body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

← De Moivres formel

Regel

de Moivres formel

Om ett komplext tal med absolutbelopp

1

upphöjs till ett heltal

n,

kan det beräknas med ett samband som kallas de Moivres formel.

$(cos (v) + i sin (v))^{n} = cos (n v) + i sin (n v)$

Detta kan man visa genom att skriva det komplexa talet på exponentiell form.

Härledning

de Moivres formel

Man börjar med att använda Eulers formel och sedan en av potenslagarna.

(cos (v) + i sin (v))^{n}

CompTrigToEulerOne

$cos (v) + i sin (v) = e^{i v}$

(e^{i v})^{n}

$(a^{b})^{c} = a^{b \cdot c}$

e^{i n v}

Nu kan man använda Eulers formel åt andra hållet för att byta tillbaka till trigonometrisk form. Argumentet kan man läsa av som

n v .

e^{i n v} = cos (n v) + i sin (n v)

Genom att lägga till ett generellt absolutbelopp

r

och använda en potenslag får man en version av de Moivres formel som gäller för alla komplexa tal.

$(r (cos (v) + i sin (v)))^{n} = r^{n} (cos (n v) + i sin (n v))$

Ett komplext tal upphöjt till $n$ har alltså absolutbeloppet $r^{n}$ och argumentet $n v .$

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Laddar innehåll