De Moivres formel

Rötterna till potensekvationer på formen z^n = w, där n är ett positivt heltal, bildar en regelbunden n-hörning i det komplexa talplanet. I det här fallet kommer rötterna alltså spänna upp en regelbunden femhörning, ungefär som i figuren nedan.

För att bestämma arean av en regelbunden femhörning kan man beräkna arean för 1 av de 5 kongruenta trianglar som femhörningen kan delas in i, och sedan multiplicera med 5. Om vi kan ta reda på den nedan markerade sidlängden x och vinkeln w kan vi bestämma arean av en triangel med areasatsen: Area=absin C/2, där a och b är sidlängder i triangeln och C är mellanliggande vinkel.

Vinkeln w kan vi bestämma genom att dividera ett helt varv, 2π, med 5, så w=2π/5. Sidlängden x motsvarar rötternas absolutbelopp, vilket vi bestämmer genom att skriva om ekvationens vänsterled på trigonometrisk polär form.

Nu kan vi läsa av absolutbeloppet som r^5. Detta ska vara lika med absolutbeloppet av 32, dvs. 32.

Rötternas absolutbelopp är alltså 2, så x=2.

Nu kan vi bestämma arean för en av trianglarna.

För att undvika avrundningsfel beräknar vi inte arean än. Till sist multiplicerar vi arean för en av trianglarna med 5 för att få femhörningens totala area.

Arean av femhörningen som bildas av rötterna till ekvationen z^5=32 är alltså cirka 9,5 a.e. Notera att vi inte behövde hitta rötternas argument för att bestämma arean. Om man skulle göra det samt markera rötterna i det komplexa talplanet skulle det se ut på följande sätt.

Detta bekräftar det vi redan vet – att rötterna har absolutbeloppet 2 och att varje par av intilliggande rötter separeras av vinkeln 2π/5.

Vi ska avgöra om följande påstående är ibland, alltid eller aldrig sant.

De p:te rötterna till ett komplext tal z är jämnt fördelade runt cirkeln med centrum i origo och radien sqrt(r).

Vi kommer att försöka bevisa att detta påstående alltid är sant. Först antar vi att z har följande polära form för något absolutbelopp r > 0 och argument v. Låt oss också säga att x är dess pth rot och att den har absolutbelopp R och argument θ. &z=r(cos v +isin v) &x=R(cos θ +isin θ) Eftersom x är roten till z måste den uppfylla följande ekvation. x^p=z ⇕ (R(cos θ +isin θ))^p=r(cos v +isin v) Vi kan använda de Moivres formel för att förenkla vänsterledet i denna ekvation. (R(cos θ +isin θ))^p=r(cos v +isin v) ⇕ R^p(cos pθ +isin pθ)= r(cos v+isin v) Nu kan vi ställa upp följande ekvationssystem. R^p= r & (I) pθ= v+2kπ & (II) ⇕ R=sqrt(r) θ=v/p+2kπ/p Vi har funnit att radien för varje rot alltid är lika med sqrt(r). Detta innebär att i det komplexa talplanet ligger varje rot på en cirkel med radien sqrt(r).

Dessutom är rötterna jämnt fördelade runt cirkeln, där varje på varandra följande par är separerat med en vinkel 2kπ/p, som vi visade tidigare i ekvationssystemet.

Detta avslutar beviset för att det givna påståendet alltid är sant.

Låt oss titta på den givna ekvationen. z^4-6z^2+10=0 Observera att detta är en fjärdegradsekvation som saknar en z^3-term och en z-term. Om vi låter w = z^2 så blir w^2 = z^4 och vi kan skriva om vår ekvation som en andragradsekvation. z^4-6z^2+10=0 ⇕ w^2-6w+10=0 Låt oss använda pq-formeln för att lösa ekvationen för w.

Lösningarna till ekvationen för w är w=3+i och w=3-i. Eftersom w=z^2 får vi två z-lösningar för varje w-lösning, z^2 = 3+i ⇓ z = ± sqrt(3+i) och z^2 = 3-i ⇓ z = ± sqrt(3-i). Detta innebär att det finns fyra lösningar totalt. z_1 &= sqrt(3+i) z_2 &= -sqrt(3+i) z_3 &= sqrt(3-i) z_4 &= -sqrt(3-i) Eftersom vi ombeds att skriva lösningarna på trigonometrisk polär form behöver vi använda de Moivres formel på w=3+i och w=3-i.

w=3+i

Vi börjar med att bestämma absolutbeloppet r för w=3+i. r &= sqrt(3^2+1^2) &= sqrt(10) Vi bestämmer nu dess argument v. v = b≥ 0 -3pt: cos^(-1)( a|a+bi|) [0.5em] b<0 -3pt: -cos^(-1)( a|a+bi|). Eftersom b > 0, använder vi det positiva fallet. v &= cos^(-1)(3/sqrt(10)) &= 18,434948...^(∘) &≈ 18^(∘) Detta gör att vi kan skriva w=3+i på dess polära form. w = sqrt(10)(cos18^(∘)+isin18^(∘)) Med hjälp av de Moivres formel kan vi bestämma sqrt(w).

En lösning är z_1=sqrt(10)(cos9^(∘)+isin9^(∘)). Den andra lösningen är z_2=-sqrt(10)(cos9^(∘)+isin9^(∘)), men vi behöver skriva om den på polär form. Låt oss göra det!

Observera att vi får den negativa roten genom att addera 180^(∘) till argumentet för den positiva. Detta kommer att vara användbart i nästa del.

w=3-i

Absolutbeloppet av 3-i är också sqrt(3^2+1^2)=sqrt(10). För dess argument använder vi den negativa arccosinus eftersom b < 0. v &= - cos^(-1)(3/sqrt(10)) &= - 18,434948...^(∘) &≈ - 18 ^(∘) Genom att använda de Moivres formel på samma sätt som vi gjorde för sqrt(3+i) bestämmer vi sqrt(3-i). Kom ihåg att vi får den andra roten genom att addera 180^(∘) till argumentet. z_3 &= sqrt(10)(cos(-9^(∘))+isin(-9^(∘))) z_4 &= sqrt(10)(cos171^(∘)+isin171^(∘)) Eftersom vi ombeds att skriva argumentet som en positiv grad adderar vi 360^(∘) till argumentet för z_3. z_3 &= sqrt(10)(cos351^(∘)+isin351^(∘)) De fyra rötterna till ekvationen är z_1 &= sqrt(10)(cos9^(∘)+isin9^(∘)) z_2 &= sqrt(10)(cos189^(∘)+isin189^(∘)) z_3 &= sqrt(10)(cos351^(∘)+isin351^(∘)) z_4 &= sqrt(10)(cos171^(∘)+isin171^(∘)).