De Moivres formel

Vi löser potensekvationen genom att skriva höger- och vänsterled som komplexa tal på trigonometrisk polär form och sedan likställa absolutbeloppen och argumenten i de två leden. Vi börjar med att skriva om vänsterledet.

Nu fortsätter vi med talet i högerledet, som står på rektangulär form. För att skriva om det på trigonometrisk form måste vi bestämma dess absolutbelopp och argument. Först beräknar vi absolubeloppet.

Nu bestämmer vi argumentet.

Vi använder nu absolutbeloppet och argumentet för att skriva högerledet på trigonometrisk form. Vi behåller några decimaler på argumentet för att undvika senare avrundningsfel.

Både vänster- och högerled står nu på trigonometrisk form och vi jämför dessa. r^4(cos(4v)+isin(4v))=sqrt(13)(cos(56.3099^(∘))+isin(56.3099^(∘))) Eftersom uttrycken är lika med varandra kan vi likställa absolutbeloppen och argumenten: lr^4=sqrt(13) 4v=56.3099^(∘)+n*360^(∘). Vi lägger till perioden för sinus och cosinus, dvs. 360^(∘), till argumentet så vi får med alla lösningar. Nu löser vi dessa två ekvationer för att hitta de absolutbelopp och argument som uppfyller ursprungsekvationen. Vi börjar med absolutbeloppet.

Absolutbeloppet kommer alltså vara sqrt(13) för alla lösningar. Nu bestämmer vi argumentet, och avrundar till heltal för smidighetens skull.

De komplexa tal som löser ursprungsekvationen har alltså argumenten v=14^(∘) + n*90^(∘), där n är ett heltal. Vi vet att ekvationen har 4 unika lösningar eftersom den är av fjärde graden. Genom att välja 4 på varandra följande n får vi 4 unika argument och också 4 unika rötter ,w, till ursprungsekvationen. Här börjar vi med n=0.

För att ett tal ska vara reellt krävs det att dess imaginärdel är 0. Detta inträffar då talets argument är en multipel av π, oavsett talets absolutbelopp. För att undersöka uttryckets argument använder vi oss av de Moivres formel som, bland annat, säger att om arg(z) = v så gäller arg(z^n) = nv. Vi börjar därför genom att beräkna argumentet för z för att sedan enkelt kunna hitta ett uttryck för potensens argument.

Vi har nu beräknat argumentet för z, vilket enligt de Moivres formel ger oss likheten arg(z^n) = n * 2π/3. Vi behöver nu hitta det minsta positiva heltalet n som gör att n * 2π3 är en multipel av π. Man skulle möjligtvis kunna "se" vilket detta n är, men vi använder här den gamla välprövade metoden "bara stoppa in olika värden tills det funkar".

Vi har nu hittat det minsta positiva heltalet n där argumentet för z^n är en multipel av π. z^3 är alltså ett reellt tal så svaret är 3.

Som i föregående deluppgift söker vi nu det minsta positiva heltal n för vilket arg(z^n) är en multipel av π. Detta är ekvivalent med att z^n är reellt, förutsatt att |z^n| ≠ 0. I det här fallet är det dock svårare att direkt beräkna arg(z), men när man dividerar komplexa tal gäller arg(z_1/z_2) = arg(z_1)-arg(z_2). Vi kan alltså beräkna argumentet för täljaren och nämnaren separat, sedan dividera dem för att få arg(z). Vi börjar med täljaren.

Nu går vi vidare med nämnaren. Vi kan här använda att vi redan beräknat att absolutbeloppet för täljaren är sqrt(12), eftersom det är lika stort som absolutbeloppet för nämnaren.

Vi kan nu beräkna argumentet för z.

Nu när vi till slut har beräknat arg(z) kan vi ställa upp uttrycket arg(z^n) = n * π/6 enligt de Moivres formel. I det här fallet är det lättare att direkt "se" att n = 6 är det minsta positiva heltal som ger att argumentet för z^n är en multipel av π. Den som inte nöjer sig med detta kan givetvis testa olika värden på n.

Istället för att beräkna argumenten för täljare och nämnare var för sig är det givetvis möjligt att skriva om z på rektangulär form för att sedan beräkna dess argument. Vi genomför då divisionen.

Efter den här långa beräkningen är det nu lättare att direkt beräkna argumentet för z. Vi börjar med att beräkna |z| för sig, annars blir uttrycket väldigt klumpigt.

Vidare beräknar vi nu argumentet för z.

Uppgiften kan nu lösas på samma sätt som i huvudlösningen.

För att förenkla uttrycket behöver vi beräkna potenserna. Det gör vi enklast genom att skriva om sqrt(3)+i och sqrt(3)-i på trigonometrisk polär form och sedan använda de Moivres formel.

Beräkna (sqrt(3)+i)^(14)

För att kunna skriva sqrt(3)+i på trigonometrisk form måste vi bestämma talets absolutbelopp, r, och argument, v. Vi börjar med absolutbeloppet.

Nu bestämmer vi argumentet.

Nu kan vi skriva sqrt(3)+i på trigonometrisk form genom att sätta in det absolutbelopp och argument vi just bestämt.

Eftersom vi nu gjort omskrivningen sqrt(3)+i=2(cos(π/6)+isin(π/6)) gäller det även att (sqrt(3)+i)^(14)=(2(cos(π/6)+isin(π/6)))^(14). Högerledet kan vi beräkna med de Moivres formel.

Nu har vi förenklat första potensen, (sqrt(3)+i)^(14), så långt som möjligt och går vidare till den andra.

Beräkna (sqrt(3)-i)^(14)

För att bestämma absolutbeloppet och argumentet för sqrt(3)-i utnyttjar vi att det är komplexkonjugatet till sqrt(3)+i. I figuren ser vi de två talen markerade i det komplexa talplanet.

Här ser vi att talen är speglingar av varandra och alltså har samma absolutbelopp. Argumenten är också samma, men med olika tecken. För talet sqrt(3)-i gäller alltså att r=2 och v=-π/6. Med hjälp av detta skriver vi talet på trigonometrisk form: 2(cos(-π/6)+isin(-π/6)). Nu använder vi de Moivres formel för att höja upp talet till 14.

Nu har vi förenklat även den andra potensen så långt som möjligt.

Subtrahera potenserna

Till sist förenklar vi uttrycket från uppgiften genom att ersätta potenserna med deras motsvarigheter på trigonometrisk form som vi just hittat.

Uttrycket (sqrt(3)+i)^(14)-(sqrt(3)-i)^(14) kan alltså förenklas till 16 384isqrt(3).

Rötterna till potensekvationer på formen z^n = w, där n är ett positivt heltal, bildar en regelbunden n-hörning runt origo i det komplexa talplanet. Det innebär att alla rötter har samma absolutbelopp och är separerade med en viss vinkel. I vårt fall ska ett varv, 2π, delas på 5, så rötterna kommer vara separerade med vinkeln 2π5. Genom att bestämma absolutbelopp och argument för den givna roten kan vi därför även bestämma övriga rötter. Vi börjar med att beräkna absolutbeloppet.

Alla rötter till ekvationen har alltså absolutbeloppet 2. Vidare beräknar vi argumentet för första roten.

Vi kan nu skriva första roten på exponentiell form, z=re^(iv), där r är absolutbeloppet och v är argumentet: z=2e^(.i2π /3.). Ursprungsekvationen har exponenten 5, och alltså fem unika rötter. Eftersom dessa är åtskilda med vinkeln 2π5 kan vi addera denna vinkel till första rotens argument för att få argumentet för andra roten. Genom att fortsätta addera 2π5 till argumentet för den senast funna roten kommer vi hitta alla fem unika lösningar. Vi gör detta i en tabell.

Om man markerar rötterna i det komplexa talplanet kommer det se ut såhär.