Vinklar och trianglar: Likbent, liksidig och rätvinklig triangel

	Notation
Vinkelspets	$\land B$
Vinkelspets och en punkt på varje stråle	$\land A B C$ eller $\land C B A$
Vinkelspets och en punkt på varje stråle, utan $\land$	$A B C$ eller $C B A$
Grekiska bokstäver	T.ex. $\land α$ eller $\land β$ eller $\land θ$

Vinkel	Uttryck	Beräkning	$=$
Grön	$6 x$	$6 \cdot 1 0^{\circ}$	$6 0^{\circ}$
Blå	$8 x$	$8 \cdot 1 0^{\circ}$	$8 0^{\circ}$
Röd	$4 x$	$4 \cdot 1 0^{\circ}$	$4 0^{\circ}$

Typer av trianglar
Vinklar	Sidlängder
Spetsvinklig triangel	Likbent triangel
Rätvinklig triangel	Liksidig triangel
Trubbvinklig triangel

Area för den inre kvadraten	Area för den yttre kvadraten	Area för de fyra trianglarna
$c^{2}$	$(a + b)^{2}$	$4 \cdot \frac{a b}{2} = 2 a b$

Bestäm triangelns okända vinkel.

En triangel har alltid vinkelsumman 180^(∘). Om vi kallar den okända vinkeln för x kan vi alltså ställa upp ekvationen 40^(∘)+78^(∘)+x=180^(∘). Vi löser ut x.

Den okända vinkeln är 62^(∘).

Det kanske ser ut som att två vinklar är okända men så är det inte. En av dem är rät, dvs. 90^(∘). Om vi kallar den okända vinkeln för x kan vi därför ställa upp ekvationen 90^(∘)+50^(∘)+x=180^(∘). Vi löser ut x.

Den okända vinkeln är 40^(∘).

Hur lång är sidan $x$ i triangeln?

Eftersom triangeln är rätvinklig gäller Pythagoras sats: a^2 + b^2 = c^2. Sidan c är triangelns hypotenusa, dvs. den längsta sidan. I det här fallet är den sidan x, medan kateterna är 6 och 8 le. Vi sätter in värdena i ekvationen och löser ut x.

Ekvationen har två lösningar, men x är en sidlängd och måste ha ett positivt värde. Den negativa lösningen, x=-10, är inte intressant, och då vet vi att x=10 le.

Här är hypotenusan 13 le. Det är alltid den sida som står mittemot den räta vinkeln. Om c=13 le. måste a och b vara x och 5 le, men vilken som är vilken av de två spelar ingen roll.

Återigen får ekvationen två lösningar, men en sidlängd kan inte vara negativ. Därför måste x vara 12 le.

Bestäm vinkeln $v .$

I en triangel är vinkelsumman alltid 180^(∘). Det betyder att den okända gröna vinkeln i triangeln är 180^(∘)-65^(∘)-57^(∘)=58^(∘). Tillsammans med vinkeln v bildar den en rak vinkel.

Det betyder att summan av dem är 180^(∘): v+58^(∘)=180^(∘) ⇔ v=122^(∘). v är alltså lika med 122^(∘).

Bestäm vinkeln $v .$

Den totala vinkeln är rak, dvs. 180^(∘). Om vi summerar alla vinklar i figuren ska det alltså bli 180^(∘).

Vinkeln v är alltså 36^(∘).

$M$ är mittpunkt i rektangeln $A B C D .$

En rektangel indelad i fyra trianglar pga dess diagonaler.

Hur stor är

\land A M C

Hur stor är

\land A B D

Har

△ A B C

eller

△ C M D

störst area?

Tecknet ∧ står för vinkel. Om vi går från punkt A till M och vidare till C bildas den blå ∧ AMC som alltså är 74 ^(∘).

Vinkel ABD bildas i övre högra hörnet. Eftersom vi vet att ABCD är en rektangel är alla hörn 90 ^(∘), alltså är ∧ ABD=90 ^(∘).

Genom att markera trianglarna ser vi att △ ABC (blå) är större än △ CMD (röd), eftersom den blå består av △ ABM, som är lika stor som den röda △ CMD plus arean av △ ACM. Alltså har △ ABC större area.

Parkeringsplatsen är $30 m$ bred och $60 m$ lång. Dogge står vid ena hörnet och ska till det motsatta. Hur lång är den kortaste vägen dit? Svara i hela meter.

Om Dogge går längs parkeringsplatsens sidor går han först 30m och sedan 60m, dvs. totalt 90m till det motsatta hörnet. Det borde bli kortare att istället gå tvärs över, längs den streckade diagonalen nedan.

Vi ser att vägen Dogge går utgör hypotenusan i en triangel med kateterna 30 och 60. Då kan vi beräkna sidan x med hjälp av Pythagoras sats.

Vi förkastade den negativa lösningen eftersom en sträcka alltid är positiv. Går Dogge tvärs över parkeringsplatsen är det ca 67m till det motsatta hörnet.

I figuren visas två räta linjer som skär varandra. Bestäm vinkeln $x .$

Två linjer som skär varandra och bildar vinklarna x och 31.

De gröna vinklarna är tillsammans 31^(∘)+31^(∘)=62^(∘). Eftersom ett helt varv är 360 ^(∘) måste resterande 298 ^(∘) fördelas på de övriga två okända vinklarna. Dessa är också lika stora så de blir båda hälften av 298^(∘): 298^(∘)/2=149^(∘). Vinkeln x är alltså 149^(∘).

Beräkna vinkeln $v .$

Parallelltrapets med en vinkel v och en 42 grader, samt två räta vinklar.

Nationella provet VT02 MaA

Alla fyrhörningar har en vinkelsumma på 360^(∘) så genom att addera vinklarna och likställa med 360^(∘) kan vi ställa upp en ekvation och lösa ut v. Från figuren ser vi att två av vinklarna är räta, dvs. 90^(∘), och att en tredje vinkel är 42^(∘).

Vinkeln v är alltså 138^(∘).

Vinklar och trianglar

Förkunskaper

Vinkel

Insida och utsida av en vinkel

Vinkeltyper

Hur stora är vinklarna?

Ledtråd

Lösning

Triangel

Vad är höjden i en triangel?

Svar

Ledtråd

Lösning

Basen är $A B$

Basen är $A C$

Basen är $B C$

Hur stor är tredje vinkeln i triangeln?

Ledtråd

Lösning

Pythagoras sats

Bevis

Extra

Bestäm okänd sida i en rätvinklig triangel

Ledtråd

Lösning

Är triangeln rätvinklig?

Ledtråd

Lösning

Notation inom geometri

Notation

Notation

Notation