Utforska De Moivres Formel och dess tillämpningar i Trigonometriska Ekvationer

$n$	$\frac{3 π}{8} + n \cdot \frac{π}{2}$	$v$
$0$	$\frac{3 π}{8} + 0 \cdot \frac{π}{2}$	$\frac{3 π}{8}$
$1$	$\frac{3 π}{8} + 1 \cdot \frac{π}{2}$	$\frac{7 π}{8}$
$2$	$\frac{3 π}{8} + 2 \cdot \frac{π}{2}$	$\frac{1 1 π}{8}$
$3$	$\frac{3 π}{8} + 3 \cdot \frac{π}{2}$	$\frac{1 5 π}{8}$

Givet att

z = 2 (cos (\frac{2 π}{3}) + i sin (\frac{2 π}{3})),

ange följande tal på trigonometrisk polär form.

z^{2}

z^{6}

z^{n}

Vi använder de Moivres formel för att beräkna z^2 på trigonometrisk form.

Vi har nu skrivit z^2 på trigonometrisk form.

Här använder vi samma metod som i föregående deluppgift.

Vi har nu z^6 på trigonometrisk form, men eftersom trigonometriska värden inte ändras när hela varv, 2π, läggs till eller dras bort kan vi dra bort hela varv från 4π. Vi drar bort 2 varv och får z^6 = 64(cos(0) + isin(0)), vilket inte kan förenklas mer eftersom svaret ska ges på trigonometrisk form.

Nu ska vi istället genomföra beräkningen med exponenten n, vilket i praktiken görs på samma sätt som med ett tal.

Vi har nu bestämt hur z^n skrivs på trigonometrisk form.

Markera $z,$ $z^{2},$ $z^{3},$ $z^{4},$ och $z^{5}$ i det komplexa talplanet givet följande.

z = cos (\frac{π}{6}) + i sin (\frac{π}{6})

z = cos (\frac{- π}{6}) + i sin (\frac{- π}{6}) .

Vi använder de Moivres formel för att beräkna potenserna. Som exempel får vi följande för z^5.

Talet z^5 har absolutbeloppet 1 och argumentet 5π6. Vi visar resultaten från övriga potensberäkningar i tabellen.

n	z^n = cos(nπ/6) + isin(nπ/6)
1	z = cos(π/6) + isin(π/6)
2	z^2 = cos(2π/6) + isin(2π/6)
3	z^3 = cos(3π/6) + isin(3π/6)
4	z^4 = cos(4π/6) + isin(4π/6)
5	z^5 = cos(5π/6) + isin(5π/6)

Alla tal har absolutbeloppet 1, och ligger därmed på enhetscirkeln i det komplexa talplanet. Skilladen i argument mellan närliggande tal är en sjättedel av ett halvt varv. Vi kan nu markera talen i det komplexa talplanet.

Vi beräknar potenserna på samma sätt som i föregående deluppgift.

n	z^n = cos(- nπ/6) + isin(- nπ/6)
1	z = cos(- π/6) + isin(- π/6)
2	z^2 = cos(- 2π/6) + isin(- 2π/6)
3	z^3 = cos(- 3π/6) + isin(- 3π/6)
4	z^4 = cos(- 4π/6) + isin(- 4π/6)
5	z^5 = cos(- 5π/6) + isin(- 5π/6)

Dessa tal är alltså samma som i föregående deluppgift, fast med negativa vinklar. Vi markerar dem i det komplexa talplanet.

Lös ekvationen

z^{3} = 27 i .

Ange rötterna på trigonometrisk polär form.

För att lösa en potensekvation med komplexa rötter börjar vi genom att skriva om högerledet på trigonometrisk form. I det komplexa talplanet ligger 27i på den positiva imaginära axeln och har därmed argumentet π2. Vidare är absolutbeloppet |27i| = 27.

Ekvationens högerled kan nu skrivas på trigonometrisk form, vilket ger z^3 = 27 -2 pt(cos(π/2) + isin(π/2) -2 pt) -2 pt. Nu är det vänsterledets tur att skrivas om. Vi använder z på trigonometrisk form, r(cos(v) + isin(v)), och utvecklar sedan med de Moivres formel.

Vi har nu hittat två olika uttryck för z^3. Två tal som är lika måste ha samma absolutbelopp och argument som pekar i samma riktning i det komplexa talplanet. När vi likställer detta för de två uttrycken får vi två ekvationer. r^3 &= 27 3v &= π/2 + n * 2π, n heltal Vi löser nu dessa ekvationer för att hitta lösningar till ursprungsekvationen. Absolutbelopp måste vara reella och icke-negativa, så här behöver vi inte ta hänsyn till några icke-reella rötter.

Absolutbeloppen hos alla lösningar till potensekvationen är alltså 3. Vi löser nu ekvationen som ger lösningarnas argument.

Lösningarna till ekvationen kan alltså skrivas allmänt som z = 3(cos(π/6 + n * 2π/3) + isin(π/6 + n * 2π/3)). Exponenten i ekvationen var 3, och därmed har ekvationen 3 komplexa lösningar. Till sist stoppar vi nu in olika värden på n tills vi har 3 lösningar.

n	v	z
0	π/6+ 0 * 2π/3 = π/6	3(cos(π/6) + isin(π/6))
1	π/6+ 1 * 2π/3 = 5π/6	3(cos(5π/6) + isin(5π/6))
2	π/6+ 2 * 2π/3 = 9π/6	3(cos(9π/6) + isin(9π/6))

Vi har nu hittat samtliga lösningar till potensekvationen, och de är angivna på trigonometrisk form. Om man vill kan man nu markera lösningarna i det komplexa talplanet. De ligger alla på cirkeln med radie 3 och mittpunkt origo.

Bestäm $z^{5}$ på formen $a + b i .$

z = 3 (cos (\frac{π}{5}) + i sin (\frac{π}{5}))

z = 2 (cos (8 1^{\circ}) + i sin (8 1^{\circ})) .

Vi börjar med att sätta in uttrycket för z i z^5 och använder sedan de Moivres formel för att beräkna potensen.

Här är alltså z^5=- 243. Notera att talet står på formen a+bi nu, där imaginärdelen är 0.

Vi använder de Moivres formel igen, men för ett nytt tal z.

Vi har bestämt z^5 till 32sqrt(2)+ 32isqrt(2) och väljer att inte beräkna kvoten för att svara exakt.

Lös ekvationen. Svara på exponentiell polär form.

z^{4} = 5.0625 (cos (π) + i sin (π))

z^{5} = \frac{1}{2 4 3} (cos (1) + i sin (1))

Vi löser potensekvationen genom att skriva z^4 som ett komplext tal på trigonometrisk polär form och sedan likställa absolutbeloppen och argumenten i höger- och vänsterled.

Detta innebär att vi kan skriva ekvationen som r^4(cos(4v)+isin(4v))=5.0625(cos(π) + i sin(π)). Vi likställer nu absolutbeloppen och argumenten i de två leden: r^4 &= 5.0625 och 4v &= π + n * 2π, där n är ett heltal. Perioden läggs till på argumentet, eftersom hela perioder inte påverkar de trigonometriska värdena för sinus och cosinus. Vi löser nu ekvationerna ovan, en i taget, och börjar med den för absolutbeloppet. Vi behöver inte ta hänsyn till icke-reella lösningar eftersom absolutbelopp är positiva reella tal.

Vidare beräknar vi argumentet v.

Vi skriver nu z på exponentiell form genom att sätta in de r och v vi just bestämt i z=re^(iv).

Eftersom exponenten i ursprungsekvationen är 4 har den fyra rötter. Vi stoppar in olika n tills vi har fyra unika rötter. Vi börjar med n = 0.

n	v	z
0	π/4 + 0 * π/2 = π/4	1.5e^(.iπ /4.)
1	π/4 + 1 * π/2 = 3π/4	1.5e^(.i3π /4.)
2	π/4 + 2 * π/2 = 5π/4	1.5e^(.i5π /4.)
3	π/4 + 3 * π/2 = 7π/4	1.5e^(.i7π /4.)

Vi har nu hittat samtliga komplexa rötter till potensekvationen och kan, om vi vill, markera lösningarna i det komplexa talplanet. De ligger alla på cirkeln med radie 1.5 och mittpunkt i origo.

Här använder vi samma lösningsmetod som i föregående deluppgift och hittar därmed först det generella uttrycket för z^5 på trigonometrisk polär form.

Detta ger ekvationen r^5(cos(5v)+isin(5v))=1/243(cos(1)+isin(1)). Nu likställer vi absolutbeloppen och argumenten i höger- och vänsterled. r^5 &= 1/243 [0.6em] 5v &= 1 + n * 2π, där n är ett heltal. Även nu tar vi hänsyn till perioden för sinus och cosinus, 2π. Vi löser nu ekvationerna.

Absolutbeloppet är alltså 13. Nu bestämmer vi argumenten.

Nu sätter vi in våra funna r och v i den exponentiella formen för ett komplext tal.

Ursprungsekvationen har totalt fem unika rötter eftersom dess exponent är 5. Vi stoppar nu in olika n tills vi har dessa fem rötter.

n	v	z
0	1/5 + 0 * 2π/5 = 1/5	1/3e^(.i /5.)
1	1/5 + 1 * 2π/5 = 1+2π/5	1/3e^(i.(1+2π) /5.)
2	1/5 + 2 * 2π/5 = 1+4π/5	1/3e^(i.(1+4π) /5.)
3	1/5 + 3 * 2π/5 = 1+6π/5	1/3e^(i.(1+6π) /5.)
4	1/5 + 4 * 2π/5 = 1+8π/5	1/3e^(i.(1+8π) /5.)

Ekvationen är nu fullständigt löst. Om lösningarna markeras i det komplexa talplanet kan man se att de ligger på cirkeln med radie 13 och mittpunkt i origo.

Rötterna till ekvationen $z^{n} = w$ visas i figuren.

Komplexa talplanet med fyra lösningar på en cirkel

Bestäm ekvationens rötter i trigonometrisk polär form.

Bestäm

n

och

w

och ange ekvationen.

Vi ska ange rötterna på trigonometrisk polär form, dvs. på formen z=r(cos(v)+isin(v)). Ett komplext tals absolutbelopp, r, kan läsas av som avståndet från origo till punkten som motsvarar talet. Och argumentet, v, motsvarar vinkeln från positiva realaxeln till vektorn som representerar talet. Vi läser av absolutbelopp och argument för respektive rot och sammanfattar rötterna i tabellen.

z_1	2(cos(45^(∘))+isin(45^(∘)))
z_2	2(cos(135^(∘))+isin(135^(∘)))
z_3	2(cos(225^(∘))+isin(225^(∘)))
z_4	2(cos(315^(∘))+isin(315^(∘)))

Talet n i ekvationen anger hur många rötter ekvationen har. Från bilden ser vi att det finns 4 rötter, så n=4. Vi får då ekvationen z^4=w. För att bestämma w använder vi att z^4 kan skrivas som ett tal på trigonometrisk polär form.

Nu kan vi sätta in ett absolutbelopp, r, och argument, v, från någon av rötterna vi bestämde i föregående deluppgift, eftersom dessa uppfyller ekvationen. Vi väljer roten z_1=2(cos(45^(∘))+isin(45^(∘))). Vi sätter in r=2 och v=45^(∘).

Nu kan vi konstatera att n=4 och att w=-16. Talen z_1-z_4 i föregående deluppgift är alltså rötter till ekvationen z^4=-16.

De Moivres formel

Härledning

Exempel

Använd de Moivres formel

Potensekvationer med komplexa rötter

Lösa potensekvationer med komplexa rötter

Hur tolkar man lösningarna till en potensekvation i det komplexa talplanet?

De Moivres formel

Rekommenderade uppgifter

	5 sidor teori
	12 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.