Utforska De Moivres Formel och dess tillämpningar i Trigonometriska Ekvationer

$n$	$\frac{3 π}{8} + n \cdot \frac{π}{2}$	$v$
$0$	$\frac{3 π}{8} + 0 \cdot \frac{π}{2}$	$\frac{3 π}{8}$
$1$	$\frac{3 π}{8} + 1 \cdot \frac{π}{2}$	$\frac{7 π}{8}$
$2$	$\frac{3 π}{8} + 2 \cdot \frac{π}{2}$	$\frac{1 1 π}{8}$
$3$	$\frac{3 π}{8} + 3 \cdot \frac{π}{2}$	$\frac{1 5 π}{8}$

n

\frac{3 π}{8} + n \cdot \frac{π}{2}

v

0

\frac{3 π}{8} + 0 \cdot \frac{π}{2}

\frac{3 π}{8}

1

\frac{3 π}{8} + 1 \cdot \frac{π}{2}

\frac{7 π}{8}

2

\frac{3 π}{8} + 2 \cdot \frac{π}{2}

\frac{1 1 π}{8}

3

\frac{3 π}{8} + 3 \cdot \frac{π}{2}

\frac{1 5 π}{8}

Potensekvationen $z^{133} = 7$ har ett antal rötter.

Hur många av rötterna är komplexa?

Hur många av rötterna ligger i området

\frac{5 π}{4} < arg (z) < 2 π ?

Potensekvationer på formen z^n = w, där n är ett positivt heltal, har n stycken komplexa rötter. Ekvationen har alltså 133 rötter och alla dessa är komplexa. Vissa av dessa rötter må vara rent imaginära eller reella, men de är ändå komplexa.

Dessa rötter utgör en regelbunden n-hörning i det komplexa talplanet eftersom de har samma absolutbelopp och är separerade med samma vinkel. Vinkeln de är separerade med måste därmed vara 1133 av ett varv, alltså 2π133. Den reella roten z = sqrt(7) har argumentet 0. Vi kan då ställa upp ett uttryck för rötternas argument. arg(z) = 0 + n * 2π/133 = n * 2π/133, där n är ett heltal. Vi ska nu avgöra hur många av dessa lösningar som ligger i det specificerade området. För att göra detta vill vi undersöka vilka n som ger argument större än 5π4 och mindre än 2π. Vi börjar med den nedre gränsen.

Det minsta n sådant att roten ligger inom området är alltså 84. Vi genomför nu samma beräkning för den övre gränsen.

Det största n är därmed 132. Detta innebär att det finns exakt 132 - 84 + 1 = 49 rötter till ekvationen som ligger i det specificerade området. Vi adderade 1 eftersom både n = 84 och n = 132 ingår i vår sökta mängd.

Bestäm arean av den figur som bildas av rötterna till ekvationen

z^{5} = 32 .

Avrunda till en decimal.

Rötterna till potensekvationer på formen z^n = w, där n är ett positivt heltal, bildar en regelbunden n-hörning i det komplexa talplanet. I det här fallet kommer rötterna alltså spänna upp en regelbunden femhörning, ungefär som i figuren nedan.

För att bestämma arean av en regelbunden femhörning kan man beräkna arean för 1 av de 5 kongruenta trianglar som femhörningen kan delas in i, och sedan multiplicera med 5. Om vi kan ta reda på den nedan markerade sidlängden x och vinkeln w kan vi bestämma arean av en triangel med areasatsen: Area=absin(C)/2, där a och b är sidlängder i triangeln och C är mellanliggande vinkel.

Vinkeln w kan vi bestämma genom att dividera ett helt varv, 2π, med 5, så w= 2π5. Sidlängden x motsvarar rötternas absolutbelopp, vilket vi bestämmer genom att skriva om ekvationens vänsterled på trigonometrisk polär form.

Nu kan vi läsa av absolutbeloppet som r^5. Detta ska vara lika med absolutbeloppet av 32, dvs. 32.

Rötternas absolutbelopp är alltså 2, så x=2.

Nu kan vi bestämma arean för en av trianglarna.

För att undvika avrundningsfel beräknar vi inte arean än. Till sist multiplicerar vi arean för en av trianglarna med 5 för att få femhörningens totala area.

Arean av femhörningen som bildas av rötterna till ekvationen z^5=32 är alltså cirka 9.5 a.e. Notera att vi inte behövde hitta rötternas argument för att bestämma arean. Om man skulle göra det samt markera rötterna i det komplexa talplanet skulle det se ut på följande sätt.

Detta bekräftar det vi redan vet – att rötterna har absolutbeloppet 2 och att varje par av intilliggande rötter separeras av vinkeln 2π5.

De Moivres formel

Härledning

Exempel

Använd de Moivres formel

Potensekvationer med komplexa rötter

Lösa potensekvationer med komplexa rötter

Hur tolkar man lösningarna till en potensekvation i det komplexa talplanet?

De Moivres formel

Rekommenderade uppgifter

	5 sidor teori
	12 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.