = 27

$VL = HL$

x - 27 = \pm 27

$VL + 27 = HL + 27$

x = 27 \pm 27

Eftersom företaget bara fanns i ca

26

år är

x -

värdet som är större än

27

ointressant. Därför måste

x = 27 - 27

vara det

x

som ger funktionens största värde.

f (x) = x + \frac{x}{x - 2 7}

$x = 27 - 27$

f (27 - 27) = 27 - 27 + \frac{2 7 - 2 7}{2 7 - 2 7 - 2 7}

Subtrahera term

f (27 - 27) = 27 - 27 + \frac{2 7 - 2 7}{- 2 7}

Slå in på räknare

f (27 - 27) = 17.60769 \dots

Vid tidpunkten då företaget producerade som mest korv var produktionshastigheten alltså ca

17.6

ton/år.

Derivatan av en kvot

Kan man visa att produktregeln, dvs.

D (f \cdot g) = f^{'} \cdot g + f \cdot g^{'},

gäller genom att skriva om produkten

f \cdot g

som kvoten

\frac{f}{g ^{- 1}}

och använda kvotregeln? Motivera genom att utföra beräkningen.

Vi börjar med att derivera funktionen h=f/g^(- 1) med hjälp av kvotregeln.

Låt oss nu skriva om funktionen från ett bråk till en produkt.

Vi har nu visat produktregeln med hjälp av kvotregeln.

Funktionerna

p (x) = f (x) g (x)

och

q (x) = \frac{f ( x )}{g ( x )}

har båda en stationär punkt för

x = a .

Betyder detta att

f (x)

då också måste ha en stationär punkt i

x = a ?

Motivera.

Att båda funktioner har en stationär punkt för x=a innebär att deras derivator är 0 för x = a. Detta måste vi använda oss av för att kunna lösa den här uppgiften. Vi deriverar därför funktionerna. Först ut är p(x), som vi använder produktregeln för.

Vi använder sedan kvotregeln för q(x).

Låt oss nu sätta in x=a i de uttryck för derivatorna vi tagit fram. Vi vet att båda funktionernas derivator då är 0. Det här ger oss ett ekvationssystem: f'(a)g(a) + f(a)g'(a) =0 [6pt] f'(a)g(a) - f(a)g'(a)/(g(a))^2 =0. Eftersom division med 0 är förbjudet vet vi från det nedre sambandet att g(a)≠ 0. Låt oss multiplicera båda sidorna i det nedre sambandet med (g(a))^2. Vi får då f'(a)g(a) + f(a)g'(a) =0 [3pt] f'(a)g(a) - f(a)g'(a) =0. Det som ska visas är att f(x) har en stationär punkt i x = a, alltså att f'(a) = 0. Ur detta ekvationssystem vill vi därför få f'(a) ensamt. Om ekvationerna adderas led för led kommer termerna f(a)g'(a) ta ut varandra, låt oss göra detta. Vi får då 2f'(a)g(a) = 0. Vi vet ju sen tidigare att g(a) ≠ 0. Vi kan därför dividera båda led i ekvationen med 2g(a) och får då f'(a) ensamt: f'(a) = 0. Funktionen f(x) har alltså en stationär punkt i x = a.

Derivatan av en kvot

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Laddar innehåll