Regel

de Moivres formel

Om ett komplext tal med absolutbelopp 11 upphöjs till ett heltal n,n, kan det beräknas med ett samband som kallas de Moivres formel.

(cos(v)+isin(v))n=cos(nv)+isin(nv)\left( \cos(v) + i\sin(v) \right)^n = \cos(nv) + i\sin(nv)

Detta kan man visa genom att skriva det komplexa talet på exponentiell form.

Härledning

de Moivres formel
Man börjar med att använda Eulers formel och sedan en av potenslagarna.
(cos(v)+isin(v))n\left( \cos(v) + i\sin(v) \right)^n
(eiv)n\left( e^{iv} \right)^n
einve^{inv}
Nu kan man använda Eulers formel åt andra hållet för att byta tillbaka till trigonometrisk form. Argumentet kan man läsa av som nv.nv. einv=cos(nv)+isin(nv) e^{inv}=\cos\left(nv\right)+i\sin\left(nv\right)
Genom att lägga till ett generellt absolutbelopp rr och använda en potenslag får man en version av de Moivres formel som gäller för alla komplexa tal.

(r(cos(v)+isin(v)))n=rn(cos(nv)+isin(nv))\left( r\left( \cos(v) + i\sin(v) \right) \right)^n = r^n \left(\cos(nv) + i\sin(nv) \right)

Ett komplext tal upphöjt till nn har alltså absolutbeloppet rnr^n och argumentet nv.nv.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}