Derivatan av en kvot

Funktionen som skall deriveras är en kvot och vi använder därför kvotregeln när vi deriverar den.

Den sökta derivatan är alltså 1-2ln(x)/x^3.

Vi gör på samma sätt som i föregående uppgift, dvs. vi deriverar med kvotregeln.

Vi skulle kunna fortsätta och skriva om detta uttryck genom att bryta ut 3x. Men det skulle nog varken bli elegantare eller enklare än det vi redan har. Vi svarar därför 6x-3x^2/e^x.

Även här är det passande att använda kvotregeln för att bestämma den sökta derivatan.

Vi är nu klara med deriveringen. Möjligen kan man tycka att svaret blir snyggare om man bryter ut 4^x, men vi väljer här att svara 4^x* ln(4)* x-4^x/x^2.

Här blir uttrycket en del krångligare än i de tidigare deluppgifterna, så det gäller att hålla tungan rätt i mun.

Vi har nu genomfört deriveringen, men vi kan fortfarande förenkla och förkorta uttrycket. Låt oss göra det.

Vi är nu till slut klara med både deriveringen och förenklingen. Vårt svar är alltså e^(5x)(5x+12)/(x+3)^4.

Vi börjar med att derivera funktionen. Eftersom funktionen är en kvot använder vi kvotregeln.

Uttrycket blir lite enklare om vi bryter ut 2x^3. Vi gör det och sätter sedan in x=2 i derivatan.

Vi gör på samma sätt och börjar med att derivera funktionen.

Låt oss nu sätta in x=2.

Vi gör på samma sätt som vi gjort i föregående deluppgifter. Först deriverar vi alltså funktionen.

Nu sätter vi in x=2.

Inga nyheter. Vi deriverar med kvotregeln.

Nu sätter vi in x=2 och beräknar.

En linje som tangerar en annan funktion har samma lutning som funktionen i den punkten. I detta fall är det funktionen f(x) = ln (x)/1-x. Det betyder att den sökta linjen kommer att ha samma lutning som f(x) har när x=2. Vi börjar därför med att derivera f(x).

Nu sätter vi in x=2 i derivatan för att hitta lutning för det x-värdet.

Detta är tangentens lutning, dvs. k-värde. Det betyder att ekvationen kan skrivas y = 2ln(2) -1/2* x +m. För att bestämma m behöver vi en punkt på linjen, t.ex. tangeringspunkten. Den bestämmer vi genom att sätta in x=2 i f(x).

Tangeringspunkten är alltså (2,-ln(2)). Vi sätter in de koordinaterna i ekvationen för tangenten och löser ut m.

Tangentens ekvation är y = 2ln(2) -1/2* x + 1 - 3 ln(2).

Vi ska bestämma en förändringshastighet så vi börjar med att derivera funktionen. Det är en kvot så vi använder kvotregeln.

Man frågar efter Halvards viktökning när han är 47 veckor så vi sätter in t=47.

Enligt Edwinas modell ökar en 47 veckor gammal Halvard i vikt med 0.02 kg per vecka. Eftersom det går 1000 gram på ett kg är detta 0.02*1000 = 20g/vecka.

Miltons funktion är h(x) = 2x+3x+1. För att kolla om Milton räknat rätt deriverar vi h(x) med kvotregeln precis som Milton verkar ha gjort.

Nu kan vi jämföra med Miltons beräkningar. Vi har förenklat h'(x) medan Milton satte in x=4 i ett oförenklat uttryck för h'(x), vilket går alldeles utmärkt att göra. Vi ser dock att Milton slarvat i rad två på sitt papper: 20pt h'(x) = 2*(x+1) + (2x+3) * 1 (2x+3)^2 -55pt ↙ +0pt ska vara minustecken -190pt ↖ -90pt ska vara (x+1)^2 Eftersom han har fel tecken i täljaren och fel kvadrat i nämnaren har han använt kvotregeln tokigt. Milton kunde alltså ha varit mer noga när han deriverade. Vi räknar vidare och sätter in x=4 i vår korrekta derivata för att bestämma det faktiska värdet av h'(4).

Nu vet vi att det korrekta värdet för h'(4) är - 125. Milton hade fel även här, vilket inte var så konstigt med tanke på att han beräknat h'(x) tokigt.